Analyse

En 1926, H.S.M. Coxeter calcula certaines intégrales intervenant dans des calculs de volumes, lors de ses études du groupe cristallographique. Pour ce faire, il utilisa des méthodes géométriques avancées, et soumit la découverte d'une preuve "élémentaire" à la sagacité des lecteurs de la Mathematical Gazette. Seul le mathématicien Hardy trouva une réponse !

Ce texte est une présentation systématique de deux théories de l'intégration : celle de Riemann et celle de Lebesgue. Ces deux cadres sont décrits par le menu, ainsi que les résultats les plus marquants (le plus souvent sans démonstration). L'objectif de ce texte est de servir de référence rapide pour la lecture d'autres textes, ou pour avoir une idée d'ensemble de ces théories sans devoir se plonger dans les détails les plus techniques, ou acquérir au prélable trop de connaissances abstraites.

On apprend à tous les étudiants en mathématiques comment étudier une suite récurrente définie par une homographie : on cherche les points fixes de l'homographie, puis on définit une autre suite à l'aide de la première, en distinguant le cas où l'homographie a un point fixe double, et cette suite se révèle miraculeusement être une suite géométrique ou arithmétique...

Nous nous intéressons ici à un modèle d'interaction proies-prédateurs, proposé par Volterra après la première guerre mondiale. Il s'agissait alors d'expliciter la dynamique des populations de sardines et de requins en mer Adriatique ; expliquer notamment pourquoi les quantités de sardines pêchées après l'interruption due à la guerre n'étaient plus aussi importantes que précédemment et pourquoi à la reprise de la pêche la proportion observée de requins avait augmenté.

On connaît des formules de dérivation à un ordre quelconque pour un produit de fonction (formule de Leibnitz). Pour ce qui est d'une somme de fonctions, c'est encore plus évident : la dérivée n-ième de la somme est la somme des dérivées n-ièmes, par linéarité. En revanche, pour ce qui est de la composée de deux fonctions, on ne sais pas faire... Nous allons voir ici que le problème se transpose en quelque chose de purement combinatoire sur les arbres.

La théorie des épidémies fournit de nombreux systèmes d'équations différentielles ou aux dérivées partielles. On a d'autre part une idée intuitive du comportement de ces phénomènes, de la propagation de ces maladies. Y interviennent des phénomènes de contamination, de diffusion... Nous allons ici prendre l'exemple de la diffusion de la rage dans une population de renards, et en présenter quelques modèles assez simples.