Arithmétique

P11 * Solution

P11 * Nombre de chiffres

P7 **   a=bq+r

On doit à Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777, Göttingen 1855) des contributions considérables en physique (électricité, magnétisme), en astronomie (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, ou Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du soleil, 1809) et en métrologie (théorie des erreurs, méthode des moindres carrés). Mais si, un an après sa mort, il eut droit à une médaille commémorative avec l’inscription Mathematicorum Principi (prince des mathématiciens), c’est en raison de ses travaux qui devaient jouer un rôle déterminant dans les mathématiques du 19e siècle : première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre dans sa thèse en 1797, théorie des nombres (Disquisitiones Arithmeticæ, ou Recherches arithmétiques, 1801), théorie des surfaces (Disquisitiones generales circa superficies curvas, ou Recherches générales sur les surfaces courbes, 1827), entre autres. On sait qu’il avait découvert une géométrie non-euclidienne avant Lobatchevsky et abordé l’étude des fonctions analytiques avant Cauchy ; mais il ne publiait rien qui ne fût complètement élaboré à ses yeux.

Avec ses Disquisitiones Arithmeticæ de 1801 s’ouvre un univers théorique nouveau, l’arithmétique des congruences, où notre problème des restes chinois occupe la place relativement modeste de problème du premier degré. Nous donnons ici quelques extraits± des avant-propos (dédicace et préface) de l’auteur et des sections I et II de l’ouvrage, qui montrent les conceptions générales de Gauss, sa position par rapport aux travaux antérieurs et surtout le visage nouveau qu’il entend donner à l’arithmétique élémentaire, rigoureusement reconstruite± et reformulée en science des classes de nombres entiers. Avec les extraits des sections I et II, nous nous limitons à la partie élémentaire du traité qui correspond au programme d’arithmétique de la classe de terminale S, avec le problème des restes chinois en point d’orgue.

Question du jeudi #64 : Parmi les nombres $101$, $10101$, $1010101$, $101010101$, etc., lesquels sont premiers ?

Question du jeudi #61 : On répartit les entiers de $1$ à $n$ en $k$ classes de telle sorte que deux éléments d'une même classe ne se divisent jamais l'un l'autre. Quel est la plus petite valeur possible pour $k$ ?

Question du jeudi #59 : Dans un certain sport, les actions peuvent rapporter $6$, $9$ ou $20$ points. Quel est le plus grand score qui soit impossible à atteindre ?

Question du jeudi #56 : Montrer que pour tout $n > 1$, le nombre $n^4 + 4$ n'est pas premier.

Un nouveau nombre premier vient d'être découvert ! La nouvelle n'est peut-être pas aussi sensationnelle que l'annonce de l'officialisation de quatre nouveaux éléments chimiques ou que la découverte potentielle d'une nouvelle planète dans le système solaire, mais elle a quand même été relayée par la presse générale. Revenons brièvement sur $2^{74\,207\,281} - 1$.