Arithmétique

Question du jeudi #43 : Le mathématicien anglais J.H. Conway a inventé une variante de la suite de Fibonacci, qu'il appelle Subprime Fibs. Partons de deux nombres strictement positifs. Ensuite, on complète la suite petit à petit suivant la règle suivante. Formons la somme des deux derniers termes de la suite : si le résultat est premier, reportons-le tel quel ; s'il ne l'est pas, divisons-le par son plus petit facteur premier et reportons le résultat. Question.

Montrer qu'il n'existe pas de cycles de longueur 2 ou 3.

Question du jeudi #41 : Combien de nombres à 6 chiffres sont multiples de 164 et se terminent par 164 ?

Auteur : Maxime Bourrigan, École Normale Supérieure

Mots-clefs : Arithmétique, Algorithme, PGCD

Le but de ce document est d'introduire les propriétés les plus élémentaires du PGCD et de l'algorithme d'Euclide, tout d'abord de façon très directe, puis en abordant dans un second temps les propriétés liées au théorème de Bézout. Dans une partie intermédiaire, on propose une implémentation de l'algorithme d'Euclide à l'aide du logiciel Algobox.

 

Question du jeudi #32 : Montrer que le nombre $R_n = \underbrace{111\ldots 111}_{n\ \text{chiffres}}$ n'est pas un carré si $n > 1$.

Question du jeudi #27 : Le plus grand nombre premier connu à ce jour est 257 885 161 - 1. Quels sont ses deux derniers chiffres ?

Question du jeudi #26 : Déterminer les couples $(p, q)$ de nombres premiers tels que $p + q = (p-q)^3$.

Question du jeudi #19 : On dit qu'un entier $n$ est une anagramme de $m$ si on peut écrire $n$ en permutant les chiffres de $m$. On ne compte pas les 0 non significatifs que l'on peut ajouter à gauche : 330 est une anagramme de 303, mais pas de (0)33.

Une puissance de 2 peut-elle être l'anagramme d'une autre puissance de 2 ?

Question du jeudi #16 : Les nombres de Fibonacci $(F_n)_{n\in\mathbb N}$ sont définis par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et la relation de récurrence $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$. Montrer qu'il existe $n > 0$ tel que $F_n$ se termine par 2015 zéros.

Question du jeudi #9 : Montrer que, parmi dix-huit nombres à trois chiffres consécutifs, il en existe toujours un qui soit un multiple de la somme de ses chiffres.

Question du jeudi #2 : Les six derniers chiffres d'une puissance de 2 sont tous des 6 et des 9. Pouvez-vous les déterminer exactement ?