Arithmétique

La fonction zêta de Riemann, définie par $\displaystyle{\zeta ( s) = \sum_{ n=1}^{ + \infty} \frac{ 1}{ n^s}}$ (pour ${Re}~ s > 1$), intéresse les mathématiciens depuis longtemps, et elle est encore à l'heure actuelle très étudiée, car cette fonction est fortement liée aux propriétés des nombres premiers. Dans ce texte issu d'un Mémoire de M1, nous étudions quelques propriétés arithmétiques et algébriques des valeurs de $\zeta (s)$ aux points entiers $s \in \mathbb{N}$, $s \geqslant 2$, telles que l'irrationalité ou la transcendance. Notamment, nous fournissons une démonstration complète et élémentaire, due à Beukers, du théorème d'Apéry (1978) selon lequel $\zeta(3)$ est irrationnel; cette démonstration est tout à fait accessible à un étudiant de Licence ou de classes préparatoires.

This article features a new type of algorithm whose goal is to give a better understanding of how prime numbers form themselves. It is called the Prime-Generating Algorithm or PGA.

 

Cet article décrit un algorithme qui propose un point de vue nouveau sur la génération des nombres premiers. On l’appellera Algorithme de Génération des Premiers ou AGP.

Le but de cet article est d'introduire à deux notions utilisées actuellement dans la recherche en théorie des nombres : les points rationnels et les courbes elliptiques. On y trouvera en premier lieu une explication de l'intérêt porté aux points rationnels, en lien avec le théorème de Pythagore. Ensuite, après avoir expliquer la notion de loi de groupe sur les points rationnels d'une courbe elliptique, on énonce un résultat important, le théorème de Mordell- Weil.

250 ans avant notre ère le savant Archimède (né et mort à Syracuse, ville de Sicile) proposait à Eratosthène de Cyrène, le problème du troupeau du Soleil dont le texte en grec a été retrouvé par Gotthold Ephreim Lessins et publié en 1773.

Dans le numéro spécial 12-14 de la revue Confluences 1947, numéro spécial consacré à Antoine de Saint Exupéry, dans le chapitre "voyage de l'Universel", écrit par le général Chassin, qui fut le chef de Saint-Exupéry, ce problème est évoqué, annoncé situé dans les annexes où il ne figure pas !   Après une traque de trois ans et huit mois, l'auteur a réussi à retrouver son énoncé, et en donne une solution, en rappelant le problème célèbre du Pharaon.

Quelques résultats profonds de l'arithmétique supérieure ont une interprétation simple, visuelle et particulièrement élégante dans les mathématiques textiles. Ainsi en est-il d'un théorème de C. F. Gauss concernant la suite des restes (modulo p) des multiples d'un nombre a premier avec p. Ou d'un théorème énoncé par Pierre de Fermat sur les propriétés des nombres premiers de la forme 4n+1.Cet article est consacrée aux travaux originaux d'un mathématicien français du XIXe siècle en ce domaine. Il s'agit de l'arithméticien Edouard Lucas, connu par ailleurs pour les études de très grands nombres premiers qu'il effectue grâce à des tests puissants et rapides.

Le "petit théorème de Fermat" est un bijou de simplicité et d'utilité. Depuis sa découverte il y a plus de 400 ans par Fermat, on l'a redémontré d'au moins 100 manières différentes ! Dans ce texte, à la limite des programmes d'arithmétique de terminale scientifique, nous vous proposons de (re)découvrir ce petit joyau sous plusieurs points de vue, ainsi que des applications (Wilson) et des réciproques partielles.

La théorie de l'approximation diophantienne est l'étude des propriétés d'approximation de nombres par des rationnels. Elle intervient dans de nombreux domaines des mathématiques. Nous présentons ici quelques premiers résultats d'approximation par des rationnels, en traitant d'abord le cas d'un seul réels, puis de plusieurs ou, ce qui revient au même, d'un vecteur dans un espace vectoriel réel de dimension finie.