Supérieur

[1] Approximation diophantienne et réseaux
[2] Une démonstration originale de l'infinité de l'ensemble des nombres premiers
[3] Sur l'algorithme RSA
[4] Arithmétique
[5] Fermat revisité
[6] Le problème des nombres gelés de Saint-Exupéry
[7] Les mathématiques du mouvement Introduction informelle aux systèmes dynamiques 
[8] Petits pièges de la simulation numérique
[9] Le théorème de Sharkovskii
[10] Arbres et dérivée d'une fonction composée
[11] Homographies et suites récurrentes
[12] L'intégration selon Riemann et selon Lebesgue
[13] Signal numérique et théorie de l'échantillonnage
[14] Les intégrales de Coxeter
[15] Equirépartition d'une suite de nombres
[16] Addendum sur l'équirépartition
[17] Racine carrée fonctionnelle
[18] Le lemme de Baire
[19] Le théorème de JUEL et la surface de CLEBSCH
[20] Critères d'Ermakov
[21] Le produit d'Hadamard de deux séries entières
[22] Racine carrée fonctionnelle
[23] Jauge d'une cuve à Mazout
[24] Sur les nombres constructibles
[23] Construction des polygones réguliers
[26] Courbure des surfaces triangulées
[27] Le problème des 5 cercles
[28] Reconnaître effectivement les Ensembles Algébriques Réels
[29] Pour nouer, il faut courber
[30] Autour des triangles inscrits sur une hyperbole équilatère
[31] Gaspard Monge, de la planche `a dessin aux lignes de courbure
[32] Loi de groupe dans un triangle
[33] Les épi ou hypo trochoïdes
[34] Géométrie sur une Strophoïde
[35] Fermeture Hexagonale
[36] Cubiques circulaires passant par leurs foyers singuliers
[37] Combien de fois faut-il battre un jeu de cartes ?
[38] Avant le référendum
[39] La percolation
[40] Processus de branchement et descendance d'un individu
[41] Marches aléatoires sur Z
[42] Le jeu de Pile ou Face
[43] Le Berlekamp's switching game
[44] Jeux sur les graphes et théorème de Ramsey
[45] Jeux et stratégies
[46] Equations algébriques
[47] Intégration de polynômes, points de Gauss
[48] Les tonalités musicales vues par un mathématicien
[49] Loi de groupe sur une surface
[50] La transformation du Boulanger
[51] Rubik’s cube, groupe de poche
[52] Compte de rebonds
[53] La toupie Tippe-Top
[54] Détermination du sexe selon la température chez les crocodiles
[55] Calcul Tensoriel. Application à la relativité.
[56] Equations de Maxwell et formes différentielles, vers la relativité restreinte
[57] Les motifs des pelages d’animaux
[58] Les cercles de Tücker
[59] Interactions entre espèces, modèle de Lotka-Volterra
[60] Équation de la chaleur : traitement numérique
[61] Simulation numérique de l'équation de la chaleur
[62] Du bruit dans les images
[63] Image and movie denoising by nonlocal means
[64] Construction des entiers naturels
[65] Les axiomes de Zermelo-Fraenkel
[66] Entiers relatifs
[67] Nombres rationnels
[68] Nombres réels
[69] Nombres complexes
[70] Quaternions
[71] Ordinaux
[72] La construction des Réels par les coupures de Dedekind
[73] Laplace, Turing et la géométrie impossible du "jeu de l'imitation"
[74] La divination sikidy à Madagascar
[75] Les généralisations de la notion mathématique d'intégrale au 19e siècle
[76] Le processus d'abstraction dans le développement des premières théories de la mesure
[77] Les deux premiers journaux mathématiques français: les Annales de Gergonne (1810-1832) et le Journal de Liouville (1836-1845)
[78] Pourquoi, pour qui enseigner les mathématiques? Une mise en perspective historique des finalités et des contenus de l'enseignement des mathématiques dans la société française au XXe siècle.
[79] Les matrices : formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930)
[80] La loi des grands nombres, le théorème de De Moivre-Laplace
[81] La formule de Stirling
[82] Urnes aléatoires, populations en équilibre et séries génératrices
[83] Zeta de 3 est irrationnel
[84] Généalogie de populations : le coalescent de Kingman
[85] Cantor et la France 
[86] Introduction à la Théorie des Groupes
[87] À la recherche de la genèse du dernier mémoire mathématique de Georg Cantor
[88] Le triangle: philosophie, histoire, mathématiques
[89] Au menu: de la géométrie à  toutes les sauces
[90] Gaston DARBOUX : « Principes de Géométrie Analytique »
[91] "Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya" de Michèle Audin
[92] Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)
[93] Pourquoi les mathématiques sont-elles difficiles ?
[94] Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya - interview/discussion avec Michèle Audin
[96] Analyse mathématique - La maîtrise de l'implicite
[97] Epistémologie mathématique
[98] Galois, le mathématicien maudit
[99] Les Clefs pour la PSI et la PSI*
[100] Blagues mathématiques et autres curiosités
[101] Escapades arithmétiques
[102] Le jardin des courbes - Dictionnaire raisonné des courbes planes célèbres et remarquables
[101] Le problème de l'espace. Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann-Helmholtz
[102] Riemann : Le géomètre de la nature
[103] Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres) (présentation par l’auteur)
[104] La construction tractionnelle des équations différentielles
[105] Géométrie analytique classique
[106] La passeggiata - Battements d'ailes au jardin du Luxembourg 
[107] Vers une nouvelle philosophie de la nature
[108] Probabilités et statistiques aujourd'hui
[109] Des Mathématiciens de A à Z
[110] Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya (parutions)
[111] Cantor et la France
[112] Dimensions
[113] Arithmétique
[114] La correspondance entre Henri Poincaré et les physiciens, chimistes et ingénieurs
[115] Premiers cours de philosophie positive
[116] Une Introduction à la théorie des nombres
[117] Outils mathématiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs
[118] Nombres : Eléments de mathématiques pour philosophes
[119] Images des Mathématiques 2004-2006
[120] Leçons de mathématiques d'aujourd'hui
[121] Zoom sur les métiers des mathématiques
[122] Autour du centenaire Lebesgue
[123] L'épistémologie : état des lieux et positions
[124] Philosophie naturelle et géométrie au XVIIe siècle
[125] Les Mathématiques dans la Cité
[126] Réduction des endomorphismes
[127] Les femmes et l'enseignement scientifique
[128] Exercices de mathématiques pour physiciens
[129] La Relativité de Poincaré de 1905
[130] L'espace physique entre mathématiques et philosophie
[131] Jacques Hadamard, un mathématicien universel 
[131] Un mathématicien d'exception
[132] Nouvelle bibliographie cournotienne
[133] Paul Painlevé (1863-1933). Un savant en politique

 
Articles du programme de Supérieur

On doit à Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777, Göttingen 1855) des contributions considérables en physique (électricité, magnétisme), en astronomie (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, ou Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du soleil, 1809) et en métrologie (théorie des erreurs, méthode des moindres carrés). Mais si, un an après sa mort, il eut droit à une médaille commémorative avec l’inscription Mathematicorum Principi (prince des mathématiciens), c’est en raison de ses travaux qui devaient jouer un rôle déterminant dans les mathématiques du 19e siècle : première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre dans sa thèse en 1797, théorie des nombres (Disquisitiones Arithmeticæ, ou Recherches arithmétiques, 1801), théorie des surfaces (Disquisitiones generales circa superficies curvas, ou Recherches générales sur les surfaces courbes, 1827), entre autres. On sait qu’il avait découvert une géométrie non-euclidienne avant Lobatchevsky et abordé l’étude des fonctions analytiques avant Cauchy ; mais il ne publiait rien qui ne fût complètement élaboré à ses yeux.

Avec ses Disquisitiones Arithmeticæ de 1801 s’ouvre un univers théorique nouveau, l’arithmétique des congruences, où notre problème des restes chinois occupe la place relativement modeste de problème du premier degré. Nous donnons ici quelques extraits± des avant-propos (dédicace et préface) de l’auteur et des sections I et II de l’ouvrage, qui montrent les conceptions générales de Gauss, sa position par rapport aux travaux antérieurs et surtout le visage nouveau qu’il entend donner à l’arithmétique élémentaire, rigoureusement reconstruite± et reformulée en science des classes de nombres entiers. Avec les extraits des sections I et II, nous nous limitons à la partie élémentaire du traité qui correspond au programme d’arithmétique de la classe de terminale S, avec le problème des restes chinois en point d’orgue.

Question du jeudi #59 : Dans un certain sport, les actions peuvent rapporter $6$, $9$ ou $20$ points. Quel est le plus grand score qui soit impossible à atteindre ?

Question du jeudi #57 : Un avion survole un circuit parfaitement circulaire, en s'assurant de terminer sa trajectoire exactement là où il l'avait commencée. Autrement dit, sa trajectoire décrit une courbe fermée dans l'espace qui se projette sur un cercle au sol.

Montrer qu'il existe deux points opposés de sa trajectoire (c'est-à-dire deux points à la verticale de points diamétralement opposés du circuit) qui sont à la même altitude.

Question du jeudi #37 : Ana aime le hasard et déteste la monotonie. Tous les matins, elle tire à pile ou face sa boisson pour le petit déjeûner : thé ou café. Elle souhaite ainsi éviter de boire la même chose trois jours de suite. Au bout de n jours, quelle est la probabilité que sa règle de non-monotonie ait été respectée ?

Auteur : Alexandre Marino, Lycée Joffre (Montpellier)

Mots-clefs : Probabilités, Chaîne de Markov, Cinétique des gaz

Cet article a pour but de souligner l'intérêt des résultats sur les chaînes de Markov dans le contexte de la cinétique des gaz. Les notions seront abordées progressivement dans un souci  d'apporter un maximum d'intuition tout en évitant un excès de formalisme.

L'étude que je propose repose sur la question inhabituelle suivante : vous êtes en train de cuisiner et vous mettez au four la tarte que vous venez de préparer. Un moment d'inattention et quelques événements imprévus... vous oubliez votre préparation. Le drame se produit ! Déjà, trop tard ! votre œuvre est carbonisée et votre logement est enfumé. Comme vous le faites habituellement, vous vous précipitez et vous ouvrez toutes les fenêtres. En pensant bien faire, vous vous dites : « pour aérer, il suffit que je laisse mes fenêtres ouvertes le plus longtemps possible. » Est-ce une erreur ? Prenez-vous le risque que la fumée revienne en laissant vos fenêtres ouvertes trop longtemps ?

Dans cet article nous allons essayer de répondre à cette question. Pour y parvenir, nous essayerons d'analyser avec un maximum d'intuition les phénomènes liés au temps d'attente.

La plupart des notions abordées pourront être réutilisées dans l'introduction des probabilités au collège, au lycée et faire l'objet de sujets détaillés dans l'enseignement supérieur. Ce thème pourrait également faire l'objet d'une approche pluridisciplinaire. La dernière partie propose une activité pour le collège, un sujet détaillé niveau lycée et un sujet niveau supérieur reprenant pas à pas la démonstration d'un des principaux théorèmes.

Titre : Nombres à compter et à raconter

Auteur : Stella Baruk

Éditeur : Le Seuil

Prix : 13,5 €

En mai 2014, le Département de Mathématiques et Applications de l'École normale supérieure a organisé deux journées de formation à l'attention des professeurs de classes préparatoires.

Ces six exposés de deux heures exposent à la fois certaines bases des probabilités et statistiques (variables indépendantes, variables gaussiennes, intervalles de confiance, test statistiques), détaillent des exemples importants de processus aléatoires (jeu de pile ou face, percolation, mouvement brownien, arbres aléatoires) et donnent quelques ouvertures vers des champs contemporains de la recherche en probabilité.

Cet article présente les différentes vidéos. Nous remercions particulièrement Raphaël Cerf, directeur de l'équipe de probabilités du DMA, pour avoir suggéré d'insérer ces vidéos sur Culture Math. La captation des exposés a été réalisée par le pôle communication de l'ÉNS.