À la recherche de la genèse du dernier mémoire mathématique de Georg Cantor
Résumé

Franz Goldscheider (1852-1926) est un « ancien élève » de Cantor, professeur de mathématiques dans un lycée de Berlin. La lettre de Cantor du 18 juin 1886, dont nous donnons ci-dessous une traduction française, est la première manifestation connue d’un échange entre les deux mathématiciens, qui se poursuivra de 1886 à 1888. Cette première lettre constitue un véritable exposé introductif des fondements de la théorie cantorienne des ensembles, présentant les notions de cardinaux et d'ordinaux et leurs premières manipulations opératoires.

Du côté de la correspondance entre Cantor et Franz Goldscheider (lettre du 18 juin 1886) 

       

Anne-Marie Décaillot, Equipe REHSEIS (CNRS, Université Paris-Diderot) - †


Article déposé le 10 novembre 2008. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.

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La lettre expose, avec de nombreux exemples imagés à l’appui, les notions d’équivalence et de puissance ensemblistes ; puis l’arithmétique des nombres cardinaux met l’accent sur les spécificités opératoires concernant les nombres transfinis. La notion d’ensemble bien ordonné est alors définie, ainsi que celle cruciale de nombre ordinal et d’ensembles conformes. De nombreux exemples permettent d’éclairer les règles de calcul régissant les nombres ordinaux transfinis. Cantor parvient ainsi à la définition du nombre ordinal ω (nombre ordinal de l’ensemble des entiers ordonnés dans l’ordre naturel) et de la puissance ω* (nombre cardinal de l’ensemble des entiers). La deuxième classe de nombres apparaît alors comme l’ensemble de tous les nombres ordinaux, qui sont des types d’ensembles bien ordonnés de puissance ω*. Il y a autant de nombres ordinaux de deuxième classe que de relations de bon ordre sur l’ensemble des entiers.

La lettre que nous éditons ici en langue française prouve une fois encore l'importance des correspondances dans la formation d'une pensée mathématique et permet de reconstituer la genèse du dernier grand mémoire de théorie des ensembles, les Beiträge, publié entre 1895 et 1897 par Georg Cantor, où ces notions seront publiées et approfondies.


 

SOMMAIRE
 
 
 

 

 

Présentation

 

Franz Goldscheider (1852-1926) est un « ancien élève » de Cantor, professeur de mathématiques dans un lycée de  Berlin [1]. La lettre de Cantor du 18 juin 1886, dont nous donnons ci-dessous une traduction française[2], est la première manifestation connue d’un échange entre les deux mathématiciens, qui se poursuivra de 1886 à 1888[3]

Cette première lettre constitue un véritable exposé introductif des fondements de la théorie cantorienne des ensembles, présentant les notions de cardinaux et d'ordinaux et leurs premières manipulations opératoires. Elle sera bientôt suivie d’une autre lettre où Cantor, répondant à certaines questions de son interlocuteur, exprime sa joie :  « da ich so glücklich bin, Ihr Interesse für das mir noch so dunkle Gebiet der zweiten Zahlenklasse erweckt zu haben »[4] (« car je suis si heureux  d’avoir éveillé votre intérêt pour le domaine encore si obscur pour moi des nombres de la deuxième classe »). À ce propos, Cantor reconnaît suivre la tendance « égoïste » qui consiste à attirer le jeune mathématicien vers une collaboration en un domaine où la finesse de son interlocuteur permet un approfondissement scientifique. Cette attitude deviendra perceptible dans les lettres ultérieures ; les échanges perdront alors leur caractère de « leçon » de maître à élève pour se rapprocher d’une recherche commune.

Afin de mieux comprendre la nature de cette correspondance, il nous faut examiner la situation scientifique de Cantor en cette année 1886. Ce dernier est professeur à l’Université de Halle depuis 1869, où il a succédé à Hermann Schwarz auprès d’Eduard Heine, mais il n’est titulaire que depuis 1879. Une grande partie des recherches qui l’on conduit à l’étude de l’infini mathématique et à la toute récente « théorie des ensembles » est déjà parue dans le Journal für die reine und angewandte Mathematik et dans les Mathematische Annalen. Le monumental mémoire « Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten » (« Sur les ensembles infinis linéaires de points ») a été en particulier publié en six parties dans les Mathematische Annalen entre 1879 et 1884. En 1883, le mathématicien suédois Gösta Mittag-Leffler, ami de Cantor, a ouvert la revue Acta Mathematica qu’il dirige à la traduction en langue française de l’essentiel de ces travaux.

Ces traductions ont été effectuées sous la responsabilité d’une équipe française comprenant les mathématiciens Charles Hermite, Henri Poincaré, Paul Appell, Émile Picard. Les Français sont sensibles à la nouvelle vision de la théorie des fonctions que permettent les travaux de Cantor concernant les « ensembles linéaires de points ». Par contre le développement, ébauché dans les Grundlagen5, d’une théorie des ensembles abstraits, conduisant aux notions de « type d’ordre » d’un ensemble bien ordonné ou de nombre ordinal transfini, est loin d’entraîner l’adhésion des scientifiques français. Henri Poincaré, qui pourtant utilise les classifications cantoriennes des ensembles infinis de points pour ses propres recherches, critique vertement les Grundlagen pour « le défaut d’exemples un peu concrets » ; de ce fait, les nombres de la deuxième et surtout de la troisième classe ont un peu l’air d’« une forme sans matière »6.

Mittag-Leffler n’est pas insensible à ces critiques. Aussi lorsque Cantor lui présente en 1885 un nouveau mémoire intitulé « Principien einer Theorie der Ordnungstypen » (« Principes d’une théorie des types d’ordre »)7, il lui oppose un refus catégorique au prétexte que son travail serait trop en avance sur son époque et il lui conseille de ne pas publier ses travaux avant d’avoir obtenu des résultats positifs liés à la théorie des types d’ordre. Ce refus va entraîner la rupture immédiate entre les deux scientifiques. Cantor se détourne alors pendant près de 10 ans des revues de mathématiques. Il publie essentiellement dans des revues philosophiques, comme le Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, et les revues associatives comme le Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (revue de la DMV) et, en France, les Comptes rendus de l’Association française pour l’avancement des sciences (AFAS). L’investissement de Cantor dans la vie associative va le conduire à préparer activement le premier congrès international des mathématiciens (Zurich 1897).

Nous voyons Cantor soucieux de tisser des liens avec des milieux autres que les milieux académiques : il s’agit des philosophes et des théologiens lecteurs de la revue de philosophie allemande, de jeunes professeurs membres de la DMV, et, en France, des « amateurs » de mathématiques de l’AFAS, ou de jeunes chercheurs en formation à l’École normale supérieure.

Dans cette recherche d’interlocuteurs scientifiques nouveaux, la correspondance avec Franz Goldscheider prend tout son sens. Cantor veut diffuser sa théorie des ensembles auprès des enseignants nouvellement formés, avec l’espoir d’en faire d’ardents défenseurs des idées fondamentales qu’elle contient. Franz Goldscheider est en ce sens un interlocuteur privilégié. Son intérêt pour les thèses de Cantor, ses interrogations, ses incompréhensions peut-être vont conduire le mathématicien allemand à élucider la présentation assez confuse des transfinis qu’il a adoptée dans les Grundlagen.

Avec la lettre du 18 juin 1886 nous sommes au tout début de ce long processus. Le soin pédagogique de l’auteur est évident. Cantor a-t-il eu vent des critiques de Poincaré ? En tout état de cause la qualité des exemples qu’il avance afin de rendre accessibles ses innovations est digne d’attention. Mais Cantor va au delà du seul souci pédagogique, puisque l’essentiel du raisonnement et des exemples développés dans cette lettre vont se retrouver dans l’article philosophique « Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten » (Communications sur la théorie des transfinis »)8 publié en 1887-1888 dans le Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik.

Les résultats nouveaux auxquels parvient Cantor sur les nombres transfinis de la deuxième classe sont exposés ultérieurement à Goldscheider au cours de discussions fructueuses, où le jeune berlinois ne se montre pas inactif. Cette élaboration conduira Cantor à la rédaction d’un nouveau mémoire, publié en 1895-1897 dans les Mathematische Annalen : les « Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre » (« Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis »)10. Ce mémoire, traduit en italien en 1895, en français en 1899, et en anglais en 1915, va consolider le rayonnement international de Cantor.

Avec la lettre ci-dessous, nous sommes donc au cœur d’un processus d’exploration et de recherche, dont les premières expressions sont liées à une correspondance. Cette méthode est privilégiée par Cantor, depuis l’élaboration de la théorie des ensembles effectuée au cours d’un échange épistolaire avec son yiprendre la nature de cetteRie(A/ Dedekinde, ainsi que l’e montié l’uvrlagn deJepanCravai;lès)>

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pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmr; color: rgb(64, 0, 0) text-align:justify) "margin-left: 0px;">
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pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmr; color: rgb(64, 0, 0) text-align:justify) "margin-left: 0px;">  >
pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmr; color: rgb(64, 0, 0) text-align:justify) "margin-left: 0px;"> ActaeMaihrraiican

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pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmr; color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;">
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pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmr; color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;">
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pp class=sdfoot nol-w esderc" style= color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;"> Mléoirlt e; laSoci édé lt ScieancesPhysi qusecesNnaturlldsx d Bordenau<,d5>/supe>  > pp class=sdfoot nol-w esderc" style= color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;"> Seuelrea;fnde;ment e; lathtéorim dsx;ensemblsxtransffins<,dtraduactionF.eMarotte,uPpais : Hermann,u1899.>

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc" style= color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;">  >
pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmr; color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;"> Georg Cdator Brimfrs

pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmr; color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;">  >

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pp class=sdfoot nol-w esderc" style= color: rgb(64, 0, 0) "margin-left: 0px; text-align: left;">

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc" style="margin-left: 0px; text-align: left; color: rgb514, 0, 0);"> [1962]x i>Philosophie maihléaii qus

br /"> p" style= color: rgb514, 0, 0) "margin-left: 0px;"> [2008]x i>Cdator ces laFraanc. Ccorrespondaace u maihléaiicieaxalclmandtaAvec lsxFrançoanin à lafin du XIX.
/sp" i>&è5
txièclus

 >
pp style="margin-left: 0px;"> [1976] Dces correspondancesmaihléaii qus dsxXIX./sp" style= color: rgb514, 0, 0) " e >e>

br /"> p" style= color: rgb514, 0, 0) " [1970] An UnpublishedePpper by Georg Cdator ;s « Principiger;inerxTheorim dr Ordnunastypen -nErstseMitihriluna »,u i>ActaeMaihrraiican

br /">
 >
pp style="margin-left: 0px;"> [1961]x i>Denk-weseonarossereMaihrraiiker. Ein Weg zeueGeichichtm dr Maihrraiik.

br /"> p" style= color: rgb514, 0, 0) " [1991]x i>Georg Cdator Brimfrs

 >
h3n style="margin-left: 0px; text-align: left;"> br /"> Nnols br /">  > pp class=sdfoot nol-w esderc" ap class=sdfoot nolsym"a href=#sdfoot nol1sana" name=sdfoot nol1sym">15

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc" ap class=sdfoot nolsym"a href=#sdfoot nol2sana" name=sdfoot nol2sym">25

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pp class=sdfoot nol-w esderc" ap class=sdfoot nolsym"a href=#sdfoot nol3sana" name=sdfoot nol3sym">3>
lsxldttbrse deCdator àGbolichei dr ou11/10/1886, 3/04/1888 eit9/04/1888 dans[Cdator 1991,dp. 263-266, 307-313].>

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc" ap class=sdfoot nolsym"a href=#sdfoot nol4sana" name=sdfoot nol4sym">45

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc"
5>/span style="color: rgb04, 0, 0);"[Cdator 1883a],t ublisé Aussistons la;forme[Cdator 1883b].>

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc" 65 Ldttbre dePoinca ré àMitiag-Lefflge,e16 "mas 1883 [Dugac 1976,dp. 156].>

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc"
7>/span style="color: rgb04, 0, 0);"Voir àcee ropons[Gratian-Guiness 1970].>

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc" 85 Voir nn partculnierlne paaegrphenVIII 1-8 dans[Cdator 1932,dp. 411-418].>

 >
pp class=sdfoot nol-w esderc"
9>/span style="color: rgb04, 0, 0);"Plusrieusxldttbrse deCdator au maihléaiicieaxit-aleaxGiulno;Vivaonie évoqurontaAussisuse echerchesr conderdat; la deuxième clasle de nombreatransffinse[Cdator 1991,dp. 300-305].>

 >
10>/span style="color: rgb04, 0, 0);"[Cdator 1895-1897],dtraduactionfrançoanirs[Cdator 1899ae ou1899b].>
 >
pp class=sdfoot nol-w esderc" 11>

 >
/span style="color: rgb(64, 0, 0);" 125  >/span style="color: rgb04, 0, 0);"[Cdator 1874].>
 >
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13>

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pp class=sdfoot nol-w esderc" ap name=14ab">145  > + N..

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pp class=sdfoot nol-w esderc"
155 Lla démonstraitionde nces ropri édés nulplement évidletdsxfait aitrrveniur at notiondl&rsquo équivallenctcontreldsx;ensembls.ePoeuelrea deux premièrse claslse de nombre,e;elle esteffectuséle danslde -éoirls « BeiträgerzeueB&egünduna der transffintln Menagelehdr>  »,u ublisécontre1895 eit1897e dansldsx i" style= color: rgb(64, 0, 0);"Maihrraiiiche Aninaen.s[Cdator 1899ae o1899b].>

 > p" ap name=16ab">
16> :>

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p" Il nn résuulueimmnédiatlemen> :>

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 >
pp class=w esderc" style="marginbottom: 0cmrc" 17> s cosi déraitios histori quseces lse paaegrphes philosophi qus ds laversi;onalclmandr.>

 >
pp class=MsoFoot nolTtexc" 185 Cdator moontre que l&rsquo ensembleAs lsefracitios ir réduactmblsx est génnombabbl,e bien ordonnéent"cn;forme à 'o ensembleusuel Ll’cutur rervientsour at génnombabili;dé le l&rsquo ensembleAs lsefracitios ir réduactmblsx le l&rsquoaitrrvalcls i" style= color: rgb(64, 0, 0);" o:up> br style= color: rgb(64, 0, 0); /"> pl&rsquo+ ql&rsquo  >;s ou bien i" style= color: rgb(64, 0, 0);"p+ q =>pl&rsquo+ ql&rsquo>> sen> n i" style= color: rgb(64, 0, 0);"p <>pl&rsquo.

pp class=MsoFoot nolTtexc" VII3 ds la résmenexldttbr. Oonretpruvee ainsilexfait que l&rsquo ensembleAs est génnombabbl,e bien ordonnéent"cn;forme à

 >
pp class=sdfoot nol-w esdercv style="margin-left: 0px; text-align: left;"> /span style="color: rgb(64, 0, 0);"
19>/spanide=cke_bm_173EB" style=display:s nne;">  >/spanide=cke_bm_265EB" style=display:s nne;">  >

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