Abstraction et Imagination. Les deux leviers de la pratique géométrique.
Publié le 26/05/2018
Résumé

« Je dois te faire un dessin  ? » Demande-t-on à quelqu'un qui semble ne pas avoir réussi à suivre une explication orale.
Cette expression souligne et résume le fait que l'information véhiculée par le dessin est à la fois plus rapide et plus facile à appréhender que celle véhiculée par un discours, aussi bien énoncé soit-il.

 Abstraction et Imagination ...

Les deux leviers de la pratique géométrique.


Par Michel Rodriguez, agrégé de mathématiques.  Il a été instituteur, enseignant de collège et de lycée, formateur pour adultes et formateur d'enseignants à l'IREM et au CUEP de Lille.
Intéressé depuis une trentaine d'années par l'histoire des mathématiques et ce qu'elle peut apporter dans l'apprentissage de cette discipline, il milite pour un enseignement des maths qui donne la priorité à la cohérence des apprentissages, au respect des étapes épistémologiques de la construction des savoirs, quitte à patienter avant d'utiliser des notions dont on ne peut pas comprendre d'où elles sont sorties.

Crédit photo page d'accueil : A. CHERITAT/CC-BY-SA/CNRS


« Je dois te faire un dessin  ?  » Demande-t-on à quelqu'un qui semble ne pas avoir réussi à suivre une explication orale.

Cette expression souligne et résume le fait que l'information véhiculée par le dessin est à la fois plus rapide et plus facile à appréhender que celle véhiculée par un discours, aussi bien énoncé soit-il.

Sans doute vais-je donner l'impression au lecteur d'enfoncer quelques portes ouvertes, mais il me semble utile de procéder à une analyse plus détaillée du phénomène, car cette analyse me conduira à établir quelque chose qui n'a plus rien d'évident aux yeux du «  grand public  », pas plus qu'à ceux qui ont la lourde responsabilité de diriger la barque de notre institution scolaire, dans un monde de plus en plus instable, en choisissant, souvent de bonne foi, de se laisser porter par les trop forts courants, de peur de casser le gouvernail …

Quelque chose, disais-je, qui est devenu «  ma cause  », mon combat  :

Nous devons de toute urgence restaurer la pratique de la géométrie dans l'école élémentaire et dans nos collèges. C'est vital, si nous voulons que notre société soit celle de la démocratie, celle de l'état de droit et du libre-arbitre, dans laquelle «  l'honnête homme  », le citoyen, participe aux débats de société, plutôt que celle où gouvernent les communicants, dans laquelle le «  consommateur  » croit n'avoir d'autre choix que celui sur la marque de son portable ou de son dentifrice.

Mais attention … Non pas restaurer la pratique de la géométrie au sens où elle aurait complètement disparu des  programmes, car ce n'est pas le cas. Mais plutôt le restaurer, au sens où l'on restaure les bâtiments en ruine : le remonter pierre par pierre, lui rendre son architecture d'origine ainsi que sa fonction, celle de «  TEMPLE de la RAISON  ».

L'enjeu est phénoménal ! J'y reviendrai en conclusion ...

Relevons donc les différences fondamentales entre ces deux «  supports d'information  » que sont le dessin et le discours   :

a) sur le «  type d'accès  » au cerveau :

  • Le dessin s'adresse au sens de la vue, et rien qu'à lui.
  • Le discours peut être écrit, auquel cas il s'adresse également à la vue, mais parfois au toucher s'il est écrit en braille ; ou bien il peut être oral, auquel cas il s'adresse dans des proportions variables à l'ouïe et à la vue, tant il est vrai que celui qui s'exprime peut utiliser son corps (gestuelle, mimiques, langue des signes...) et son environnement, pour étayer son discours.

Le «  récepteur  » du message oral doit donc activer simultanément ou plutôt «  en bon ordre  » de nombreuses fonctions de son cerveau pour déchiffrer le message. C'est un peu plus facile pour le récepteur du message écrit, mais l'aspect déchiffrage est tout aussi présent.

 

b) sur la durée de mobilisation du cerveau :

  • Le dessin peut être «  immédiat  » s'il est donné à l'état achevé, on peut alors parler d'information SYNOPTIQUE, et le récepteur a simultanément sous ses yeux l'ensemble des informations véhiculées, ce qui est pratique si elles ne sont pas très nombreuses … Mais il peut aussi être donné avec son historique, sous forme de «  bande dessinée  » qui raconte sa construction ce qui redonne son importance au temps et met de l'ordre dans les informations, chaque information étant elle-même immédiate.
  • Le discours passe, quant à lui, par le langage … de ce fait, même un message qui pourrait être immédiat, nécessite d'être «  raconté  ». La description d'une image par exemple en impose un «  sens du parcours  » qui est le choix de l'émetteur qui n'aurait pas été celui d'un autre, ou celui du récepteur.

La reconstitution par le récepteur de la chose décrite peut être altérée par la durée de la description (oubli d'un élément du début), par le choix inadapté du parcours de description, par le niveau de langage utilisé …

Il y aurait encore certainement d'autres dimensions à évoquer, mais je pense en avoir suffisamment répertoriées pour conclure que :

  • Le discours peut-être allusif, ambigu, elliptique, imagé, passionné, haché, bredouillé, emphatique, parasité …
  • Alors que le dessin est juste … là !

Contrairement au discours, la difficulté que l'on peut avoir à l'analyser est directement  liée à la complexité de l'information véhiculée ... ni plus ni moins …

Pourquoi doit-on faire de la géométrie dès l'école élémentaire  ?

J'insiste sur l'expression : «  faire de la géométrie  » et non «  enseigner la géométrie  » …

Si l'on veut travailler les fondements du raisonnement hypothético-déductif, si l'on veut construire une Logique, ce qui est tout de même l'enjeu essentiel de l'instruction, qui est fondamentalement ce qui distingue l'enfant sauvage du citoyen, le passage de la passion à la raison, alors les «  briques  » de cet édifice doivent être des objets purs, idéels, élémentaires, dotés d'une seule caractéristique parfaitement binaire  : «  vrai ou faux  ?  ».

Voici donc la première raison d'être de l'abstraction : l'accès à des vérités absolues, c'est à dire universelles, éternelles, indiscutables.

La Raison n'est pas «  la raison du plus fort  » ni «  la raison de ce côté des Pyrénées  », ni celle «  d'aujourd'hui  », elle est La Raison.

Dans cet esprit, quel meilleur support pour fonder le raisonnement que la géométrie élémentaire ?

Ce monde où toutes les «  propositions  » peuvent s'exprimer dans, et à travers, des dessins (les «  figures  »), dépouillés au maximum de toute espèce d'ambiguïté.

 Je dis «  au maximum  » car il reste quelques cas de confusion qu'il faudrait chasser, comme :

Le rayon, le diamètre, sont-ils des nombres ou des segments ? Et la hauteur ? Nombre, segment, ou droite  ?...

Ce monde où le langage se construit au fur et à mesure de la création des concepts et de la découverte de leurs propriétés, avec des phrases dont la structure est également élémentaire (Sujet -verbe) ou  (Sujet -Verbe- Complément) ; avec un vocabulaire dont on chasse sans pitié la notion même de «  synonyme  ».

Ce monde dépouillé volontairement de tous les éléments qui peuvent créer des désaccords dans le cadre d'une décision à prendre : nulle place pour l'opinion, les sentiments, les jugements de valeur … de sorte que le débat est par principe «  dé-passionné  », de sorte que toute communication est de facto égalitaire entre l'émetteur et le récepteur, ce qui est en soi une bonne évocation d'un débat «  démocratique  ».

Ce monde dans lequel une erreur n'est pas une «  faute  », mais un incident de parcours, sur lequel on s'appuie pour détecter une subtilité qu'on n'avait pas perçue au premier passage … Dans lequel le tâtonnement est l'une des attitudes d'exploration les plus productives. Erreur, errements, errance … tous ces mots sont de la même racine …

Je viens d'utiliser le mot clé … EXPLORATION !  La géométrie n'est pas un monde que l'on fait découvrir en portant des éclairages locaux, ou en montrant du doigt tel ou tel de ses recoins ; c'est un monde qu'on explore en même temps qu'on le bâtit, et c'est cette dimension-là qui s'est presque perdue dans notre enseignement actuel des mathématiques, si tant est qu'elle résiste encore ici ou là …

Me voilà où je voulais exactement en venir : Apprendre la géométrie (l'explorer) et faire de la géométrie (la construire) est une seule et même activité ! Comme apprendre à faire du vélo et faire du vélo !

Arrêtons donc de prétendre «  enseigner la géométrie  » à nos élèves, et faisons de la géométrie avec eux ! (C'est la raison pour laquelle je parlais de restaurer la pratique de la géométrie plutôt que l'enseignement de la géométrie ...)

Au lieu de faire des «  leçons catalogues  » sur les triangles, les quadrilatères, les angles, comme on faisait des «  leçons de choses  » au siècle dernier, plaçons nos élèves devant des situations, des problèmes …

Arrêtons-nous un instant sur ce dernier mot «  problème  », si révélateur de l'air du temps :

Pendant des siècles, ce mot a simplement désigné une simple question à résoudre, étymologiquement  :  «  ce qui est jeté devant  ».

Au XVIIème siècle, à cette époque si fertile où les Fermat, Pascal, Descartes, et tant d'autres s'envoyaient par correspondances des défis intellectuels, le «  problème mathématique  » a pris ses lettres de noblesses ( … que l'on excuse le jeu de mots, s'agissant de correspondances …), et c'est dans cette acception de défi intellectuel, que je voudrais donc pouvoir continuer de l'utiliser …

Seulement, nous apprend le dictionnaire historique de la langue française[1], dans la deuxième moitié du siècle dernier, c'est à dire presque hier, ce mot a pris de nouvelles acceptions, qui sont devenues de plus en plus courantes, et qui ont considérablement affecté son usage. Le mot «  problème  » est aujourd'hui un synonyme de «  contrariété  », de «  souci  », ou même pire, lorsqu'on s'est mis à parler de «  problème de prostate  » ou de problèmes psychologiques  » …

Je ne suis pas loin de penser que ce glissement sémantique est la trace d'un désamour de la société française contemporaine envers l'effort intellectuel en général, et cela m'attriste.

Alors évidemment, difficile de mettre en appétit un enfant, de nos jours, en lui disant «  je vais te poser un problème ...  ». C'est un fait particulièrement navrant, car il est historiquement acquis que ce sont les problèmes qui ont sécrété la géométrie plutôt que l'inverse !

Mais, qu'à cela ne tienne, oublions les «  problèmes  », appelons-les «  CHALLENGES  »... Ça, c'est moderne, c'est tendance, c'est swag ... avec la touche qu'il faut d'américanisme ambiant ... et n'en parlons plus  !...

Arrangeons-nous donc pour sélectionner une brochette de challenges consécutifs en respectant une règle de sélection basée sur trois critères qui doivent être systématiquement réunis :

1- Ne pas posséder de solution évidente.

2- ne pas nécessiter des concepts hors de portée de l’élève …

3- Surprendre l’élève, le choquer en quelque sorte … c’est-à-dire lui faire tenir des propos montrant qu’il n’est pas sûr de la propriété qu’il a devant les yeux !

Cette troisième condition est le critère moteur de l'activité, celui qui garantit ce que les didacticiens appellent la «  dévolution  », c'est à dire à dire le mécanisme par lequel l'élève «  fait sien  » le problème, et par conséquent décide de mobiliser ses compétences pour le résoudre …

C'est aussi cette condition qui va maintenir l'attention, l'intrigue, la curiosité pendant toute l'activité …

C'est enfin cette condition qui permettra le plaisir de la victoire contre un problème qui résistait, et qui a finalement cédé face à un raisonnement efficace, ce bonheur émerveillé que tous les mathématiciens connaissent et qu'ils recherchent ; celui qui leur fait dire qu'ils aiment les mathématiques.

A une époque où l'on parle de carence en vocations scientifiques, peut-être serait-il opportun de s'interroger sur l'appétence des activités mathématiques proposées dans nos classes …

Comment faire aimer les mathématiques à un enfant sans véritablement en faire ?

Est-ce «  faire des mathématiques  » que d'écouter un exposé de présentation d'un concept puis se coltiner une batterie d'exercices gradués pour en percevoir un maximum de situations d'applications ainsi que les risques d'erreurs dont il faut se méfier, en se focalisant de plus en plus vers les problèmes de type BAC au fur et à mesure qu'on approche de l'échéance  ?

Je sais bien que je grossis le trait, mais la tendance est là : la différence est grande aujourd'hui entre «  faire des maths  » et «  suivre un cours de maths de primaire ou de collège  ». Beaucoup trop grande pour espérer susciter des vocations comme ça …

Faire des mathématiques, c'est se poser en mathématicien.

Et faire de la géométrie, c'est faire des mathématiques «  proximales  », des mathématiques dont le niveau d'abstraction est faible, ou tout au moins ajustable du fait que la figure géométrique n'est jamais très éloignée d'une interprétation dans le monde sensible, dans le monde réel.

Là encore, les mots ne sont pas fortuits  : se figurer quelque chose, c'est se le représenter  ! De là à dire que la géométrie est «  figurative  », il n'y a qu'un pas qu'il faut savoir franchir, tout au moins au début … Car c'est là qu'intervient la deuxième qualité du mathématicien : l’imagination.

Voir dans la figure géométrique une représentation partielle, épurée, d'une parcelle de monde réel, lui donner une interprétation dans le monde sensible …

En écrivant ces lignes me revient le souvenir d'une émission télé que j'adorais regarder dans les années 70, et qui s'appelait «  du TAC au TAC  ». Une bande de dessinateurs humoristiques, Piem, Cabu, et quelques autres, s'affrontaient sur un exercice d'inspiration, qui consistait à compléter un dessin à peine amorcé … trois ou quatre lignes droites ou courbes, dénuées de sens … à chacun d'y voir ce qu'il voulait. Voilà, c'est cela l'imagination ! C'est le concret qui revient se plaquer sur de l'abstrait !

La géométrie le permet et l'encourage.

Avec la numération, elle est la région du monde mathématique la plus facile à appréhender par l'enfant, qui, à l'école primaire, et même au collège, est encore très attaché au monde sensible.

​C'est quoi un mathématicien  ?

Un lieu commun très répandu fait du mathématicien une sorte d'extra-terrestre, quelqu'un qui vit exclusivement dans l'univers mathématique, un monde «  ailleurs  », parfaitement étanche du monde réel.

Cette façon d'envisager les mathématiques et les mathématiciens est selon moi la trace, chez celui qui l'adopte, d'un échec dans la formation initiale en mathématiques. Plus précisément c'est la preuve que la dimension épistémologique des maths a été totalement négligée.

On sait pourquoi … mais jusqu'à ce jour, on ne se donne pas les moyens de lutter contre …

Pourquoi ? C'est très simple : Les enseignants de primaire sont très rares à avoir reçu une formation mathématique sensiblement plus poussée que celle qu'on leur demande d'enseigner ! Ce sont très majoritairement des gens qui ont suivi des études littéraires, et il en est de même de la plupart des conseillers pédagogiques et des inspecteurs chargés de les aider, de les suivre, de les évaluer …

Juste une anecdote pour illustrer ce fait  : J'ai commencé ma carrière d'enseignant comme instituteur en septembre 1982. Le premier gouvernement de M.MITTERAND avait voulu donner une impulsion sur l'éducation et avait décidé pour pouvoir baisser le nombre d'élèves par classe en primaire, un recrutement massif d'instituteurs par un concours de niveau DEUG.

Ces instituteurs «  nouvelle mouture  » étaient directement mis devant une classe, et on leur accordait une formation sous forme de 6 semaines de stage en école normale, réparties sur l'année scolaire pendant trois années. Cette formation contenait des interventions «  théoriques  » sur chaque discipline et des moments d'observation dans des classes, sur le terrain, chez des maîtres chevronnés…

Au cours de l'une de ces observations, j'ai assisté à une séance de mathématiques de CM2 au fond de la classe, avec 5 autres stagiaires. Nous étions chargés de prendre des notes afin d'exposer nos observations aux autres groupes de stagiaires disséminés dans d'autres classes, avec la même consigne … Je m'en souviens pour ma part comme d'une activité très instructive car, sachant ce que le maître voulait introduire, je pouvais me concentrer sur la manière dont il le présentait ...Et c'était passionnant  !... Je remarquais alors que ma voisine, stagiaire comme moi, prenait énormément de notes, et j'ai réalisé rapidement que, ne sachant pas résoudre les problèmes posés par le maître à ses élèves, elle notait chaque phrase prononcée en espérant que cela lui donnerait la clé du problème. J'ai appris plus tard que cette stagiaire n'était pas issue du même concours que moi mais du concours interne et qu'elle enseignait déjà depuis plus de trois ans en faisant des remplacements dans l'académie, notamment donc des remplacements en CM2 … Quel pouvait-être son enseignement en mathématiques  ? Je m'interroge encore …

 Il est bien naturel, dans ces conditions, d'avoir au collège des élèves (parfois des bons élèves...) convaincus qu'un losange ne peut avoir d'angle droit dans la mesure où c'est ainsi qu'il a souvent été décrit par le maître en CE2 !

 Depuis cette époque, il m'est arrivé à plusieurs reprises d'intervenir en IUFM, dans la formation initiale des professeurs des écoles, et ces expériences n'ont fait que confirmer mon observation : De nombreux maîtres ont développé une sorte de complexe vis à vis de l'activité mathématiques, et d'autres, plus rares, y sont carrément hostiles ou réfractaires

Comment ne pas y voir un obstacle à la transmission auprès de leurs élèves ?  Un obstacle à la conception d'activités qui donnent le goût des mathématiques ? Ces enseignants-là transmettent plus ou moins consciemment leurs propres angoisses, et leur propre incompréhension.

J'ai également encadré des mémoires de Professeurs de Lycées et Collèges durant leur année de stage, et cela m'a donné l'occasion d'observer que même chez les détenteurs d'un diplôme en mathématiques, la dimension épistémologique de leur discipline était insuffisamment enracinée dans leur pratique.

Du reste, je peux témoigner que c'était aussi mon propre cas : C'est un stage IREM d'histoire des mathématiques qui m'a fait comprendre, en 1991, auprès notamment de Rudolf BKOUCHE et d'anne-Marie MARMIER, de manière très brutale le contraste saisissant entre

  • les structures mathématiques, froides, éthérées, désincarnées, dont la beauté est comparable à celle des horlogeries,
  • et le processus d'élaboration de ces mêmes structures, son lien avec des individus en butte avec une question souvent d'ordre pratique, son lien avec une société et son niveau de développement dans le domaine du nombre, celui de l'astronomie … son lien avec des considérations politiques, religieuses …

Des aventures tellement humaines ! Dont la beauté est comparable à celle d'un roman D'Alexandre Dumas !

C'est là que j'ai compris clairement qu'il n'y avait pas un «  monde mathématique  » dans lequel vivent les mathématiciens, mais bien deux mondes parallèles  ; le monde réel d'une part, avec sa temporalité, sa géographie, ses phénomènes économiques, climatiques, sociaux... et le monde abstrait d'autre part, figé et universel …

… et que les mathématiciens sont à l'interface entre ces deux mondes : ils jouent le rôle de «  passeurs  » d'un monde à l'autre, car aussi surprenant que cela paraisse, il s'avère que ces mondes-là sont jumeaux !

Ils sont jumeaux au sens où Platon y faisait déjà allusion dans le mythe de la caverne : le monde des contingences matérielles et celui des idées … Il y a tout de même de cela, non ?

L'un des mondes serait le monde des «  ombres visibles  », portées sur la paroi de la caverne, des objets de l'autre monde …

Ils sont jumeaux au sens ou Galilée nous racontait que «  la nature est un livre écrit en langage mathématique  » … Ce serait donc selon lui, juste une question de langage, mais l'un des monde aide à comprendre, à expliquer,  à traduire l'autre !

En termes de traduction, on distingue le thème et la version … Le thème part de la langue maternelle et traduit dans la langue étudiée, la version fait le trajet inverse.

En poursuivant l'analogie, et en considérant que le monde réel (sensible) est notre «  langue maternelle  » on peut donc dire que l'abstraction et l'imagination sont respectivement le thème et la version  pour l'accès au monde mathématique !

Et ça donne quoi, t​out ça  ?... «  concrètement  »  ?...

… Vous avez raison, tout cela devient beaucoup trop théorique.

Essayons de l'illustrer par la comparaison d'activités telles qu'on les trouve dans les manuels, et des aménagements que je trouverais salutaires.

  1. On voudrait travailler sur les propriétés des milieux dans un triangle (collège) …

On trouve un peu partout la figure idoine d'un triangle partagé par un ou plusieurs segments reliant des milieux (figure 1), avec des variantes possibles (on remplace le segment par la droite des milieux...). Et on se propose de démontrer la (les) propriété(s) des milieux dans le triangle …

En relisant les conditions citées plus haut pour qu'une activité géométrique «  mérite le détour  », on constate qu'en ce qui concerne la 3ème condition, on reste vraiment sur sa faim …

 

Personnellement, je n'ai encore jamais trouvé un élève que cela étonne de constater que le segment des milieux est parallèle au troisième côté, ni même que sa longueur est la moitié de celle du même troisième côté.

Du reste, pour tous les élèves qui auraient déjà été confrontés à des problèmes de pavage, il apparaît absolument évident que le triangle de départ est partagé en 4 triangles superposables et si l'aire a été divisée par 4, chaque côté a été divisé par 2 (inutile d'évoquer des homothéties pour ça  : penser au partage en 4 parts égales par les médianes d'un carré, d'un rectangle, d'un losange d'un parallélogramme ...)

De ce fait, les élèves écouteront gentiment vos arguments, mais aucun ne sera intrigué par cette démonstration, et seul l'enseignant aura la satisfaction personnelle «  du devoir accompli  »...

 

Maintenant attaquons ce même épisode autrement : présentons aux mêmes élèves et sans aucune préparation la figure 2 : Un quadrilatère concave et le quadrilatère de ses milieux.

 

Ou mieux encore … Faisons-leur dessiner 4 points quelconques en évitant les alignements, faisons-les nommer  ces sommets dans l'ordre qu'ils veulent, et puis faisons-leur construire le quadrilatère des milieux …

Vous m'avez vu venir  ?...  c'est la figure du théorème de VARIGNON !

Et là, vous allez les voir s'étonner, vous allez les voir comparer leur résultat avec ceux des camarades en se demandant si ce qu'ils ont sous les yeux est un parallélogramme ou pas …

Et le débat mathématique peut s'installer avec son lot de constatations, de conjectures, de tâtonnements, de propositions ; et les propriétés des milieux d'un triangle arriveront comme un «  besoin  » pour mieux élucider cette figure tellement plus curieuse, tellement plus riche tellement plus «  savoureuse  »  !...

Les élèves auront fait de la géométrie …

 

Une autre option, beaucoup moins riche, mais tout de même plus pimentée que la figure 1, consiste à partir d'un réseau de parallèles équidistantes  (figure 3) de trouver un segment [AB] tel que le point A soit sur la droite D, le point B sur D'', et que le milieu ne soit pas sur la droite D' …

 

J'en connais qui me reprocheront cette formulation parce qu'on fait chercher aux élèves un truc impossible à trouver, mais le fait même qu'ils se mettent à le chercher prouvera bien qu'ils ne considèrent pas comme une évidence cette impossibilité ! Et le premier qui conjecturera qu'un tel segment n'existe pas devra justifier son raisonnement pour emporter l'adhésion des autres !

Je laisse au lecteur le soin de faire le lien avec la propriété des milieux dans le triangle.

Les élèves, en tout état de cause, auront fait de la géométrie …

 

  1. L'imagination en action …

 

 

J'ai personnellement rencontré cette situation en proposant à des élèves de seconde en 1995, dans le cadre des enseignements qu'on appelait «  de module  », qui laissaient une grande liberté pédagogique en éliminant localement les contraintes de programme.

J'avais donné à certains élèves le problème dit «  de la règle trop courte  » ( les point A et B étant donnés et distants de 30 cm, tracer la droite AB en ne disposant que d'une règle de 5cm de long …) et à d'autres celui «  des droites qui se coupent hors de la feuille  » (deux droites D et D' sont dessinées, on voit qu'elles sont sécantes mais le point d'intersection B est hors de la feuille de dessin... Un point A étant visible sur la feuille, trouver un moyen de tracer la trace de la droite (AB) sur la feuille …)

Pour être plus exact, les énoncés de départ acceptaient règle et compas... Mais c'est la résolution «  à la règle seule  » qui est survenue chez un groupe penché sur le second problème, que je souhaite commenter.

Cette expérience m'a conduit à écrire mon premier article édité[2]

Le fait est que les deux problèmes sont équivalents, et conduisent à la figure 4 que l'on peut décrire ainsi (en se basant sur «  la règle trop courte  »):

En tâtonnant, des élèves proposent de relier deux points en visant A à partir de B … puis en se servant de deux tentatives infructueuses   (deux lignes droites parties de B et manquant A d’assez peu pour pouvoir ensuite se servir utilement de la courte règle).

La droite   (AA’) passe-t-elle par le point B en la prolongeant ?...   Cela semble être le cas, mais peut-on valider cette construction par un raisonnement …

Pas commode dans une géométrie «  abstraite  » où les figures ne figurent rien de spécial. En revanche, avec un peu d'imagination même des élèves de seconde comprendront !

Faisons d'abord pivoter la figure pour que la droite (BC), qu'il faut ajouter au tracé, paraisse horizontale, et donnons une interprétation concrète dans notre monde réel, rendons à la figure sa «  vertu figurative  », bref, imaginons !

Pour mieux imaginer cachons une partie du tracé  : celle qui est au-dessus de (BC).

 

 

La figure montre alors une vaste plaine, parfaitement désertique que traversent deux routes bien droites, comme savaient les dessiner les romains… l’une mène à la ville C, tout là-bas, vers le Nord, l’autre à l’oasis B, plein Est ! …

Nous sommes devant une perspective !... Toutes les lignes visibles sont imaginées comme des lignes tracées sur le sol parfaitement plan, et notre cerveau commence à percevoir des propriétés  :

  • (BC) n'est plus seulement horizontale … C'est l'horizon ! On pourrait y voir un lever de soleil sur l'Oasis si on était passé à 6 heures du matin  !!!
  • Les bords des routes et la ligne de séparation des voies sont des droites parallèles …
  • Quant à la zone du croisement entre les routes, c'est le mot «  carrefour  » qui vient à l'esprit, avec tout son bagage étymologique … étymologie où se télescopent le nombre «  quatre  » et la «  quadrature  » et qui permet de réaliser la forme, «  dans le monde réel  », du quadrilatère sur lequel se chevauchent les deux routes droites à bords parallèles …

Alors, bien sûr, en indiquant des directions NORD et EST, j'ai un peu abusé, et certaines conditions  de perspective (sur les positions des points de fuite respectifs) ne sont pas remplies pour envisager que ce carrefour soit véritablement rectangulaire (… et pas carré, du fait qu'on imagine bien une route plus large que l'autre...). Mais, même si ce n'est pas le cas, on peut aisément faire la figure «  vue de dessus  » du carrefour, et constater que les points A et A' sont les centres respectifs de deux parallélogrammes partageant un de leurs côtés.

On en déduit que, dans le monde réel, la droite (AA') a la même direction que les bords de la route qui va vers l'oasis, tout là-bas

Et la représentation en perspective de cette droite, sur la figure devra donc nécessairement aboutir au même point de fuite : B

CQFD !

J'entends déjà les cris d'orfraie des puristes, des rigoristes, des formalistes … Je ne les moque pas, j'en ai fait partie  !...

«  Tu passes sous silence, et tu admets implicitement, les théorèmes de géométrie projective qui sous-tendent la perspective conique ...  »

Ah … DESARGUES … Bien sûr … je plaide coupable … j'aurais pu faire une démonstration plus formelle, plus pure, plus académique, en me servant du théorème de DESARGUES (...encore faudrait-il le démontrer pour que cela convainque des élèves de 2nde !).

J'émets simplement une réserve de type épistémologique :

Si ce sont, notamment et essentiellement, les travaux de Desargues qui ont «  donné naissance  » à la géométrie projective, et par là-même une «  ossature formelle et conceptuelle  » à la perspective,   il serait incorrect de penser que Girard DESARGUES manipulait la géométrie projective telle qu'elle est formulée de nos jours !

Girard Desargues manipulait la géométrie de son temps, mais avec l'ambition de la mettre au service de certains artisans … «  se servans du dessein  » comme il l'écrivait lui-même !

Il est l'exemple même de ce que je veux illustrer : un « passeur » de géométrie !

Il s'inspirait des problèmes pratiques de ces métiers, en faisait l'abstraction nécessaire pour en obtenir des figures géométriques, raisonnait sur ces figures, en ne censurant aucun réflexe de son imagination, et restituait une réponse au problème concret …

Je laisse en conclusion au lecteur le soin de constater par lui-même que la figure illustrant le fameux théorème de DESARGUES ( figure 6 )[3] supporte parfaitement une lecture «  imagée  » du même tonneau que celle que je viens d'employer dans le problème précédent  :

 

 

On retourne la figure pour que «  l'horizon soit horizontal  » et «  au-dessus  » des triangles ABC et A'B'C', de manière à imaginer une vue en plongée de deux triangles dans le plan géométral … et on pose l'interprétation suivante : en fait, dans la réalité, ces deux triangles ont la même forme et la même orientation (ils sont donc homothétiques dans le plan géométral, et S est le centre de l'homothétie, lui-même aussi dans le plan géométral.)...

L'horizon est l'ensemble des points à l'infini du plan géométral … les trois couples de parallèles vont y converger docilement … CQFD !

Décidément, l'imagination est plus qu'un bel outil pour la pratique de la géométrie !

Voilà qui «  ouvre des perspectives  », comme dirait DESARGUES ! …

Conclusion

J'avais promis de revenir sur l'enjeu de la pratique de la géométrie dans l'enseignement élémentaire et au collège …

Qui pourra nier après la description que je viens d'en faire que la géométrie, telle que je souhaite qu'on la pratique, aiguise des qualités indispensables à l'entendement : l'observation, la vigilance, la comparaison  ?…

Qui pourra nier qu'elle instaure une dichotomie claire entre l'objectivité (les données du problèmes, les propriétés démontrées ou tout au moins admises officiellement et définitivement) et la subjectivité (les conjectures), dichotomie si importante quand il s'agit de démêler le vrai du faux, donc le sincère du mensonger ?            

Qui pourra nier qu'elle met celui qui la pratique en position de prendre des initiatives, d'exercer sa liberté de penser (la conjecture est libre …) et d'assumer ses choix (…il arrive de suivre de fausses pistes !).

Qui pourra nier qu'elle forme à des savoir-faire polyvalents, indispensables dans un nombre incalculable d'autres situations ? Conjecturer, vérifier, retrouver son erreur, schématiser, représenter…

Qui pourra nier qu'elle participe à la construction du langage et qu'aucune autre activité ne peut rivaliser avec elle pour illustrer les mots de Boileau : «  Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire viennent aisément.  »  ?

Mais je m'en voudrais de laisser de côté un point capital, qui était le premier cité dans mon introduction : le lien avec la démocratie ...

La simultanéité de l'apparition de la démocratie d' une part, et la démonstration géométrique d'autre part, à Athènes au Vème siècle avant J-C, a été commentée  par J-P VERNANT en 1962, non comme une simple coïncidence, mais comme une « organisation géométrique du cosmos humain », et son ouvrage (voir bibliographie) se conclut par la phrase  : « La Raison grecque est fille de la Cité. ».

On peut développer cette idée en disant que c'est l'organisation de la cité athénienne, qui accordait à chaque citoyen un droit égal à s'exprimer, qui a permis l’avènement de la pensée rationnelle en géométrie

Qui pourra donc nier qu'aujourd'hui, par son détachement de tous les aspects sociétaux qui opposent les hommes entre eux, les clans, les ligues, les partis, les religions, les castes, ainsi que par la richesse et la diversité géographique et historique des apports civilisationnels qui ont contribué à la façonner tout au long des siècles, la pratique de la géométrie élémentaire est un des meilleurs outils pour enraciner dans l'esprit des générations à venir, au sein d'un enseignement public et laïque, un message ô combien salutaire, ô combien opportun, d'égalité  ?

Connaissez-vous finalement un domaine aussi fécond ? Aussi universel ? Et qui soit aussi simple d'accès ?

Éléments bibliographiques :

BKOUCHE, Rudolf, De l’enseignement de la géométrie. Repères.IREM  n°76, 2009, pp.  85-103.

RODRIGUEZ M, Un problème peut en cacher un autre. Repères.IREM n°35, 1999 pp. 39-43

VERLANT  J-P,  Les origines de la pensée grecque – Collection Mythes et Religions n°45, 1962 PUF 

Les idées qui sont concentrées dans cet article m'ont inspiré l'écriture d'un roman dont le premier tome vient d'être publié   :

RODRIGUEZ M,  SELENEOMETRY- tome 1 «  les géomètres sont dans la lune !  »,  nov 2017  EDILIVRE


[1] Le Robert – Alain REY

[2] « Un problème peut en cacher un autre » Article paru dans "repères IREM numéro 35" avril 99

[3] Extrait de Wikipedia « théorème de Desargues »

 

 

 
 
 
 
 
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