Apollonius et la tradition des coniques
Résumé

Les Coniques d’Apollonius de Perge constituent l’un des sommets de la géométrie grecque ancienne. Rédigé, après un premier essai, en huit Livres, leur destinée fut cependant moins heureuse que celle des Éléments d’Euclide. Seuls les quatre premiers Livres — selon l’auteur ils exposent les “éléments” de la théorie — ont été conservés en grec, dans la réédition qu’en procura, à la charnière des Ve et VIe siècles de notre ère, Eutocius d’Ascalon. Les Livres V-VII furent préservés grâce à la traduction arabe qu’en fit Thâbit ibn Qurra mais ils restèrent inaccessibles et excitèrent l’imagination des mathématiciens d’Occident pendant plusieurs siècles.

Dès l’Antiquité, la rigueur et la généralité du traitement apollinien avait été reconnues et avait fait disparaître les écrits antérieurs. Seules quelques bribes d’information, quelques conjectures hasardeuses concernant la découverte des coniques nous ont été transmises par Pappus et Eutocius.

Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)
Editeur : Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH)

 

SOMMAIRE


Encarts

  • Encart 1: Le corpus dit « du lieu analysé »
  • Encart 2: De l'analyse à la synthèse
  • Encart 3: Les symptomata des sections de cônes selon Aristée (?)
  • Encart 4: Le miroir parabolique
  • Encart 5:  Les coniques selon Apollonius
     

Introduction


            Dans la lettre-dédicace qui accompagne son commentaire aux Coniques d'Apollonius, Eutocius précise :
«Le géomètre Apollonius, mon cher compagnon Anthémius, originaire de Pergè en Pamphylie, a vécu au temps de Ptolémée Évergète comme l'écrit Héracléios, le biographe d'Archimède ».
Le dédicataire est probablement Anthémius de Tralles, co-responsable, avec Isidore de Milet, de la construction de la cathédrale Sainte-Sophie à Constantinople, en 532. Eutocius s'adresse à lui comme à un ami et un condisciple un peu plus jeune. Nous pouvons donc situer son activité scientifique au tournant des Ve-VIe siècles. L'identification de sa source soulève davantage de problème car le texte parle d'un certain Héracléios, auteur d'une vie d'Archimède, alors que dans une de ses œuvres antérieures — son commentaire à la Mesure du cercle  d'Archimède — Eutocius se référait à Héraclide, auteur d'une vie d'Archimède !


Figure 1 : La cathédrale Sainte Sophie

 

 

Cathédrale Sainte Sophie construite à Constantinople sous le règne de Justinien, entre 532 et 537.  Elle fut ultérieurement transformée en mosquée. Ses architectes furent Anthémius de Tralles et Isidore de Milet. C'est au premier qu'Eutocius dédicaça son commentaire aux quatre premiers Livres des Coniques  d'Apollonius. Isidore révisa l'édition des Commentaires  d'Eutocius au traité de la Sphère et du cylindre  d'Archimède. La coupole s'effondra à la suite d'un tremblement de terre en 558. Elle fut reconstruite par Isidore le Jeune, neveu du premier.

Il est fort peu probable qu'il ait existé deux biographes d'Archimède avec des noms si proches. Le Syracusain est d'ailleurs le seul mathématicien grec, non-philosophe, à qui l'on ait consacré une biographie. Sans doute s'agit-il donc du même auteur dont le nom s'est trouvé altéré. Beaucoup de spécialistes tranchent en faveur d'Héraclide car Archimède lui-même rappelle à Dosithée, dans la lettre-préface du traité des Spirales, qu'il lui a fait parvenir certaines démonstrations dans des livres qu'Héraclide lui a remis. Avec cette identification, le biographe serait un contemporain du Syracusain, et même un familier, sans doute un peu plus jeune, que l'on veut croire bien informé et digne de foi. Malheureusement, Eutocius poursuit :
« Celui-ci (Héracléios) dit également que c'est Archimède qui, le premier, avait conçu les propositions sur les coniques, mais qu'Apollonius, en voyant qu'elles n'avaient pas été publiées par Archimède, se les était appropriées, ce qui, selon moi, n'est pas vrai ».

Figure 2 : Les ruines de la cité de Pergame

 

 

La cité de Pergame s'est doté d'un magnifique ensemble architectural au début du IIe siècle avant notre ère, sous le règne d'Eumène II (197-159). Au nord de l'Acropole, au dessus du théâtre, se trouvait la Bibliothèque, rivale de celle d'Alexandrie. Elle a possésé, dit-on, 200 000 rouleaux. Du nom de cette cité dérive le nom grec "pergamenê" du parchemin, peau d'animal préparée pour devenir le support de l'écriture, en concurrence avec le papyrus, qu'il finira par supplanter. Grâce aux préfaces des Livres I et II, nous savons qu'Apollonius vint à Pergame pour rencontrer son dédicataire, le géomètre Eudème de Pergame (à ne pas confondre avec l'historien Eudème de Rhodes)..


Une querelle de priorité

            Nous voici en face d'une (prétendue) querelle de priorité quant à la paternité des résultats concernant les coniques. Dans l'autre témoignage dérivé d'Héraclide — celui de la préface du commentaire à la Mesure du cercle  —, il est affirmé que le but d'Archimède, dans ce traité, était de fournir une approximation de ce que nous appelons aujourd'hui le nombre π « utile pour les besoins de la vie quotidienne ». Or, à la fin dudit commentaire, Eutocius nous apprend incidemment qu'Apollonius avait proposé un encadrement plus précis que [3 ; 3], mais, ajoute-t-il en s'inspirant d'Héraclide, si ce travail était plus précis, il ne poursuivait pas le même but qu' Archimède, à savoir satisfaire les besoins de la vie quotidienne. Autrement dit, cette double mention du "besoin" apparaît comme une clause défensive, justifiant l'approximation archimédienne au regard de celle, plus précise, qu'avait donnée Apollonius. Dans ces deux exemples, de toute évidence, Héraclide n'est guère favorable à l'auteur des Coniques.  Cela dit, il n'a peut-être pas tort de souligner l'émulation, voire la rivalité au moins implicite, qui semble prévaloir entre Apollonius et les mathématiciens contemporains ou antérieurs à lui, notamment Archimède.
            Dans les préfaces aux différents Livres des Coniques, Apollonius souligne abondamment la nouveauté et l'intérêt de certains résultats, l'extension, la généralité et la clarté de son exposé. Celui-ci l'emporte de beaucoup sur ceux de ses prédécesseurs. Il critique au passage Euclide ce qui n'a pas manqué, là aussi, de susciter quelques remarques défensives. Dans la préface du Livre IV, Apollonius atteste d'un échange un peu vif entre Conon de Samos — le correspondant et ami d'Archimède — et un certain Nicotélès de Cyrène. Dans son impartiale intransigeance il égratigne les deux protagonistes. Bref, la gratitude vis-à-vis des prédécesseurs n'est pas le sentiment qu'Apollonius exprime le plus aisément. Au-delà d'hypothétiques traits de caractère, il faut sans doute évoquer la "pression" qui s'exerce sur les géomètres au tournant des IIIe-IIe siècles.
            Si les institutions savantes alexandrines favorisent la recherche et l'émulation, elles n'induisent pas forcément des relations interpersonnelles très sereines. Nous n'en savons rien pour ce qui regarde les sciences mathématiques, mais le poète satiriste Timon de Phlionte s'en fait l'écho pour ce qui concerne les domaines littéraires et philologiques. Sa description du Musée est féroce : « Dans la populeuse terre d'Égypte sont engraissés des gribouilleurs de livres qui passent leur temps à se donner des coups de bec dans la cage des Muses ». Plus sérieusement, Apollonius mène ses recherches après deux générations de géomètres : Aristée, Euclide, Conon, Dosithée, Archimède, Ératosthène, Nicomède, Dioclès … comme peu d'époques en ont connu. Pour se faire connaître, il faut donc se démarquer clairement et mettre en avant l'intérêt et la nouveauté de son travail.

Figure 3 : Edition des Coniques par Edmund Halley

 

 

Il s'agit du frontispice de l'édition des Coniques  par le célèbre astronome Edmund Halley. Grâce à la préface du premier Livre on savait que l'ouvrage comprenait initialement 8 Livres, mais quatre seulement avait été conservés en grec, dans la réédition d'Eutocius. Au XVIIe siècle on rechercha activement les livres manquants et leur édition fut promise à plusieurs reprises. Il fallut attendre 1710 pour disposer enfin d'une édition du texte grec des Livres I à IV, d'une traduction latine des Livres V à VII faite sur la traduction arabe du grand mathématicien Thabit ibn Qurra († 901), et d'une restauration du Livre VIII, perdu depuis longtemps, due à Halley lui-même. Le frontispice représente une anecdote rapportée par plusieurs auteurs grecs et latins. Ainsi Vitruve raconte que le philosophe Aristippe, disciple de Socrate, s'étant sauvé d'un naufrage sur les côtes de l'île de Rhodes, et ayant aperçu des figures géométriques tracés sur le sable, s'écria en s'adressant à ses compagnons : « Ne craignons rien, je vois des traces d'hommes ! ». Galien rapporte une version différente : c'est sur les rivages de Syracuse qu'échoue Aristippe. Surtout, il en conclut qu'ils étaient arrivés chez des Grecs, qui plus est des sages, et non des Barbares !

Archimède et Apollonius


            Archimède n'est jamais nommé dans les deux seuls traités conservés d'Apollonius, mais aux cas déjà mentionnés de l'approximation du nombre π et de l'étude de la courbe appelée "cochlias", on ajoutera qu'Apollonius avait développé un système de notations des grands nombres qui apparaît comme une réponse différente de celle, plus complexe, proposée par Archimède dans son Arénaire.  Les mathématiciens ultérieurs donneront la préférence au système des myriades d'Apollonius. Dans le même ordre d'idées, son traité des Inclinaisons,  qui appartenait au corpus dit « du Lieu analysé » (voir Encart 1), établissait qu'un certain nombre de problèmes de "neusis"  sont en fait des problèmes-plans, résolubles « à la règle et au compas ». Ailleurs il proposait aussi des solutions alternatives à des neuseis cette fois solides, en termes de sections coniques. Ces démarches, tout en clarifiant le statut de certains problèmes, réduisaient la portée et l'intérêt des recherches de Nicomède sur les lignes conchoïdes. Apollonius développait donc un programme de recherches et de publications qui, dans bien des cas, obligeaient à reconsidérer les travaux de ses prédécesseurs.
            Mais revenons aux sections coniques. Eutocius entreprend de laver son auteur de l'infamante accusation de plagiat. Pour ce faire il donne la parole à trois témoins : Archimède, Apollonius et le philosophe et historien stoïcien Géminus de Rhodes. Le premier ne se réfère-t-il pas, à plusieurs reprises, à des Éléments des coniques,  ouvrage où étaient manifestement établis des propositions qu'Archimède utilise, sans les démontrer, dans certains de ses traités ? Qui plus est, Apollonius lui-même ne reconnaît-il pas que ses quatre premiers Livres représentent un exposé très amélioré de ce que d'autres avaient déjà proposé ? Ne les désigne-t-il pas comme des livres « d'Éléments  », suggérant par là que ce sont des propositions connues (depuis un certain temps) pour jouer un rôle architectonique dans la théorie des sections coniques ? Eutocius a incontestablement raison en ce qui concerne Apollonius et la manière dont il s'exprime, notamment dans la préface de son premier Livre. L'assertion relative à Archimède est plus incertaine car il se pourrait que le Syracusain renvoie de cette manière à l'un de ses propres écrits. Rien ne nous oblige à croire qu'il se réfère nécessairement à un auteur antérieur.
 

Les premiers Éléments des coniques


            Sur ce point, il semble bien que notre commentateur se soit laissé impressionner par un autre "historien" de la théorie des coniques, Pappus. La présentation que celui-ci consacre au traité d'Apollonius commence ainsi :
« Apollonius nous a transmis huit livres sur les coniques en ayant complété les quatre livres des Coniques  d'Euclide, et y ayant ajouté quatre autres livres. Aristée, auteur de cinq livres sur Les lieux solides, encore disponibles aujourd'hui, à la suite des Coniques,  avait toutefois, comme les prédécesseurs d'Apollonius, appelé l'une des sections coniques la « section de cône acutangle », l'autre la « section de cône rectangle » et l'autre encore, la « section de cône obtusangle ».
Le texte est précieux, tout particulièrement pour l'indication qu'il livre au sujet d'Aristée et sur la désignation des sections coniques que celui-ci utilisait, clairement différente de celle d'Apollonius, laquelle est encore la nôtre aujourd'hui (ellipse, parabole, hyperbole). Nous y reviendrons.

            Eutocius, à la suite de Pappus, considérait probablement que les Éléments des coniques  auxquels se référait Archimède étaient ceux d'Euclide, l'auteur d'Éléments (stoïchéiôtês) par excellence pour les auteurs de l'Antiquité tardive. Qu'Euclide ait travaillé et écrit sur les sections coniques, c'est manifeste d'après le témoignage d'Apollonius lui-même. Qu'il ait rédigé quatre Livres d'éléments sur cette théorie, qu'Apollonius se serait contenté de remanier comme l'affirme Pappus, c'est moins certain. Le corpus dit « du lieu analysé » mentionne un ouvrage d'Euclide intitulé Lieux à la surface,  en deux Livres, lequel, de par sa place dans le corpus — il vient à la suite des Coniques  d'Apollonius et des Lieux solides  d'Aristée — ne se limitait pas aux problèmes dits plans (voir  Encart 1). Les travaux qu'Euclide avait consacrés aux sections coniques se trouvaient probablement dans cet écrit. En outre, s'il portait sur des questions spécifiques, essentiellement des problèmes de lieux, comme le font la plupart des ouvrages de ce corpus, l'exposé n'en était pas nécessairement synthétique, comme celui d'Apollonius dans le traité des Coniques,  mais plutôt analytique. Rien ne permet non plus d'affirmer qu'il était limité aux seules sections coniques parmi les lieux engendrés par considération de la surface de certains solides. On peut d'ailleurs faire les mêmes remarques au sujet des Lieux solides d'Aristée. Proclus, parmi les œuvres nombreuses qu'il attribue à Euclide, ne mentionne pas d'Éléments des coniques.
            Quant aux références archimédiennes à de tels éléments, elles s'expliquent autrement. A une exception près, peu probante, elles renvoient toutes à des résultats qui figurent dans les Livres I à IV des Coniques… d'Apollonius, Livres qu'il désigne lui-même comme "Éléments”. Ces références livresques sont donc probablement inauthentiques et plus tardives. Elles ont été ajoutées aux écrits d'Archimède pour faciliter la tâche du lecteur  et, si cette hypothèse est la bonne, cela s'est fait après la rédaction des Coniques  d'Apollonius, mais avant l'époque d'Eutocius qui pouvait les lire. Cela laisse quand même une période de 700 ans pour ce faire !
            Au bout du compte, l'accusation d'Héraclide telle que la rapporte Eutocius reste une énigme. A moins de supposer que le commentateur ne l'ait pas bien comprise et qu'elle visait un ensemble tout à fait déterminé de propositions concernant les coniques pour lesquelles Archimède aurait anticipé Apollonius. Mais, à un niveau global, Eutocius n'avait aucune raison de douter que ces courbes avaient été étudiées avant ces deux auteurs, notamment par Aristée et Euclide. De fait, dans l'anthologie de solutions pour le problème de l'insertion de deux moyennes proportionnelles entre deux droites données qu'il a réunie dans son commentaire de la Proposition II. 1 de la Sphère et du cylindre d'Archimède, Eutocius nous livre deux autres très précieux témoignages sur l'histoire des sections coniques.



Ménechme, l'inventeur des sections coniques ?
 

            D'abord il transmet une solution attribuée au géomètre Ménechme de Proconnèse qui montre comment réaliser ladite insertion à l'aide d'une parabole et d'une hyperbole. Ménechme et son frère Dinostrate sont connus comme disciples d'Eudoxe de Cnide, contemporains d'Alexandre le Grand . Les premières recherches sur ces courbes remontent donc au moins au milieu du IVe s. avant J. C. La désignation des coniques dans ce témoignage est celle d'Apollonius, autrement dit notre commentateur (ou sa source) a modernisé l'expression tout en conservant la démarche (voir Encart 2). La résolution est purement théorique. Elle présuppose que l'on sache caractériser nos courbes en termes de lieux définis par des égalités d'aires (les conditions (i)-(ii) dans l'encart 2). L'hyperbole équilatère, par exemple, est le lieu des points H tels que le produit de ses distances à deux droites perpendiculaires données, DF, DK, est donné. La synthèse exige aussi que l'on possède un moyen effectif de construire ou d'engendrer lesdites courbes. Pour qui dispose du traité d'Apollonius, leurs constructions sont bien connues, mais qu'en était-il exactement pour Ménechme ? Savait-il que les conditions (i)-(ii) caractérisaient deux sections du cône ? Sinon, comment les construisait-il ? Celles-ci furent-elles découvertes à l'occasion de ces investigations sur le problème des deux moyennes comme le croient certains historiens modernes ? Ou bien étaient-elles déjà disponibles pour Ménechme? Il faut alors supposer qu'elles avaient été introduites dans le champ de la géométrie pour une autre problématique, par exemple optique ou gnomonique. Sur tous ces points Eutocius ne nous dit rien.
            Nous possédons, toujours grâce à Eutocius, un second élément d'information sur le travail de Ménechme. Nous avions dit que le commentateur recopie l'épigramme d'Ératosthène accompagnant la dédicace de son mésolabe. Pour vanter l'effectivité de sa solution et critiquer celles de ses prédécesseurs, ce dernier invite le lecteur qui passe devant l'inscription à « renoncer à tenter les laborieux travaux d'Archytas au moyen de cylindres, ou à couper le cône selon les triades de Ménechme, ou à décrire la forme courbe dans les lignes comme l'a fait le divin Eudoxe ». A sa manière le savant Bibliothécaire confirme l'invention, par Ménechme, de la solution que nous avons précédemment décrite. Il est clair qu'Ératosthène sait que les courbes utilisées peuvent êtres engendrées comme sections du cône et on peut penser qu'il attribue ce savoir à l'inventeur. Est-il poétiquement anachronique ? L'expression « triades de Ménechme » est assez énigmatique. On la retrouve chez Proclus. Certains pensent qu'il s'agit simplement des trois courbes, deux paraboles et une hyperbole, qui se trouvent directement associées à sa procédure de résolution, d'autres qu'il s'agit des trois espèces principales des sections coniques : ellipse, parabole, hyperbole.



La génération des coniques selon Aristée


            Si la manière dont Ménechme construisait ces courbes nous échappe, reste la fin du témoignage de Pappus et ce qu'Eutocius reprend à Géminus de Rhodes. Dans chaque cas, il s'agit d'opposer deux manières d'engendrer les coniques comme sections du cône, l'ancienne et la nouvelle. Nos auteurs rapportent la première à Aristée dit l'ancien, la seconde à Apollonius lui-même. Ces deux modes d'engendrement sont censés justifier deux façons de désigner les courbes. Géminus faisait d'abord remarquer que les Anciens définissent le cône comme la figure engendrée par la révolution d'un triangle rectangle autour de l'un des côtés de son angle droit. Tous les cônes définis de cette manière sont donc droits ou, pour le dire autrement, l'axe du cône est perpendiculaire au plan de sa base. Ceci correspond effectivement à ce que l'on trouve dans les définitions du Livre XI des Éléments  d'Euclide qui distinguaient ensuite trois espèces de cônes dits respectivement "rectangle", "acutangle", "obtusangle" (Cf. Figure 4).

Figure 4 : Cônes rectangle, obtusangle et acutangle

 

ABC est un triangle rectangle en B.
On le fait tourner autour de la droite AB comme axe.
Le côté BC décrit un cercle de centre B, appelé "base" du cône.
L'axe du cône AB est perpendiculaire au plan du cercle.
Le cône est dit droit.


Si AB = BC on dit que le cône est rectangle;
si AB < BC il est dit obtusangle;
si AB > BC, il est dit acutangle.

 

     Cône rectangle                    Cône obtusangle                      Cône acutangle
(l'angle DAC est droit)              (l'angle DAC est obtus)           (l'angle DAC est aigu)


 

Si l'on en croit Géminus, Pappus et Eutocius, le géomètre Aristée définissait les coniques comme les courbes engendrées par la section de chacun de ces trois sortes de cônes par un plan mené perpendiculairement à une génératrice, par exemple AD. Appelons EF la trace de ce plan perpendiculaire sur le plan ADC (Cf. Figure 5).

Figure 5: Les coniques selon Aristée

 

On voit immédiatement que :
• dans le cône rectangle, EF sera parallèle à AC;
• dans le cône obtusangle, EF s'écarte de AC (mais si on la prolongeait de l'autre côté de AD, elle couperait CA prolongée au-delà de A).
• dans le cône acutangle, EF coupera AC (ou son prolongement).
Dans les deux premiers cas, les sections sont infinies, mais, dans le troisième, on obtient une sorte d'ovale parfaitement déterminé.
            Aristée privilégiait donc un unique mode de section du cône par un plan, en menant celui-ci perpendiculairement à une génératrice. A partir de là, il désignait les trois courbes obtenues comme « section de cône acutangle », « section de cône rectangle », « section de cône obtusangle ». On trouve effectivement encore ces noms dans les écrits d'Archimède et celui de « section de cône rectangle », "orthotomê" en grec, était également utilisé par Dioclès dans son traité sur les Miroirs ardents (voir Encart 4). Nos auteurs tardifs en déduisent imprudemment qu'Aristée ne savait pas que l'on pouvait obtenir ces trois sections à partir d'un même cône, en variant l'angle AEF et ils affirment que ceci fut découvert par Apollonius. Dès lors, ô confusion extrême, une « section de cône rectangle », par exemple, pouvait être engendrée dans un cône acutangle ou obtusangle ! C'est pour cette raison qu'Apollonius aurait introduit d'autres désignations.

Figure 6 :  Traité de Dioclès, Sur les miroirs ardents

 

 

 

Manuscrit de la traduction arabe (Bibliothèque de  Meshed, Iran) du traité de Dioclès, Sur les miroirs ardents, Prop. 1-2. Dans la première Proposition de son traité, Dioclès utilise deux propriétés relatives, l'une à la sous-tangente, l'autre à la sous-normale, pour démontrer la propriété focale de la parabole.

 

L'histoire a peu de chances d'être vraie. Déjà Euclide, dans ses Phénomènes,  pour réfuter l'idée que le cosmos puisse être conique ou cylindrique, remarquait que « la section d'un cône ou d'un cylindre par un plan non parallèle à la base est une section de cône acutangle, semblable à un bouclier ». On trouve une remarque analogue chez Archimède et celui-ci considère parfois la même section de cône acutangle comme engendrée tantôt dans un cône droit, tantôt dans un cône oblique ! On avait donc envisagé différentes modalités de section pour engendrer le même type de courbes avant Apollonius. La raison pour laquelle Aristée imposait une telle limitation dans ses définitions tient plutôt à l'avantage que celle-ci lui procurait : elle lui permettait d'obtenir une caractérisation particulièrement simple et élégante de chacune des trois sortes de coniques, ce que les Anciens appelaient le symptoma  d'une courbe (voir Encart 3) et que les Modernes rapprochent, abusivement, de son équation.
 

L'approche d'Apollonius


            Il suffit d'ouvrir le premier Livre des Coniques  d'Apollonius pour comprendre que sa perspective n'est pas la même, qu'il cherche à atteindre un très haut degré de généralité. Déjà sa première définition introduit, non pas le cône, mais la surface conique, décrite de la manière suivante :
« Si, d'un certain point, l'on mène à une circonférence de cercle non située dans le même plan que ce point, une droite prolongée de part et d'autre, et si, le point restant fixe, la droite se trouve portée selon la circonférence jusqu'à ce qu'elle reprenne la position d'où elle avait commencé de se mouvoir, j'appelle « surface conique » celle qui, décrite par la droite, est composée de deux surfaces opposées par le sommet … ».
D'une part la surface conique possède deux "nappes", opposées par le sommet, d'autre part, si on la coupe par un plan pour engendrer un cône, celui-ci, en toute généralité, pourra être droit ou oblique. Les définitions 4 à 8 sont encore plus déroutantes pour un lecteur qui ignorerait tout des sections coniques. Pour toute courbe plane,  Apollonius appelle "diamètre" une droite qui, menée à l'intérieur de la courbe, coupe en deux parties égales tous les segments de droite menés à l'intérieur de la courbe parallèlement à une droite quelconque ! Ces parallèles sont elles-mêmes appelées « droites menées de manière ordonnée » (d'où nos "ordonnées"). Il introduit des notions similaires pour deux courbes coplanaires. Est-ce que de telles choses existent avec un tel degré de généralité ? Pourquoi considérer deux  courbes coplanaires ? Les réponses viendront plus tard.
            Remarquons d'abord que sa définition de la surface conique permet à Apollonius de considérer non pas trois mais, à strictement parler, quatre sections coniques : la parabole, l'ellipse, l'hyperbole et ce qu'il appelle « les sections opposées », autrement dit les deux branches de l'hyperbole. A notre connaissance, il est le premier à le faire. Voilà la justification des deux courbes ! Ces différentes sections vont être toutes engendrées par la section d'un même cône, droit ou oblique. De cette manière, on peut aussi engendrer un cercle lequel pourrait être considéré comme une cinquième sorte de conique. Apollonius préfère en traiter séparément quoique plusieurs propositions de son traité vise à étendre, pour les autres sections, certains résultats établis dans les Éléments  sur la circonférence du cercle (Cf. Figure 7).

Figure 7

 

ABC est un cercle de diamètre AB et EFG une ellipse de diamètre EF. Les cordes CD et GH sont menées à angles droits. Dans le cercle on a :

 

 

CD2 = AD.DB [propriété (**)],
autrement dit, CD2 : AD.DB :: 1 : 1.

 

On a vu (Cf. Encart 2) que le symptoma de l'ellipse est le fait que le rapport GH2 : EH.HF soit donné. Il s'agit donc d'une généralisation de la propriété (**) du cercle. Apollonius démontre quelque chose de ce genre en regroupant ellipse, hyperbole et circonférence de cercle dans sa Proposition I. 21.

Ce mode de génération des coniques, on s'en doute, introduira plusieurs complications techniques dans leur étude si on compare avec l'approche suivie par Aristée. La généralité recherchée par Apollonius est à ce prix. Le lecteur moderne peut s'en faire une idée en pensant, par analogie, à la différence qu'il y a entre un système de coordonnées orthogonal et un système oblique quelconque.
            Quant à la "mystérieuse" notion de diamètre d'une courbe quelconque, sa pertinence est rapidement justifiée, dès la Proposition 7. La situation est la suivante (voir Encart 5) : on coupe un cône quelconque de sommet A ayant le cercle de diamètre BC comme base par deux plans, l'un passant par l'axe du cône, comme ABC, l'autre coupant la génératrice AB en F et la base du cône selon une droite DE, de telle manière qu'elle soit perpendiculaire au diamètre BC ou à son prolongement. Le premier plan découpe un triangle ABC (on l'appellera "triangle axial"), le second une section conique telle que DFE. Posons que l'intersection du second plan avec le triangle ABC est la droite FG. Évidemment trois cas de figure peuvent se présenter selon la droite FG est parallèle à AC, sécante avec elle ou avec son prolongement (Voir Figure 8).

Figure 8: Les coniques selon Apollonius

 

  

Apollonius montre que si l'on prend un point H quelconque sur la section DFE, et ce quel que soit le cas de figure, et si on mène la parallèle à DE issue de H jusqu'au point K sur la section, la droite FG bissecte la droite HK. Si le cône est droit, FG est même perpendiculaire à HK (et DE), mais ce n'est pas nécessairement le cas si le cône est oblique (il faut que le triangle axial choisi soit perpendiculaire à la base du cône). Quoi qu'il en soit, dans tous les cas de figure, la droite FG est un diamètre de la section conique DFE pour des ordonnées menées dans la direction de DE. Si elle est perpendiculaire à la direction des ordonnées, Apollonius l'appelle "axe" de la section conique.
            Autre tour de force, il parvient à caractériser les trois sections à l'aide d'une opération appelée « application d'une aire sur une droite donnée » (Encart 5), déjà utilisée par Euclide et qui connaît trois variantes : l'application simple, celles avec excès ou avec défaut d'une figure semblable à une figure donnée, généralement (mais pas toujours) un carré. C'est à partir de ces noms, usuels en grec, de l'application ("parabolê" en grec), de l'excès ("huperbolê") et du manque ("ellipsis") qu'Apollonius dériva sa nomenclature des coniques.

Figure 9 : Manuscrit arabe des Coniques d'Apollonius

 

On doit la préservation de 7 des 8 Livres des Coniques  d'Apollonius à l'énergie déployée par les trois fils de l'astronome Musa ibn Shakir — on les appelle les Banu Musa —, eux-mêmes mathématiciens fort capables. On raconte qu'ils avaient été éduqués dans « la Maison de la Sagesse », fondée à Baghdad par le calife al-Ma'mun. Ils trouvèrent d'abord un manuscrit contenant les sept premiers Livres qui s'avéra incompréhensible. Plus tard l'un d'entre eux, Ahmad, obtint un poste administratif en Syrie où il put se procurer un manuscrit des quatre premiers Livres dans la version rééditée par Eutocius, ce qui lui permit de comprendre l'ensemble. Hilal al-Himsi traduisit les Livres I à IV et Thabit ibn Qurra les livres suivants.

 

Nous nous sommes contenté d'évoquer ici les premières Propositions du Livre I. Le lecteur peut imaginer la technicité de l'ouvrage s'il se rappelle que les Coniques, aux dires de Pappus, contenaient 487 théorèmes ! Le Livre VIII est perdu mais, par soustraction, nous pouvons calculer qu'il devait inclure une centaine de Propositions à lui seul. Pourtant Apollonius ne prétendait pas réunir la totalité des connaissances de l'époque sur le sujet. Les propriétés focales des sections coniques ne sont guère exploitées dans son traité, propriétés fondamentales pour l'optique et la gnomonique. Celles de la parabole en sont même totalement absentes, de même que la notion de directrice. Apollonius circonscrit d'ailleurs clairement son objectif : fournir un exposé (synthétique) des propriétés des coniques susceptibles d'être mobilisées dans la résolution des problèmes géométriques, notamment les problèmes de lieu, et dans la détermination de leurs conditions de possibilité. Ceci fut parfaitement reconnu par ses successeurs qui inclurent son traité en bonne place dans le corpus dit « du Lieu analysé ».

 
 
 
 
 
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