Approche critique comparée des nombres aztèques et mayas
Résumé

Cette approche critique des nombres aztèques et mayas voudrait attirer l'attention des lecteurs sur les principaux systèmes d'écriture du nombre en usage dans l'antiquité mésoaméricaine. Les principaux sont les numérations écrites mayas et aztèques. La numération vigésimale de position des scribes mayas, de l'époque classique et des codex du postclassique, qui l'utilisèrent pour noter les dates dites du Compte long sous la forme d'un nombre à cinq chiffres exprimant, en nombre de jours, la durée écoulée depuis la date origine de la chronologie maya (11/08/-3113). La numération vigésimale additive des scribes aztèques, qui l'utilisèrent notamment pour noter, le plus souvent sous forme de nombres ronds à un ou deux chiffres significatifs, les quantités de tributs que chaque communauté devait remettre à la Triple Alliance.

Autre différence, les Mayas écrivaient de nombreuses égalités liant dates et durées, tant de la vie politique des cités que des récits mythologiques. Les Aztèques n'ont pas écrit d'égalités, et ils n'ont même pas laissé de dates en calendrier de l'année vague solaire (l'année mésoaméricaine de 18 x 20 + 5 jours). Par contre, à l'époque coloniale, les Aztèques développèrent de nouvelles formes d'écritures des cadastres, et peut-être des procédés d'approximation des surfaces.

 

 

Utilisation en classe - Dans son analyse comparée des numérations mayas et aztèque, l’auteur éclaire quelques aspects fondamentaux des numérations orales et écrites, et livre ainsi un matériau très riche aux enseignants qui abordent en classe, notamment dans les séries littéraires, l’histoire de la numération.
 

André Cauty, Professeur des Universités à Bordeaux 1, équipe CELIA du CNRS  -  e-mail


Article déposé le 22 septembre 2010. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. 
 


SOMMAIRE

1. Contrastes dans l'usage des grands nombres dans l'antiquité mésoaméricaine

2. Equations et grands nombres mésoaméricains

3. Les numérations parlées et écrites

3.1 Les chiffres des numérations parlées et écrites aztèques et mayas

3.2 L’ensemble des nœuds des numérations parlées : détermination à valeur multiplicative

3.3 Les numéraux de plus grande profondeur syntaxique

4. Variation sur les chiffres et les classificateurs aztèques

5. Le "système de numération de Position de Texcoco"

6. Pourquoi la "numération deTexoco" n'est pas une numération de position

7. Nouveauté du "système de Texcoco"

7.1 Arrangements typographiques des chiffres : alignés ou distribués en registres

7.2 Nature et limite de la nouveauté du système de Texcoco

8. Un mot de conclusion

Bibliographie

Encarts

Encart 1 : La table du Codex Otlazpan (liste des tributs de Otlazpan et Tepexic)

Encart 2 : Deux manières de dater les 365 jours de l'année vague



 

1. Contrastes dans l'usage des grands nombres dans l'antiquité mésoaméricaine

On dira qu’une société ancienne utilisait des grands nombres si l’on peut démontrer qu’elle avait la capacité d’exprimer tous les entiers naturels jusqu’au plus petit des entiers que l’on peut qualifier de grand nombre ; un entier est dit grand nombre si et seulement si son écriture polynomiale, ΣciNi, exigerait, dans la/les « base(s) » habituelle(s) de cette culture [1], ‘plusieurs’ monômes. Pour démontrer qu’une société utilisait des grands nombres, il faut trouver au moins un cas de nombre dont l’écriture contient ‘plusieurs’ chiffres significatifs [2]. Pour les anciennes cultures mésoaméricaines, un nombre sera dit ‘grand’ si son expression vigésimale comprend au moins cinq ‘chiffres’ affectant les nœuds : 200, 201, 202, 203, et 204, ou les périodes : jour, vingtaine, an (de compte), vingtaine d’ans, quatre-centaine d’ans. L’usage mésoaméricain des grands nombres remonte aux premiers Comptes longs, CL, attestés dès le 1er siècle avant J.-C. Un CL est une chaîne de cinq chiffres (de 1 à 19) qui représente, de l’avis des spécialistes, une durée exprimée en nombre de jours et à l’aide d’une numération quasiment [3] du type ‘Position’ ; il s’agit, plus concrètement, du nombre de jours écoulés depuis l’origine de la chronologie en vigueur dans la culture considérée, à savoir le 11/08/-3113 pour les Mayas (avec la constante 584 283). Un calcul montre que les premiers CL écrits par les Mayas ou leurs voisins (stèles : 2 Chiapa de Corzo, C Tres Zapotes, 5 Takalik Abaj, 1 La Mojarra…) dépassaient le million de jours [4].


Figure 1
 
Stèle 19 de Uaxactun montrant, comme la stèle 18, le CL 8-baktun 16-katun 0-tun 0-uinal 0-kin, correspondant à la date grégorienne 01/02/357
(constante de correlation 584283)

 


Les sources offrent quelques CL olmèques, beaucoup de CL mayas, mais aucun CL aztèque, mixtèque ou zapotèque. On en déduit que dès l’époque classique, les Mayas furent sans doute les seuls véritables utilisateurs mésoaméricains des grands nombres ; des grands nombres qui représentaient des durées, et qui s’exprimaient par le nombre de jours écoulés depuis l’origine de la chronologie maya jusqu’à la date de l’événement considéré et ainsi daté par un CL.

En dehors des questions de calendrier, un autre domaine d’expérience délivre de possibles grands nombres : celui de l’administration des affaires publiques. Dans l’état actuel des recherches archéologiques et épigraphiques, cet usage est essentiellement [5] prouvé par les tequiamatl du monde aztèque. Ce sont des listes de tributs qui fournissent, cité par cité, des renseignements sur les tributs qu’il fallait remettre à la Triple Alliance [6] : nature [7], fréquence et quantité de chaque tribut.

Dans ces registres, les quantités furent écrites en numération vigésimale et additive (comme les numérations romaine ou égyptienne). Dans ce type de numération, pour écrire trois on répète trois fois le signe un et pour écrire deux cents, c’est-à-dire dix vingtaines, on répète dix fois le signe de la vingtaine, et ainsi pour les deux autres nœuds de la numération.

 

Figure 2


Matrícula de Tributos, lámina 29 montrant un tribut de 8 000 paquets de résine de copalme, et le tout de cette expression pictographique est deux fois glosé, en nahuatl : cenxiquipili xochocotzotl, et espagnol : una talega de ocozote o goma de color.

Par exemple, dans la Matrícula de Tributos, le plus grand nombre d’objets exigés s’élève à 8 000 ; cette quantité apparaît sept fois (lámina 6, 7, 16, 17, 22 et 29). Le signe ‘8 000’ (figuré par un ‘sac’ - Figure 2 ci-dessus ) de la lámina 29 est clairement associé au signe du paquet de résine de copalme, et le tout de cette expression pictographique est deux fois glosé, en nahuatl : cenxiquipili xochocotzotl, et espagnol : una talega de ocozote o goma de color. Soit, par ex., les gloses des tributs des p. 14, 22 et 32 (Figure 3 ci-dessous):


Figure 3


    
   
a. Macuilzontli iztacomitl                            b. Mattlactzontli tenextli                      c. Centzontlamamalli chili
                                                                                                                                                        Ontzontlamamalli ichcatl
 
Matrícula de Tributos, lámina 14, 22 et 32, montrant les gloses nahuatl de l’écriture pictographique des tributs



Les gloses nahuatl (en rouge sous la figure) permettent de découvrir que l’écriture pictographique reflète le fait que le nahuatl est une langue à classificateurs numériques (comme les langues mayas ou le chinois) et qu’il y avait plusieurs façons d’écrire les chaînes à coefficients plus grands que 2 (d’où répétition du nœud) : soit, le plus souvent, on répète autant de fois que nécessaire le tout constitué par le signe du nœud et le signe indiquant le caractère comptable et la nature du tribut ; soit, moins fréquemment [8], on répète autant de fois que nécessaire le signe du nœud et on place ce coefficient numérique complexe en position de déterminant du signe non répété qui indique le caractère comptable et la nature du tribut. On a donc deux structures :

[400 Cs + 400 Cs + 400 Cs + 400 Cs + 400 Cs] = 2000 (ou 5×400) Cs
[(400 + 400 + 400 + 400 + 400) + (400 + 400 + 400 + 400 + 400)] Cs = 8000 (ou 5×400 + 5×400) Cs

où C désigne le classificateur et s la nature du produit (du sel) ; ce qui permet de distinguer les deux sémiotisations de la troisième figure où l’on a d’une part 400 Cc (où c = du chili) et d’autre part (400 + 400) Ct (où t = du coton).


Figure 4



 Codex Telleriano-remensis, folio 38v, montrant le nombre vingt mille en numération aztèque de type Addition 8000 + 8000 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400

Un autre exemple de nombre relativement important est celui des victimes sacrifiées pendant la célébration du feu nouveau de l’an 8 Acatl (1487) et à l’occasion de l’inauguration du Templo mayor de Tenochtitlan. Cette fois, c’est un nombre à 2 ‘chiffres’ vigésimaux, les chiffres 2 et 10 qui sont respectivement coefficient (on répète deux fois) du nœud 8 000 et coefficient (on répète dix fois) du nœud 400. Il y aurait donc eu 2 × 203 + 10 × 202 = 20 000 victimes.

Le type additif de cette numération écrite ne facilite pas vraiment la lecture/écriture des nombres à beaucoup de chiffres significatifs surtout quand ceux-ci sont eux-mêmes plus grands que la limite (4-5) de la capacité de l’oeil à subitiser le cardinal d’un ensemble. Sauf erreur de lecture, la Matrícula contient 260 entiers désignant des quantités de tributs, toutes comprises entre 10 (représenté par dix occurrences du signe de l’unité) et 8 000 (représenté par une occurrence du signe du nœud 203). Tous les tributs enregistrés sont des nombres à un nœud (un seul chiffre significatif) ; tous les nœuds sont représentés par une ou plusieurs occurrences de leur signe. L’unité un et les trois nœuds valant puissances de vingt sont tous représentés dans ce corpus.

Théoriquement chaque signe peut être répété jusqu’à dix-neuf occurrences (correspondant aux 19 chiffres nécessaires en « base » vingt). De fait, dans la Matrícula, on ne trouve que : a) des nœuds seuls ou b) des chaînes comprenant 2, 3, 4, 5 ou 10 occurrences du même nœud. Ce qui revient à dire que, dans ce codex, les quantités de tributs sont sémiotisées par des nombres à un seul chiffre et que le choix de ce chiffre est contraint puisque seuls sont attestés les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 10. Voici le tableau donnant le nombre total de tributs marqués par des entiers de la forme ci20i. Par ordre de fréquence, on trouve :


      ci
20i
 1 2 3 4 5 10
160 fois le nombre 400 (le plus fréquent) ;
43 fois le nombre 20 ;
13 fois le nombre 800 ;
9 fois le nombre 1200 ;
7 fois les nombres 80 et 8000 ;
6 fois le nombre 40 ;
4 fois le nombre 1600 ;
3 fois les nombres 100, 200 et 4000 ;
1 fois les nombres 10 et 2000.
200 0 0 0 0 0 1
201 43 6 0 6 3 3
202 160 13 9 4 1 3
203 7 0 0 0 0 0
204 210 19 9 11 4 7

Au total, il y a 210 entiers représentés par un seul signe (nœud non répété) et 50 entiers représentés par des répétitions de signes de nœud : 19 coefficients deux (deux occurrences du même nœud), 9 coefficients trois (trois occurrences), 11 coefficients quatre (quatre occurrences), 4 coefficients cinq (cinq occurrences) et 7 coefficients dix (dix occurrences d’un même signe de nœud).

Ce qui tend à prouver que les Aztèques en charge de l’impôt avaient une préférence pour :

a) éviter les nombres à plusieurs chiffres significatifs (pas de grands nombres)
b) utiliser seulement des nombres à un ou deux chiffres,
c) utiliser seulement les chiffres petits (1, 2, 3, 4) ou égaux aux ‘sous-bases’ (5 et 10).
Ce qui semblerait indiquer que les dirigeants de la Triple alliance étaient davantage intéressés par les ordres de grandeur que par les subtilités d’un calcul exact à l’unité près. L’arrêt (au cube 203) du paradigme des puissances de vingt a souvent été signalé parce que ce fait permet d’estimer la capacité générative théorique de la numération écrite aztèque [9].

"On ne saurait du reste oublier que les aztèques n'ont jamais écrit de nombres égaux ou supérieurs à 204 = 160 000" (Guitel;1975:139)

La formule est un peu brutale, puisqu’il faudrait dire : les archéologues et les épigraphistes n’ont jamais découvert (jusqu’à ce jour) un nombre supérieur à 160 000 écrit par les Aztèques avant la colonisation.

Elle conduit néanmoins à relever une différence d’usages du nombre, d’un côté, chez les Mayas du Classique (pour établir de nombreuses égalités calendaires), de l’autre, chez les Aztèques (pour administrer la vie publique) ; une différence qu’il est toujours regrettable d’interpréter en termes de supériorité/infériorité des cultures comparées :

"On ne peut mettre en doute que les capacités mathématiques des Aztèques et des Mayas étaient de qualité très différente (…) Pour un mathématicien, le contraste entre l'usage du calendrier par les mayas et (…) par les aztèques fait penser que ceux-ci n'ont été que des imitateurs de la science maya ou d'une science antérieure." (idem)

 

Ce jugement de Guitel contient des éléments qui pourraient être versés au dossier des circonstances limitant l’usage des grands nombres chez les Aztèques, voire au dossier de l’absence, dans les documents qu’ils ont laissés, de Comptes longs, d’égalités calendaires et plus généralement de grands nombres (au sens de la définition précédente).

Dire que la numération écrite aztèque était de type additif (en rappelant que ce type ne facilite ni l’écriture des grands nombres ni le calcul arithmétique notamment des divisions) ne préjuge en rien des qualités de la numération parlée nahuatl (type ‘Articulation’) ni de la capacité des scribes aztèques intéressés à se doter des meilleurs outils de calcul disponibles en Mésoamérique : la numération vigésimale de position des codex mayas. Retenons de ce coup d’oeil l’idée que les savoirs aztèques s’inscrivent dans un riche fonds mésoaméricain et précolombien de recherches arithmétiques et d’observations astrologiques.

Ce fonds provient vraisemblablement de l’antiquité olmèque [10]. Il fut fortement enrichi, à l’époque classique, par les Mayas [11]. Enrichissement résultant de leurs efforts d’appliquer le nombre à des problèmes de calendriers et d’éphémérides ; des problèmes qui semblent ne pas avoir spécialement déclenché l’intérêt des Aztèques plus enclins apparemment à s’intéresser aux questions de comptabilité économique que de comput calendaire. Dès lors, il est banal de constater que les Mayas ont produit plus de résultats arithmétiques que les Aztèques, mais il reste utile de préciser que c’est dans le domaine du comput calendaire et pas dans celui de l’administration des affaires publiques.

Occupés par les questions de calendrier, on peut penser que les Mayas investirent moins d’efforts que les Aztèques dans le domaine de la comptabilité. De fait, pour les Mayas de l’époque classique, les recherches archéologiques et épigraphiques n’ont pas découvert d’équivalents des tequiámatl aztèques indiquant fréquence, nature et quantité de tributs. Certes, l’iconographie maya livre des scènes de remise d’objets qui nous semble plus proches de la pratique du don/contre don que d’une véritable politique étatique de l’impôt. Par exemple, la scène du vase K5453 (Figure 5 ci-dessous)  montre un sac au pied du dirigeant assis ; on lit ‘3 CAUAC CAUAC-’ ou ‘3 PIC-’ et on traduit ‘tribut de 3 x 400 ou de 3 x 8 000 cabosses de cacao ( ?)’.  Comme dans le cas aztèque, cette inscription n’est pas un exemple de grand nombre dans la mesure où c’est un nombre ‘rond’ à un seul chiffre significatif.


Figure 5
                                                                                                                                                                         
Vase maya de la collection Kerr, K5453, montrant une scène de remise d’impôts (fig. 5a) et comme détail de cette scène (fig 5b) un impôt en ‘monnaie’ de cacao s’élevant à 3 CAUAC CAUAC de cabosses.

Ce qui montre que le nombre aztèque était – bien davantage que le nombre maya – au service de l’administration publique du ‘budget de l’empire’. Herbert R. Harvey et Barbara Williams (1981) ont développé la thèse que les Aztèques furent particulièrement innovants dans ce domaine, au point d’avoir développé à l’époque coloniale l’usage du calcul des tributs en proportion des surfaces cultivées (dans des champs de forme polygonale) ellesmêmes évaluées par un calcul sur les dimensions des côtés. Admettons [12].


2. Equations et grands nombres mésoaméricains

Pour l’épistémologue, il est frappant de constater que la pratique de l’enregistrement des tributs n’a pas conduit les Mésoaméricains qui s’y employèrent à systématiser l’écriture des grands nombres et à jeter les bases d’une science de la comptabilité proprement dite. Une comptabilité qui ne se serait pas contentée de dresser l’inventaire des tributs, mais qui se serait attachée à les totaliser, voire à croiser plusieurs façons de les totaliser. Car une liste d’inventaire n’est pas une comptabilité, si on pose que le degré zéro d’une comptabilité à naître et développer est d’avoir le moyen de détecter les erreurs et, mieux encore, au degré un, d’avoir le moyen de corriger les erreurs détectées.

La recette pour y parvenir est connue. On commence par introduire de la redondance (clé de numéro de sécurité sociale, bit de parité, etc.). Puis par croiser astucieusement deux sortes de redondance. Les tableaux comptables sont de bons exemples : ils permettent d’articuler les totalisations par ligne et les totalisations par colonnes.

Dans ce point de vue, il devient frappant de constater un contraste entre : a) l’absence de mise en relation des quantités de tributs dans les pratiques comptables mésoaméricaines [13] et b) l’abondance des mises en relation des dates et des durées dans les pratiques calendaires et astronomiques dès les plus anciennes pratiques olmèques ou mayas de datation en CL.

Les champions de ces mises en relation sont à coup sûr les Mayas depuis l’époque classique jusqu’à l’époque des codex et particulièrement du codex de Dresde. Il n’est pas exagéré de dire que les Mayas nous ont laissé des milliers d’équations reliant des dates et des durées. Petites ou grandes, ces durées sont exprimées en nombre de jours ou en nombre de diverses périodes (lunaisons, mois, années…) ; par ailleurs, ces durées montrent que les scribes savaient jouer sur la dualité ordinal/cardinal du nombre pour traduire une durée (aspect cardinal) en date (aspect ordinal) et vice-versa.

Les codex mayas contiennent des dizaines d’almanachs lesquels démontrent que les scribes avaient l’habitude de se déplacer dans le cycle des 260 jours de un ‘almanach divinatoire’ encore appelé ‘année/semaine religieuse’. Dans le but d’énoncer un présage, le scribe se déplace par saut de diverses amplitudes et va ainsi de date en date, chacune pouvant être bénéfique/maléfique/indifférente. Ces pratiques divinatoires sont encore attestées plus ou moins sporadiquement aujourd’hui. Prenons par exemple la page 2d du codex de Dresde.

Le texte [14] glose l’iconographie montrant Ik Uh, jeune déesse de la Lune, et Kisin, dieu de la mort ; il traite les premières stations comme favorables et les secondes défavorables.

Assez elliptique, l’agencement typographique [15] des dates et des durées de cette page montre une ligne d’entiers alternativement peints en rouge et en noir, et une colonne de 5 dates de la forme αX (α est en ‘facteur commun’) où α = 13 et X = Lamat, Ahau, Eb, Kan, et Cib.

Les nombres noirs sont écrits en numération additive (type romain [16]), et ils sont placés entre deux dates α [X] dont le rang a est seul marqué en rouge et le nom X étant sous-entendu. En fait, sont sous-entendues cinq lignes de dates α [X] dont les noms X sont à rétablir pour compléter les cinq lignes de dates 2 [X] et 13 [X]. La suite alternée rouge/noir [17] 13 X, 28, 2, 24, 13. se lit par exemple à partir du signe X = Ahau : 13 Ahau, 28, 2, 24, 13. Les spécialistes rétablissent les éléments sous-entendus « 13 Ahau [+] 28 [=] 2 [Lamat] [+] 24 [=] 13 [Eb] » et expliquent qu’en partant d’un 13 Ahau, on arrive en 28 jours à un 2 [Lamat], d’où, en 24 jours, on arrive à 13 [Eb].

 
Figure 6


Codex de Dresde, p. 2d montrant le début d’un almanach divinatoire, et la mise en page de chaînes d’équations temporelles de la forme αi [Xi] + di = αj[Xj]
 

L’almanach contient en particulier des chaînes d’égalités qui représentent des translations de pas di (durées en jours) qui font passer des dates αi[Xi] aux dates αi+1[Xi+1] ; soit des égalités du type « αi[Xi] + di = αi+1[Xi+1] ». Le texte et l’iconographie précisent le caractère favorable, défavorable ou indifférent des stations atteintes : l’almanach est un instrument de divination. Comme le montrent les stèles 18 et 19 d’Uaxactun [18], le même habitus (former des égalités combinant les deux aspects du nombre) est attesté en dehors des almanachs. On le trouve aussi dans les tables de multiples du codex de Dresde et dans les textes historiques des monuments. Dans ces exemples, l’habitus n’est pas limité aux petits déplacements écrits en numération additive : les CL sont en numération de position ou disposition et la notation des dates est plus complexe puisque l’indication de la date αX dans le cycle du tzolkin de 260 jours est accompagnée de la date βX dans l’année vague solaire ha’ab de 365 jours et parfois de données relatives au cycle lunaire voire vénusien.

Monuments et codex prouvent que les Mayas écrivaient couramment des nombres à cinq chiffres significatifs et qu’ils pouvaient poser et résoudre des équations calendaires faisant intervenir des durées dépassant le million de jours (et la limite aztèque 160 000). Par ex. les linteaux 29, 30 et 31 de Yaxchilan contiennent le CL 9-baktun 13-katun 17-tun 12-uinal 10-kin = 9 x 144 000 + 13 x 7 200 + 17 x 360 + 12 x 20 + 10 = 1 395 970 et quatre Nombres de distance (-397, 15 230, 4 320 et 2 520) ; ces durées relient l’origine à 5 dates Calendar Round – CR de la forme αX βY (cf. Encart 2) – du règne du roi Oiseau-Jaguar ; soit la chaîne :

[0.0.0.0.0. 4 Ahau 8 Cumku] + 9.13.17.12.10. = [9.13.17.12.10.] 8 Oc 13 Yax
[9.13.17.12.10. 8 Oc 13 Yax] – 1.1.17. = [9. 13. 16. 10. 13.] 1 Ben 1 Ch’en
[9. 13. 16. 10. 13. 1 Ben 1 Ch’en] + 2.3.5.10. = [9. 16. 1. 0. 0.] 11 Ahau 8 Tzec
[9. 16. 1. 0. 0. 11 Ahau 8 Tzec] + 12.0.0. = [9. 16. 13. 0. 0.] 2 Ahau 8 Uo
[9. 16. 13. 0. 0. 2 Ahau 8 Uo] + 7.0.0. = [9. 17. 0. 0. 0.] 13 Ahau 18 Cumku
Enfin, l’indication ‘Fin du Katun 17’ indique la date CL atteinte 9.17.0.0.0.

Figure 7


Yaxchilan, Mexique, linteaux 29,30 et 31 narrant les exploits du roi Oiseau-Jaguar et la mise en page de chaînes d’équations temporelles de la forme αiXi βiYi + ΣciPi = αjXj βjYj où les αX βY sont des dates CR reliées par un CL ou des nombres de distance ΣciPi
 

La comparaison de ce texte avec une chronique aztèque (codex Telleriano Remensis - Figure 8 ci-sessous) montre que les scribes aztèques dressaient des listes d’années (sur la figure, les années successives : 6 Calli/1485, 7 Tochtli/1486, 8 Acatl/1487) pour y inscrire les événements mais sans les relier, comme les Mayas, par des équations jouant sur la dualité date/durée.

 
Figure 8


Codex Telleriano Remensis, folio 38 verso, narrant l’arrivée au pouvoir de Ahuitzotl, l’inauguration du Temple, la célébration du feu nouveau.
 

L’étude des équations mayas montre que les scribes distinguaient les aspects du nombre. Le point de vue ordinal pour distinguer une entité parmi d’autres [19], le point de vue cardinal pour définir une entité par son étendue [20]. Elle montre aussi qu’ils n’ont jamais confondu les marques de l’ordinal et du cardinal, par ex. le trait de couleur, rouge/noir, dans l’opposition date/durée, ou la différence des logogrammes dans l’opposition du zéro ordinal/cardinal...


3. Les numérations parlées et écrites

3.1 Les chiffres des numérations parlées et écrites aztèques et mayas

A l’écrit, les chiffres aztèques [21] sont des files de points. A l’oral, les numéraux inférieurs au nœud vingt sont des atomes (1, 2, 3, 4, 5, 10, 15) ou des composés additifs comprenant : un appui additif (5, 10 ou 15) [22] en place de 1er argument et un atome (1, 2, 3 ou 4) en place de 2nd argument. Entre 11 et 19, l’expression additive contient le relateur om/on (Cf. tableau 1 ci-dessous) [23].

Tableau 1
  ce ome eyi nahui
ma-cui-li chuicua-ce chic-ome chicu-eyi chicu-nahui
ma-tlac-tli matlactli on-ce matlactli om-ome matlactli om-eyi matlactli on-nahui
caxtol-li caxtolli on-ce caxtolli om-ome caxtolli om-eyi caxtolli on-nahui
 
Figure 9
8 9 10
13 14 15
18 19 21
 Un extrait du Codex Duran montrant les « chiffres » 8, 9, 10, 13, 1, 15, 18, 19, 21
 
 


Muni de cette addition, l’ensemble des chiffres parlés nahuas est isomorphe à l’ensemble des chiffres écrits de style point/barre (Cf. Tableau 2 ci-dessous). Bien que mésoaméricains [24], les chiffres point / barre ne furent pas en usage chez les Aztèques. Ils sont formés par répétition du point et de la barre [25] puis par composition additive des éléments répétés.
 

Tableau 2

Tableau des chiffres mésoaméricains (qui n’étaient pas en usage chez les Aztèques) montrant le système répétitivo-additif de leur formation

Chez les Mayas, les petits numéraux parlés (< 20) sont des atomes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12) ou des composés additifs sur un seul nombre d’appui, 10 , en place de 2nd argument, le 1er argument étant saturé par un atome de (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ; en d’autres termes, l’ensemble des ‘chiffres’ des numérations parlées mayas n’est pas structuré comme l’ensemble répétitivo-additif des chiffres mésoaméricains écrits de style point/barre. Voici un tableau des entiers de 1 à 19 en numération parlée yucatèque et orthographe coloniale :

Tableau 3
hun ca ox can ho uac uuc uaxac bolon lahun  
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  
    oxlahun canlahun holahun uaclahun uuclahun uaxaclahun bolonlahun buluc lahca
    13
(3+10)
14
(4+10)
15
(5+10)
16
(6+10)
17
(7+10)
18
(8+10)
19
(9+10)
11=?
(9+2)
12=?
(10+2)
Tableau des expressions numérales yucatèques formées additivement sur le nombre d’appui ‘dix’ et suivant le modèle 3 + 10 = 13




Ce tableau met en évidence la structure additive. Il suggère aussi que 11 et 12 seraient des anciens composés devenus opaques [26]: buluc < *bolon + ca = 9 + 2 (qui suggère : lahun = *bolon + hun = 9 + 1) et lahca < lahun + ca = 10 + 2. L’ensemble des chiffres ‘parlés’ mayas n’est donc pas isomorphe à l’ensemble des chiffres écrits mayas et mésoaméricains de style point/barre. A ceci près, que les Mayas ont aussi utilisé un autre jeu de chiffres écrits. Il s’agit de chiffres que l’on pourrait dire ‘solennels’ car destinés à l’affichage sur les stèles et les monuments. Ces chiffres ont la forme d’un personnage (‘zéro’ à gauche, ‘neuf’ à droite). En général, ces 20 chiffres sont représentés par la tête du personnage (synecdoque de la figure entière), c’est le style céphalomorphe.

 
Figure 10
     
  
A gauche : zéro sous forme entière et sous forme de tête.
A droite : chiffre 9 sous forme entière et sous forme de tête (avec taches de jaguar)


L’observation de l’ensemble des chiffres écrits mayas montre :
a) une innovation essentielle, celle du chiffre zéro, attesté dès le 4ème siècle et dont plusieurs variantes sont aujourd’hui connues (cf. Figure 11 ci-dessous).

 
Figure 11

(a)

(b)
Diverses formes du zéro cardinal sur les monuments (a)  et  dans les codex (b) ; contrairement aux formes (b) de l’écriture des codex, les formes (a) c’est-à-dire les formes ‘solennelles’ de l’écriture monumentale ne sont pas indépendantes mais préfixées à un glyphe de période (jour, mois, année, etc.)
 

b1) une règle additive concaténant, en style céphalomorphe et en numération parlée, un entier de l’intervalle [3, 9] et le nombre d’appui additif 10
b2) un procédé métonymique qui consiste en style céphalomorphe à réduire le crâne caractéristique de l’entier 10 à sa mâchoire décharnée ; ce qui permet d’implanter le nombre dix dans la tête des chiffres entrant dans les composés additifs ainsi sémiotisés selon le schéma « 5 + 10 = 15 » (cf. Figure 12).



 
Figure 12
 

               (a)                       (b)                      (c)


  
   


Figures entières des entiers cinq (a), dix (b) et quinze (c) et illustrant par l’exemple de quinze la formation des composés additifs de l’écriture monumentale ; dans le chiffre 15, le nombre d’appui dix est représenté par la mâchoire décharnée de la figure du dix –synecdote du personnage b) – insérée dans la tête a) de l’entier cinq dont l’un des traits caractéristique est le ‘chapeau’.




c) les entiers 1, 2 

et 11, 12
ne semblent pas composés du moins d’une manière transparente pour le lecteur d’aujourd’hui.
Autrement dit, l’ensemble des chiffres solennels mayas non nuls est structuré par une loi d’addition qui calque exactement celle des chiffres ‘parlés’ des langues mayas. Ces deux ensembles sont isomorphes. Voici les céphalomorphes des intervalles [3, 9] et [13, 19] (cf. Figure 13 ci-dessous).




Figure 13


             (a)                                                    (b)                                    (c)

 


(a) les céphalomorphes de 3 à 9, (b) les formes entière (crâne) et réduite (mâchoire) de l’entier dix, et (c) les composés additifs de 13 à 19 construits sur le modèle 3 + 10 = 13.



3.2 L’ensemble des nœuds des numérations parlées : détermination à valeur multiplicative

Dans les deux univers culturels, maya et aztèque, l’analyse de la forme des nœuds [27] de la numération parlée montre qu’ils relèvent d’un processus de détermination où interviennent[28] un déterminant numéral (dont le référent est un entier inférieur à vingt [29]) et un déterminé numéral (son référent est un nombre d’appui multiplicatif) que l’on trouve respectivement en position de 1er et 2nd argument du numéral complexe signifiant du dit nœud. Couramment les déterminés renvoient aux trois nœuds principaux des numérations mésoaméricaines : le nœud 20 (souvent dit ‘base’), son carré 400 et son cube 8 000.

Launey (1986:665) souligne, pour le nahuatl, qu’il ne « connaît pas d’expression classique désignant des puissances de 20 supérieures à 8000 (203) » et ceci malgré le témoignage d’un contemporain qui lui aurait affirmé que la suite des puissances de vingt continue au-delà de 8 000. On doit donc retenir que la numération parlée aztèque comprend seulement les trois nœuds[30]  « 201, 202 et 203».

Chez les Mayas du Classique la suite des puissances successives ne s’arrête pas au cube. On sait au contraire que les scribes l’ont effectivement prolongée bien au-delà de la troisième puissance. Dans le cas des durées exprimées en nombre de jours, la stèle 1 Cobá prouve que, la série maya des puissances de vingt est montée aux environs[31] de la 20ème.
La rareté et l’état de conservation des cas de nombres dépassant les nombreux CL à cinq chiffres n’a pas permis de découvrir les noms de toutes ces puissances dans les langues mayas. C’est pourquoi les américanistes utilisent par commodité une sorte de métalangage constitué des noms yucatèques connus par les documents coloniaux pour les plus petites puissances, et pour le reste des dénominations construites par continuité : hun kal ‘un vingt = 201’, hun bak, ‘1×202’, hun pic, ‘1×203’, hun calab, ‘1×204’, hun kinchil, ‘1×205’, etc.
En numération aztèque, les restrictions observées (cf. p. 4 c) à l’écrit le sont aussi à l’oral. Ci-dessous le tableau des déterminations aztèques que l’on peut dresser à partir des données de Launey [32] en prenant comme déterminés les nœuds 201, 202 et 203 : cem-pohualli ‘un compte’, cen-tzontli ‘une (touffe de) cheveux’ et cem-xiquipilli ‘un sac (de graines)’

Tableau 4

1
(ou | )
cem-        
2
om-/on-        
3
c-        
4
nauh-   -pohualli
201=20
5
macuil-   ×   -tzontli
202=400
10
matlac-   -xiquipilli
203=800
15
caxtol   forme parlée forme écrite  
6,7,8,9,11,12,
13,14,16,17,18,19
etc. ?        
Tableau de gauche (d’après Launey) : déterminants (de 1 à 19) des nœuds aztèques ‘vingt’, ‘quatre-cent’ et ‘huit-mille’ bien attestés par les documents ; la deuxième colonne montre, pour rappel, la forme point/barre de ces déterminants répandue en mésoamérique depuis le milieu du premier millénaire avant J.-C. mais que les Aztèques n’utilisaient pas (les ‘chiffres’ aztèques sont des files de points jusqu’à dix-neuf inclus).
Tableau de droite :  formes parlées et écrites des trois nœuds de la numération aztèque.




Attention à ne pas mésinterpréter les colonnes de glyphes (multiplicateurs et nœuds) en écriture pictographique : elles ne servent qu’à montrer la transcription en signes d’écriture d’une part des multiplicateurs (déterminants) en chiffres mésoaméricains point/barre, et, d’autre part, des nœuds (déterminés) en signes aztèques. Ce serait une erreur de penser que les expressions complexes parlées, par exemple nauh-pohualli, s’écrivaient en juxtaposant les deux signes correspondants 

et
.
Cette concaténation n’existe tout simplement pas chez les Aztèques dont la numération écrite était de type additif comme la numération en chiffres romains. Le nombre parlé nauh-pohualli ‘quatre-vingts’ se traduit à l’écrit par 4 occurrences du nœud 20 comme sur la Figure 14 ci-dessous dont les gloses précisent la lecture : a) en nahuatl nauh-tecpantli tepoztli et b) en espagnol instrumentos de yerro para cortar.

Figure 14


Extrait de la Matrícula de tributos montrant l’écriture du nombre parlé n?uh-p?hualli ‘quatre-vingts’



En numérations écrites mayas et contrairement aux restrictions notées en numération écrite aztèque, tout entier de [1, 19] est attesté comme coefficient de tout nœud, ceci au moins jusqu’au baktun (204). De nombreux exemples (Comptes longs et Nombres de distance) le démontrent. Le paradigme est complet, de hun ‘1’ à bolonlahun ‘19’, tant pour les chiffres point/barre que céphalomorphes, tant en usage cardinal qu’ordinal. Ce qui nous invite à regarder comment les numérations écrites mayas et aztèques notaient ces conceptualisations numériques qui correspondent pour le mathématicien à la notation des monômes ciNi. C’est sur ce point de la sémiotisation des déterminations ciNi que les systèmes mayas et aztèques divergent le plus, car les numérations mayas ne sont pas du type additif. Chez les Mayas, les multiples des nœuds s’écrivent comme ils s’énoncent sous forme de déterminations à valeur multiplicative : leur 1er argument est un chiffre notant un coefficient et le 2nd un nœud/classificateur/période (non marqué en numération de position). La différence est spectaculaire : un aztèque écrit ‘VINGT VINGT VINGT VINGT-’ et énonce ‘quatre VINGT-’ là où un maya écrit ‘4 VINGT-’ et énonce ‘quatre VINGT-’. Attention à ne pas confondre, chez les Mayas, l’écriture générale des nœuds et la notation écrite spécialisée à l’enregistrement de l’âge de la Lune dans les séries lunaires ; par nature ou définition, cette écriture est seulement attestée pour les entiers de 21 à 29 où elle est motivée par la forme protractive orale [33] de ces nombres, par exemple 26 = (6 → 20) (cf. Tableau 5).

Tableau 5
  Composition
(+) mésoamérique
Protraction
(→) maya
Détermination
(x) maya
Répétition
(+) aztèque
Ecrite
Parlée
beltran
ox lahun wak [tu-ka'-] k'aal
uac tu kal
kan winik/ha'ab
can katun
nauh pohualli
'4 vingt'
Décimale 13 = 3+10 26 = 6 → 2° vingt  80 = 4 vingt = 4 × 20 = 20 + 20 +20 +20
Comparaison de quatre types de formation numérique (addition mésoaméricaine, protraction maya, multiplication maya et répétition aztèque) et leurs réalisations en numération écrite, parlée [34] et décimale.



3.3 Les numéraux de plus grande profondeur syntaxique

En numération parlée nahuatl, l’expression numérale des entiers intermédiaires entre les nœuds et leurs multiples est une suite additive d’opérandes que schématise la formule algébrique n = Σ ciNi. Exemple : om-pohualli on ce = [(2 × 20) + 1] = 41.
A cette ‘profondeur syntaxique’, les expressions numérales sont très systématiques [35] en nahuatl. De plus, les scribes aztèques disposaient de deux particules [36] qui leur donnaient la possibilité de distinguer l’addition des opérandes et l’addition des constituants d’un chiffre : caxtolli on-nahui pohualli ipan mátlactli om-ome = [(15 + 4) x 20] [(10 + 2)] = 392.
D’où la thèse que la numération parlée nahuatl est du sous-type arithmétique ‘parenthésé’ (Cauty;1984) ou du type Bien organisé (Guitel;1975) encore dit type [37] Articulation (comme celle des Chinois ou des Coréens) et que nous qualifions parfois de dispositionnelle.
La numération parlée [38] n’est donc pas du type Additif de la numération écrite, ce qui revient à dire que les numérations aztèques, parlées et écrites, ne sont pas isomorphes.
Par contre, la numération parlée des Aztèques est isomorphe à la numération des CL gravés sur les monuments mayas du Classique. Du point de vue cognitif, le nombre est conçu en logique polynomiale [39]. Du point de vue de la sémiotisation, le scribe exprime tous les monômes de Σ ciNi – quand le chiffre zéro est disponible (c’est le cas des Mayas) – et seulement les monômes à coefficient non nul – quand le zéro n’est pas disponible ou utile (c’est le cas des Aztèques) –. La numération parlée nahuatl et la numération du CL diffèrent peu de la numération de Position (au sens strict) [40] attestée par les codex mayas du Postclassique.

Chez les Mayas, les numérations parlées et écrites ne sont pas non plus isomorphes entre elles. La différence vient du fait que l’expression parlée des entiers intermédiaires, ceux qui se trouvent entre les nœuds et leurs multiples, est d’un type particulier. Nous avons montré (Cauty;1987) que les numérations parlées des langues mayas, notamment en yucatèque et en chol, étaient jusqu’à l’époque coloniale d’un type assez peu attesté dans le monde, le type Protraction (Cauty et Hoppan, 2007) [41].

Les numérations protractives saisissent le nombre plus en vision ordinale que cardinale. Pour exprimer 35, par exemple, le locuteur doit anticiper le palier visé de la 2ème vingtaine et, de manière rétrograde, le prédécesseur de ce palier, à savoir la 1ère vingtaine. D’où la glose ‘5 vers la 2ème vingtaine’ ou ‘5 vers 40’ de l’expression yucatèque holhu (ti u-) ca kal [42] de l’entier 35. Pour conclure cette partie, nous traduisons dans les différents systèmes de numération évoqués l’expression numérale du millésime de la révolution française 1789 supposé désigner des entités -t. En logique vigésimale, le décimal 1789dix a 3 chiffres significatifs  : [ ( 4 x 202 ) + ( 9 x 201 ) + 9 ] ou 4.9.9.

C’est la forme polynomiale que calquent les numérations écrites mayas (monuments et codex) et la numération parlée aztèque. La forme maya parlée est plus difficile à restituer non pas parce qu’elle est de type Protraction mais parce que la colonisation a eu pour effet d’en faire pratiquement disparaître les formes au profit d’autres, plus proches du modèle de la numération additivo-multiplicative du conquérant espagnol. Il est cependant possible de reconstruire la forme protractive de 1789. Soit → le signe de l’opération de protraction. En logique protractive : 1789 = [(4 x 400) ⊕ (9 → 5° 20)] pouvait s’énoncer « [(can bak-) catac (bolon- tu ho kal-)] t ».

Figure 15
 Montrant un hypothétique nombre aztèque à trois chiffres significatifs 1789 = 4 x 400 + 9 x 20 + 9 unité.

Pour sémiotiser le même entier en numération additive aztèque, il faut répéter dans l’ordre ou le désordre, les signes des nœuds: 4 signes tzontli, 9 signes pohualli et 9 signes unité. L’écriture proposée ci-contre n’est pas tout à fait correcte : il manque un signe précisant la chose comptée (par ex. du temps discrétisé en jours), et elle a 3 chiffres significatifs (un de plus que dans les grands nombres aztèques que nous avons pu observer dans les documents). D’où le tableau de 1789 en écriture polynomiale, en numération parlée nahuatl et dans les deux numérations écrites mayas (monuments et codex) ; du point de vue cognitif, ces trois numérations sont quasi isomorphes : elles relèvent de la conceptualisation polynomiale [43] .


Tableau 6

Σ ciNi [(4  ×  202) (9   × 201) 9] Unité
Parlée nahuatl nauh-           -tzontli ipan chiucnahui   pohualli ipan chiucnahui quahuitl
Maya monument
 
 
 
 
codage yucatèque can   baktun catac bolon   katun catac bolon tun
maya codex
     
     
200
Parlée protraction [(can   bak-) catac     (bolon
tuy
hokal- t)]

Forme écrite de l’entier 1789 : en écriture polynomiale, en numération parlée nahuatl et dans les deux numérations écrites mayas (monuments et codex) ; du point de vue cognitif, ces trois numérations sont quasi isomorphes : elles relèvent de la conceptualisation polynomiale.
Unité "quahuitl" - voir note [44].


4. Variation sur les chiffres et les classificateurs aztèques

Comme tout système, les numérations logographiques aztèques présentent des variations. En tout cas, à l’époque coloniale, il y a deux systèmes qui se distinguent nettement par la forme des signes de la vingtaine et de l’unité un. L’un est plus traditionnel et plus ancien, l’autre plus innovant et plus tardif. Aucun des deux n’utilise les chiffres mésoaméricains.

Figure 16

                              (a)                                                        (b)

Formes aztèques de quelques entiers :  (a) en numération écrite traditionnelle (1, 10, 20, 60, 400, 800), et b) en numération écrite tardive (innovation attestée par divers codex de l’époque coloniale, 1, 5 et 20.
 



Dans le système traditionnel (cf. Figure 16 (a)), le point est le signe de l’unité un, tandis que la vingtaine est marquée par une sorte de petit drapeau. Dans le système tardif, l’unité un est marquée par un trait, tandis que le point devient le rond et marque les vingtaines. En d’autres termes, le rond du système tardif correspond au drapeau du système traditionnel. Traditionnels ou tardifs, les signes peuvent être répétés, au moins théoriquement, jusqu’à dix-neuf occurrences. Dans le système tardif, quand il y a plus de cinq répétitions du signe de l’unité un, les occurrences sont clairement regroupées par paquet de cinq et un trait relie la première à la cinquième du groupe ainsi formé, ce qui leur donne l’allure d’un peigne [45]. Le tableau suivant illustre la différence des systèmes traditionnel et tardif pour la mise en signe des petits entiers compris entre 5 et 20 ; il montre aussi que la systématisation du regroupement par cinq a pour effet, dans le système tardif, de réduire le champ des lectures ou interprétations possibles d’une écriture (réduction de l’ambiguïté). Cf. Figure 17 ci-dessous.

Figure 17

 Comparaison des petits entiers en numération aztèque traditionnelle et en numération écrite tardive




Contrairement au français et à l’espagnol qui sont des langues à pluriel, les langues nahuatl et mayas sont des langues à classificateurs. Dans une langue à pluriel, les substantifs comptables (c’est-à-dire la plus grande partie du lexique) conduisent à des énoncés du type numéral + nom concret, et on dit, en espagnol comme en français, 80 haches/hachas.
Dans les langues à classificateur, les mots désignent des notions (plutôt que ‘un enfant’, on entend ‘de l’enfant’) qui ne sont a priori ni pluralisables (comme par ex. le mot fraîcheur dans ‘je prends la fraîcheur’) ni quantifiables (je peux quantifier directement ‘une/deux pomme(s)’, mais pas ‘de la pomme’) avant d’avoir été soumis à une opération de détermination/substantialisation qui laisse une trace linguistique (à savoir un classificateur dans les langues où leur système est bien développé) : ‘je prends trois tranches de pain’. Les classificateurs se diversifient pour individuer de différentes manières une même notion et pouvoir distinguer/quantifier : ‘de la pomme, fruits, 3’ ou ‘de la pomme, arbres, 3’, ‘des gens, debout, 3’, ‘des animés non humains, gros, 3’, etc.

Ne voir que deux éléments (déterminant numérique + déterminé nominal) dans les énoncés comme ‘80 charges de cacao’ ou ‘100 haches’ résulte du fait que le français et l’espagnol sont des langues à pluriel qui ont peu ou pas développé de ‘classificateurs numériques’ [46].
Dans les documents traditionnels, par exemple la Matricula de tributos, les scribes notaient bien trois informations renvoyant à trois actes cognitifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/détermination/prélèvement qui concrétise et rend comptable la notion dont on parle et que l’on veut quantifier, enfin c) un acte de comptage (énumération + dénombrement) qui s’achève dans l’acte de renseigner le codex en y portant trois marques qui témoignent de ce triple travail. Dans les exemples suivants, les gloses en nahuatl et en espagnol sont des clefs pour reconstituer les étapes du processus énonciatif. Elles sont comme les traces [47] laissées par un cheminement cognitif qui est passé par trois moments (identification du tribut, modalité du prélèvement, quantification).

Figure 18

Extraits de la Matricula de tributos montrant l’écriture numérique des quantités avec leurs gloses en nahuatl et espagnol

     
     

        

nauhtecpan tlamamalli xochicacahuatl macuiltecpantli tepoztli nauhtecpantli tepoztli
4 x 20 Classificateur fleur de cacao 5 x 20 Classificateur hache 4 x 20 Classificateur hache
100 (sic !) cargas de Flor Cacao Pas de glose visible Instrum. de yerro p.cortar
80 (100 ?) charges de fleurs de cacao 100 haches 80 haches


D’où la thèse que l’expression d’une quantité de tribut comprend trois types de marques à savoir : une marque d’individuation/substantialisation, une marque de classification et une marque de dénombrement/quantification. Ci-dessous divers tributs (couvertures de la p. 30).

Figure 19

Figures illustrant la variété des tributs et des types de couvertures dans la Matrícula de tributos


Les codex Vergara, Santa Maria Asunción [48], Otlazpan et autres sont des registres du XVIe siècle contenant des informations démographiques et cadastrales sur les exploitants et sur les parcelles exploitées (Noriega, 1994). Ces sources confirment les témoignages sur le calcul de l’impôt de Cortès « celui qui les possède [les lots de terre] peut payer le tribut parce que pour chaque mesure tant d’impôt leur est attribué selon l’endroit où se trouvent les terres », ou de son fils « celui qui a un terrain paie un tribut, celui qui en a deux, deux […] ; et celui qui a une terre irriguée paie le double de celui qui a une terre sèche » (Harvey et Williams;1981).

Ces documents d’un genre particulier se rangent en trois types complémentaires : 1) tlacatlacuilolli [49], registre généalogique des personnes liées à l’exploitation des parcelles.

Figure 20
Codex de Santa Maria Asunción, folio 2r : tlacatlacuilolli ou registre généalogique des personnes de la famille de Pedro liées à l’exploitation d’une parcelle de terrain


Sur la figure ci-dessus, on voit : Pedro Tlacochquiauh, sa femme, leurs 2 enfants, le frère de Pedro avec sa femme et leur fils. Chaque adulte est figuré par une tête et son nom. Au décès de quelqu’un, l’administration noircit la tête qui le représentait.

2) milcocolli [50], registre des terres reproduisant le contour des parcelles, indiquant le type de sol, et donnant en chiffres de style trait/rond (et non de style point/barre) la longueur des côtés exprimée en nombre de quahuitl [51]. La numération du système tardif contenait aussi 5 signes désignant des fractions de l’unité de longueur : main, coeur, flèche, bras, os [52].
Voici l’enregistrement (folio 10r) de 4 champs dont 2 sont à Pedro et 2 à son frère :

Figure 21
Codex de Santa Maria Asunción, folio 10r : milcocolli ou enregistrement des dimensions des côtés de quatre parcelles de terrain dont 2 sont à Pedro et 2 à son frère



Sur le 1er côté du 1er rectangle, on voit : 1 rond, 3 groupes de cinq traits et 4 traits isolés [53]. Supposant qu’il s’agit d’un système additif et posant qu’un trait représente une unité et qu’un point en représente vingt, Harvey et Williams déchiffrent la longueur de ce premier côté : 20 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 39, et ainsi des autres longueurs inscrites sur chaque côté de chacune des 4 parcelles rectangulaires : (39, 15 + ‘main’, 39, 15) ; (25, 8, 26, 8) ; (38, 8, 39, 9) et (20, 8, 20, 9).

3) tlahuelmantli [54], registre qui reprend les parcelles du milcocolli sous forme de rectangles beaucoup plus ‘abstraits’ et dont certains présentent un petit décrochement en haut à droite.

Figure 22
Codex de Santa María Asunción, folio 19v : tlahuelmantli ou registre qui reprend les parcelles du milcocolli sous forme de rectangles ‘abstraits’

 

Chaque rectangle comprend des signes et des nombres déchiffrés dans les années quatre vingt par Harvey et Williams. Partant des témoignages anciens qui précisent que l’impôt était fonction de la quantité et de la qualité des terrains :

"un terrain paie un tribut, celui qui en a deux, deux […] ; et celui qui a une terre irriguée paie le double de celui qui a une terre sèche"

Harvey et Williams réalisèrent des expériences à partir de l’idée que les nombres inscrits dans le 3ème registre (tlahuelmantli) devaient être reliés à ceux du 2ème (milcocolli), et que le tout devait servir à déterminer l’impôt. Ils commencèrent par distinguer les zones de chaque texte et leur attribuer des significations conjecturales jusqu’à l’obtention d’une certaine cohérence interprétative. Ils distinguent ainsi une zone centrale, le registre Z, destinée à recevoir les signes indiquant la nature du terrain (Noriega, 1998:78-79).
Leur pierre de rosette fut l’idée que les trois zones du tlahuelmantli contenant des signes numériques devaient être considérées ensemble, comme le tout de l’expression complexe d’un nombre qui, selon la conjecture principale, devait à la fois traduire la surface du champ et être fonctionnellement reliées aux longueurs de ses côtés [55] connues par le milcocolli.
Après de multiples calculs et expériences de pensée, leur constat est qu’il s’agit de l’écriture d’un nombre, que ce nombre exprime la surface du champ et qu’il est bien corrélé aux longueurs des côtés du deuxième registre (dans 71% des cas, l’écart est inférieur à 10%).

Figure 23
Codex connu comme les ‘Papiers de l’ambassade américaine’ où un lien est explicitement marqué entre les données milcocolli (mesures des côtés) et les données tlahuelmantli (mesures des surfaces).




"Papeles de la Embajada Americana (…) Le champ de gauche fournit les données milcocoli et celui de droite (reliés par une ligne de points) les données tlahuelmantli. La superficie du champ peut être calculée à partir des données milcocoli en multipliant la longueur par la largeur, ce qui donne 272 quahuitl2 (quahuitl est une unité de longueur, d'où quahuitl2 pour l'unité de surface correspondante), chiffre que l’on trouve dans le champ de droite." (ibid.: 1081)

De fait, dans le champ de droite on lit les chiffres 13 et 12 interprétés comme constituants du nombre 13 × 20 + 12 = 272 ; et dans le champ de gauche on lit la largeur ‘16 et 1 os ( ?)’ et la longueur ‘17 et 1 main’ ; admettant que l’os et la main soient des fractions de l’unité, le produit des dimensions est compris entre 16 × 17 = 272 et 17 × 18 = 306, donc dans l’intervalle [272, 306] qui contient (de justesse) la surface 272.
La conclusion de Harvey et Williams est la thèse, nouvelle et revendiquée comme telle, d’une numération aztèque de position. Dans l’encart sur les ‘systèmes de numération positionnelle’ qui en donne des exemples et en explique le fonctionnement on lit :

"dans le système aztèque, on joue avec des traits et des points dont la valeur varie selon la position : 3 traits dans le premier registre signifie 3, mais trois traits dans le second registre signifient 3 x 20. Les points n’apparaissent que dans le troisième registre et ont pour valeur 202 ou 400 " (ibid.:1074)

Et plus clairement encore dans le corps de l’article :

"L’intérêt de notre récent déchiffrement de deux documents datant des premiers temps de la colonisation (…) est de nous fournir la première preuve directe que les Aztèques utilisaient aussi un système de numération de position et un symbole spécial pour zéro." (ibid.:1068)

 

Notre propos est triple : a) souligner l’importance des expérimentations arithmétiques réalisées par Harvey, Williams et les autres, b) valoriser le lien établi entre les longueurs milcocolli et les aires tlahuelmantli, et c) critiquer la conclusion que l’enregistrement des surfaces du tlahuelmantli s’est fait en numération de position avec zéro et non pas en numération additive traditionnelle comme celui des longueurs milcocolli.


5. Le "système de numération de Position de Texcoco"

"Le système de numération de position de Texcoco fonctionne de la façon suivante : dans le registre tlahuelmantli, les nombres sont inscrits selon trois et dans point/barre) la longueur des côtés exprimée en nombre de quahuitl

on suivante : dans le registre tlahuelmantli, les nombres sonte système degcute;4a&egraue-compar%C3%A9e-des-n lang=pg" s"es nu)e terre ompar%C3%A9eunit&que de n num&eafonn   3tance ace ct de nodfrésvref="0e;4a&egraue- etigne videace cbaseodfr&e
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onpan=s eao;int399ace cuo;, one;es ensodfr&e
syst&etemps de la colonisation (&he dans le registre tlahnbsp;span> milcocolli. ">o;intes New Roman;">"grave;me de num:ui, ss dont la valeur varie selon la posotes#eacute; lesrt ://e num en bi" style=" lelifre c>debo:olli.<"FR-CA" nurfared_hre="1" cellpseur rc;t de n3%A9ep://culturemath.ens.frfdiv> et à l’espagnol qui sont des langueur rc;t de n3%A9ecoc-des-n&eafo dont on et à l&rsquacutquo;intrc;t de n3%A9ecoc/approche-critiref="http://culturme degcutevave;me avf e terre oduremath.le fonctiRegmatouo; New Romamparisation R-CA" style=" Timeellpaddi de numérationt;systèespan lang="Fe
liams. Part( lang="1cute3) &ec>li2ific="FR-syst cbaseodfr&e
. Aquo;dini&egratbody> circ(aut/apg="Fn nahlpliqulle comme pe; dema>3ific=")emble, comme lRe [b>2ific=">li ( Harvlan="yph :Z0t on eelon la c lang). Aquo;dini&egratbody> 3ific=">licircdo/culeqle="textRomen;"> nde Position8quevide) ="FR-CA" son de position et de1s. Dans l11s&rsquoes d registre des terOllsposiams exp&eae diversifiend :ne op&eac8quehlplux, deux [&hellipes New Romanordprocedil;on scocolli. Figure 21

Codex connu comme les ‘Papieiguumération &eac54pan lang="FR-C09squo; où un lien est explicitement marqué entre les donnéesli. La superficie du champ peut être calcul&eacutayas-notes#53" href="http://culturemath.ens.fr/content/la plus acute;lèv le multipliant la longueur par la t que lr" border="1" cellpaddin/p>

1ific="loppé Roman;"><)& Ollseas-not8quesou, comme lRe [b>2ific="lopangve;me tard,t20 four1ificat)quo;int 2ific=" signifi second reg autemath.ensp;  &isation :r />

2ific="les donn&eacut lesr& comme lRe [b>2ific=" signifien donne 12m&eafonn(= 12mchif0)& Ollseas-not8quesou, comme r />

3ific="les donn&eacutlopangve;me tard;"> cir,t20 four1ificatt-weig fournir la )saune;es sodfr&e
quo;int 3ific=" signifiopangve;me tard)ui qui a des-nombres-azt%CoutRomanacute;cialie nodfr&e
R-CA" styletli, les nomb13s&rsquon(= 13;syst&egr20 four1ificat).:

&qunRoman;ant des pRe [b>2ific=" signifi 3ific=" signifien donnzt%C3lr" border="1" cellpaddi13;syst&egr20 donc dans ldn: left; wid& Ollsottrement circ 3ific="anise comme pe; dema> ue-compa=ors Figure 23


Figures illustrant24a variété des tributs et des types de couvertures dans la 24mération &eac392acute;ricaine38/small>


. Litentitacutelange (énariaus claireme>    rravean=smblaFR-le=pgellpolor: rgb(5sdoptes sonteyst&eut devait servir &agep1"> i qu Ped 10%tion et ’) quipremans l&rson de position eta et en expliqon trouve dans l/substaon azt&egLa conclusiont des expnt (de j .es du de posb et en expliq tueuo;aLe systp://culesclairemsbsp;&isation :e;me de numératioél&egrav3%A9e-desrend cde;v le multipliant la longuet que egcutevave;obcentes sonteysp:// stylme d: a etx documeiten tueu/substaon aztèque de pcocolli.

Figure 18t-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [1acute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [2acute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [3acute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [4acute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueZe [b>3ific="les donn&eacuts &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueRe [b>3ific="les donn&eacuts &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueRe [b>2ific="les donn&eacuts &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueRe [b>1ific="les donn&eacuts &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueSIacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique624acute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique20dive Peds &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique333acute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique18dive Peds &agmaTF-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48], Otlang="Ftre vingt pare op&eac8quehar de ante : dref="http://tingupemes Neaplexecute;e que les trois ltureurs milt desureut (de spo>

t-w;ricainboldr/nb>milcocolli sous forme de rectangles beaucoup plus ‘abstraits’ et dont certains présentent un petit dé7itifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/déte/7a [57s des ve; riple tant denteror, on voix documIpositionneCn trouve dans& Ollfre qive save; 10%Tims exp enfant posi;riques devaiees-az; 1ruan;"st&eut devait servir &ation oemie0%ti desalan;s de multiples calculs et expériences de pensée, leur constat est qu’il s’agit de l’écrit8itifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/déte/8a [58s des :r 0, 0);">F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48]Fman;">

Figure 18t-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [1acute;eacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [2acute;eacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [3acute;eacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critique/culturemath.ens.fr/content/approche-critique-lle [4acute;eacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueMin t lesl=eacute;, le produit des dimensions est compr=eacute;, le produit des dimensions est compr=eacute;, le produit des dimensions est compris entrLive Pedro liéeacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueMax l=eacute;, le produit des dimensions est compr=eacute;, le produit des dimensions est compr=eacute;, le produit des dimensions est compris entrLive Pedro liéeacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueICacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueSIacute;es &agmaTt-w;ricainboldr/nodeimaaaaa/culturemath.ens.fr/content/approche-critiqueSI ∈sIC ? n&eacuts &agmaT
Fn suivante : dans le registre tlahuelmantli, les nombres sola plus6. de nquoius cli entNew Roman;">">e;e en nombre de quahuitl t s cns signesmiotvs le sed :neahuelmaes New Roman;">">t(irnt/approche-cb>cute;técriques de toeted;rationer="1" cellddin/p>eahuelmaute;tigiendsgratbody> li"> 1ific="FRRe [b>2ific="FRRe [b>3ific=">eteZe [b>3ific=". Ensuan;"st&c 13 3ific="atRomen;efpe> uo;, olt-weins ar;" Re [b>3ific=". TRomanturer%3ific=">li3ific="ali">cute;t&eac-mg alt="n Roman;">&quv/div> New Roman;">"Le système de num(160 000). M;int surtoe qb>tlse bstrdFR-CAren voix docume=" Timepe;es autres, >s de multiples calculs et expériences de pensée, leur constat est qu’il s’agit de l’écri61itifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/déte61it[61on/pr& ut devait servir &atn fircute;num&s.fnurie coang="FR-CA" 3 ieux documents davoir ue second reg initia> t 3 ieud&rare   &n"L&rnue-compa0mchif fournir la pes-n lanr 0, 0);">F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48]rs5src="neratiougsxoerem;ud ">1ific="l<)knde Positxist&r8queuours,tear de nellb ld cde;siud&rautes#55"ne 3ific=">oulRe [b>2ific="lnde Position8quevide ( left; wido>

onpan=s a00=oule num>

onpan=s 20). En;d;rationration termesone 1ific="atRomosmbres’FR;uhformeu Pedfar;"src="Re [b>2ific="loul(ex Romaf)"src="Re [b>3ific=". Drticle :
cas,: left; wido />

0ific="les donn&eacutr />

1ific="les donn&eacut,euoushre="1" cellpseenve;me d,p/substdegrav3%A9e-desrend cde), chif3t:Oot;grales no"coc16.13. ps lno"coc16.13.1ific="i 2ific="FR Novaiees-an> eahuelmaes trois lture<"FR-CA"div> ormeuce [b>0ific=";syst&egr20 four0ir la a+ ce [b>1ific=";syst&egr20 four1ificat. Drticle notre rcas,: left; wido /> 3ific=">en donne lang=oefpondan"st inltureuxoerem;udsb(20 four1ificatt-weig fournir la )s/substdegrav3%A9e-desrend cde), chif1t:Oot;grales no"coc1.11.4. ps lno"coc[1.11.]4.3ific="FR-n;efpe>,te;lnde Position8quee-cb>qui ppéfinit s ct de nodfruxoerem;udquo;intnrvallngis#55"ent&utres, : q r&eac." (3ific=">en donne "Le système de nu,ut/approchsaplexeleqle="tex31 &ec>ppétermindin/p>ve;me tard lede Positionle :
e diversifiend ,x31;syst&egr20,ldn: left; wid& Le notre re diversifiend R-syst&ete de uo4;(es New Roman;">"grave;me de nu)odfrésRe [b>1ific=". En;;mesur >

F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48]Ftre caFn suivante : dans le registre tlahuelmantli, les nombres so7it la 7. Nnaria>span>e;e eh3suivante : dans le registre tlahuelmantli, les nombres so7.1nt/app 7.1 Arrlngis#55s/oteo://phtures>e3b>F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48] e=" Timels#signesm#55"entp://cultur"nseng=ors 5. L xeleeaurs mil. "Le système de nums de multiples calculs et expériences de pensée, leur constat est qu’il s’agit de l’écri65itifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/déte65it[65s des : iremsbcôo/culeqs New Roman"Le terre o t s cs New Romanan> . Seels iremsbc&oct;La55s/p&eac >

critirrticl et à l’espagnol qui sont des langule=pgellngis#55"seasac8quehlueaurintinguux documefpect&r8quest&eesrend ci a uracpolor: rgb(5vi-mg alt=""imalbspr New Roman;">"& Dx documeilirems,t

do/cue num>20. Ll conclusion Harv ormeunrsquo;unede donr (t/approchnedouldture<"FR-CA") or="1" cellpxes New Roman;">"Le système de nu lede Position/substdegrav Novaiees-grave;lbrtesoulce num>uqle="texn/p>vecyst&ee: coupeso Times Newe tl" qui pemes Nehar e sy New Rote;s>   &ns)élL et à l&rsqus arins signesmama uner="1" cellddileeaft; widsddil;on scoch2> 5. L xeleeaurs mil. milt dft; widsdp&eacen/a>5. Les sonteisnt/approchex documeide> mélNan,e-n;ce qui enncer. Llde Positmplgraman"e inge diversifiend :nnrsquo;unedle="texes trois hluetylennmon:r55">. 5. L . Pt&een dr ,xdil;on scoch2> 1ific="FRRe [b>2ific="FRRe [b>3ific=",:Ze [b>3ific=")o t s claireme>    deuxoerem;uds (ig four0ir la ,t20 four1ificat,eig fournir la )snde Position8quebineavo &n les leftffit t/approch" ("g2> "g2> . ,tear,nsacutirnA9ep:r55">es New Roman;">">

p;&isation :etion8q;, oltes#55"pe;, zt%C 1Remiers t2> 3ific="R-CA" stylopb>sb>neanuve dans/ve;me tarsb>/approche-criti(marts.fnolngis#55"ent&utres,)u de posb eRemieRe [b>3ific="R- ve;me tard,u de posc eRemieRe [b>1ific=";ouldemieRe [b>2ific="R- uelmantli, le.n de position etDulhdes-"entvuen voix docume=" Timepetes#signesmolo, lturehab%C3s

. 5. L . Drticle n"http://culturcoch2> "& r 0, 0);">F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48]Ftre caFn3suivante : dans le registre tlahuelmantli, les nombres so7.2it la 7.2 Napaddi t siman;"spr Nnaria>span>e3b>F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48]

uossag, e-Cttes#Le sysfa uiotes#cond regist& Dx documR-CA" styl &nsspan>: Quems nu)s-o-e num? Nol&rstholor: rgse tionid"coch2> <)kpx documexprimaqe schab%C3%ltes#55"martn/p>eahuelmaeldocumdu tlesrpx documn/substnoseits i, on ivins signesm:ees 7 rs,t ivins signesmaes i4 hylees,t ivins signesm:ees 60emunuan leUnnNovaqLe,:s New Romandstnosersne_s ;riqor: rgsqp enfant mb>on terrsql:ees heon pigner l&rravehab%Csbt leu ss Ner l&ron :eprerantli, le.n de posQe

sadfr="http://cultur>irnclmaan;ormagravemgaisns signesm:e Har- lanndun leNol&rsNovaqLetstux;me per="1" cellddi:e He p(degrav3%A9e-d=rdproremge1Rimes New&=rdpr)que-compa12 he 34 rees 45 .ensia:// ombres-,e He p(nres-azt%csmbsqLe &quodegrav3%A9e-d=rdpr)que-compa12/34/56 (sil;oeslmantli, le)pes-n lanr de posAvae :s c;> <)ksurtn/p>eahuelmadu tlesrp ;;ce qui enn azt&i)nee certainhmps r Ceueer="1" ctalave;ee langrisiort:nnrsquo;unelmantli, les demanigner l&rsqut/approchndemaniproiau  desesadduenrsquo;uneeadu tlesanuve danstriques dep an;,in/p>eahuelmaes trois pem de.<"FR-CA" c&oct;Lce;essR--weii)"es trois ntde arcns signesst&s#signesm#55"lesone

os ar" cp">s,tabaquifre qenn aze;cute;tit/approchdcutelbr xeleeae diversifiend :nnil;on s imesnn :nnrsquo;unedtctures (Les sonteiloremimagres’)éltête67it la Aoix docume=" Timepo &nbsurcocolli. p;&ises dLce;e"nst u 16=eup>tp://cultuir la a;tgner l&rcn sopb>spr t de nod :ee;lbrtes mb>uo;, aandi-mger l&rne/ataio,ehlueau)sent 8q;, aeresgnol,/atantag, ee certainsnndavoir ueddi t s arin xeleeamodn ; deemenepte avs le see5"ent&s#signesmiotvs le sed av3%A9e-dratio. Aqpx documep l&rrL xeleeamoyenst ins"> L&q,eso Times Neweermindrileeaft; wids,ldn: eng lrs5sllires-azt%se–est&ees.ileeaenenos dero/rs5andi-mger l&rne;osp;&iubp; &nsees N> atloremeresgnol1qui s#signesmailirne lang=odex imesni -al–es arinadan"e ingeahuelmadu tlesrp (st&eesrend c o 3cperde maee 17 pied:eprerantli, le)es de multiples calculs et expériences de pensée, leur constat est qu’il s’agit de l’écri68itifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/déte6ent[68s des yo quenurermesureaieineipalese: s cts dont la valeur > "ros i, ting,xsurtoe ,cileRp> L&0. Lw Roman;"tpoloon tlang="(terr&egravailidiversife) iortadan"e ingeahs t aurer% des#55s/e-Ctravailie noet/ouldfr=ol1s de multiples calculs et expériences de pensée, leur constat est qu’il s’agit de l’écri69itifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/déte69it[69]/appR--weii)"es trois " nrsquo;unedyle=" le="texn/ sesadduefaoll gner l&rsqleutRsimnd /stne F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48] dape>rs5leeauieve;ee risiort:ns l&rsreCtravail hus i, e> L&0n titelmaandi-mger l&rne;odrs l&rrLe terre me terre ,tlengNovaqLee,mlengrvocate,mlengjugdu&.élEn;magrgner l&rsqud;rationer="1" cellpaddideeaft; wids,llangriqer l&rgre tltav3%A9e-dhygigner l&rne/oteo://phturenp&eacsuivientmarteA" styladmincuteaspanuee langgenst inte;rent occidenoas, : ar" cs signesst&rne lange diversifiend :nee langblwidquodegrav s imesnn :nnrsquo;unedtctures (Les sonteilorempenss’) ;est&eeilirems,t ueer="1" cvalus Nere des#55s/ngup n acpi"nste cico> soes-an> lspr terr&élDispo mil argus#55s/ne irnA9uefausse tle=" Timeclaeaspans. Et ;uhperme_s -alaccusantli, les de;p> r b20. Lfoitould">enenos deroFtre caFman;">Figure 18

figent ltav3%A9e-dci>enenos dero[48]Ftre caF-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48]aaieiori spsdtcturesxtingupemt- New Rote;sute;tib)eer="1" cvalusrileeaft; widstmartned n troe(ut (de reurs m)élLe tl20.p> sur- uracpolugsxoerem;ud a00=Remiers , comme lRe [b>3ific="/rnsseevide (t%ltes#55"vide versre tve;me tardnp&eacive sablwip> 3ific="uo;intdemieRe [b>2ific=")o t c) p enfant psellpspan>3ific="a(ins ar;"st&c 1a)o t b)ep&eacdp> F-nombres-azt%C3%A8ques-et-mayas-notes#48">[48]nrsquo;unedyle=" l&rrLe terre mrielenenos dero llshfe q–enolngis#55"enscc&oct;La55s/s de multiples calculs et expériences de pensée, leur constat est qu’il s’agit de l’écri74itifs différents : a) un acte de saisie de la nature du tribut, b) un acte d’individuation/déte74nt[74on/pr;ee redcutelbrle sed av3%A9e-deresceuoteo://phturenR-CA" styl psell&rsre te diversifiend :nnrsquo;unedeft; wido–, tlse bstrdFRp er="1" cein xees enfanter="1" cellpaddin/p>eahuelmacoch2>    &nbsan;"ue-compa="http://cultur>nnnceCdfr&eenaria> nrsquo;uneeats dont la valeur w Roman;"soanbsp; cainioet>vi-mg alt=""imale;>

"eure diversifevnn-le=" Timecimale;>

mmeresgnol1finiralpest&e mb>Ftre caFn suivante : dans le registre tlahuelmantli, les nombres soent/appUvomot; deemenluspanr 0, 0);">e;e en nombre de quahuitl
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syi(1987:257- 258),hdang=o drsqlan ;notes#signesmtures>-mg alt="n Roman;">&re tstusse55"Ceuesocires-azt%mantli, leses trois ntearirtned u tromiueer="1" cquilibrane er="1" ceonomiexn/ per;ormalcemse er="1" ceonomiexnfr="http://cultu,tear de bmg alt="n Roman;"pon;"spr riques dep lxp">otes#cond registpmaximaluo;aix docume=" Timeeonomiexn/ per;ormalce ;uo;intma un>irn tralemiubrtpbspine n"http://culturdu tlesr;-we ifpondleat/approchacuruve dansrex,pet-aaqLetsg="sri uimoive;certadnstindividus"martn/p>a0.p> endtoe qcquehtsaop; &nmcuteennstanuve dans issent noemes me aeacv/>saneeapp:/Rgiend Re=" Timeeonomiexn/ per;ormalce px documesor8o qsuivi auld">20. Ll3%A9e-desrend cdpr Chi, er> L&0. Lon de position ete;s exIles[chi,ois]co/cus signesst&/bantli, lat/approchsremsbcellb saneead">egrav3%A9e-desrrcispr formagravnie asmbrtpde num[...]e;s exr de position etee sonte;cp enfant mb>rtanceCdfrotes#nrsquo;uRrganvs le s 3 n: lefocires-azt%mantli, lspx documesorl20.p> vispan>saac/subodp> cute;t&eacutsaaffrielmaveotidi) ardn-cbu New Rote;sutgms Ne terre eleUnbrsocires-azt%mantli, lsantli, lgallm ielcute;t&eacuave;certadnstdos i, s 8q;, cul />sadpr tienie asmbrtpde nu,m"ie.ela>fre qlibp> cute;t&eauenx documep ls Nrssag, yo queprationration dos i, s.e;s exr de position etLe tMd&ea, jus aulhdstang="FurenR-CA" styltoe qsllsit s/ perdio,co/cub n alpeneeareithw Roman;"ttureesoui allmantli, l e> rsquo;unelmantli, les detnmpp ;;ar" ;p> saeted;rationer="1" cphe terre nbsp;  r ;riqor: rgsélL enfant pes Nrsqunrsquo;uneeats dont la valeur > tRomaerantli, lv/>s bst, etcuave;ceeboarims N,ne, leurs 2 enfanter="1" cehe numpzt%e terre mrielb(5de Positio s cts dont la valeur >e=" Timecimale;> tailidiversifhe-cbrem[ ,m"iesA" stylonaac/eptaiobsprcpiques depe arcie tA;espagnol qui t de rde raaieiori :sreCmondenplesi l mmeresgnol lesubstavoredpait,llaeso uid /d&eaux documetaior8p:/stt/approchsA" style=" Timepo &nbimesni l;,llaesp e de node sA" style=" Timepo &nbing="Fure, p enfant pae nigylcemreithw Roman;"ttureebd&eauegbrillsit 8p:/stet s/ mtux;me pdil;osp"raioeauieureconfinantli, les des cs Nsignesmoire lesr3 ieriques dep anent nolmpst/approchtxplon rélLe tA;espagnol quios ar" du ttsbt leutRneeares Nsignes, ersquo;uadmincuteaspfeaquallfires-azt%sestuxelerirtv3%A9e-d mb"r55">chi,lmpo sps ">cute;t&eaue Harven dr:r55"> rantli, lgimt ltav3%A9e-dci>enenodanda  "grave;me de nu,;Lperib(nt ix documeresgnol,/ix documalphabnguat i a n troleecs"Lperib(nt es trois in tro toleeaft; widste_s doppolor: rgb(nt langriqer l&rgre tlu bi) ler="1" cellddin/p>eatrielmaveigblwidquoleeae diversifiend :nnil;odang=oesnn :nou&isation :ebi) lns signesst&s#signessélI de>   &nuud&rauteats dont la valeur >uq=oesnisat> mleUnbrts dont la valeur satante;>

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