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Comment comparer des volumes ?
Publié le 14/09/2015
Résumé

Auteur : Anne Chomel, Lycée Jean-Baptiste Say (Paris)

Mots-clefs : fonction, théorème de Thalès, équation, inéquation, résolution approchée d'équations, patron, géométrie dans l'espace, algorithme de dichotomie, condition nécessaire et suffisante.

Cette activité d’étude et de recherche permet d’introduire ou bien de réinvestir des notions nouvelles ou des méthodes spécifiques du programme de seconde à travers une problématique donnée : comparer des volumes. Elle est divisée en paragraphes qui peuvent être traités à des moments différents durant l’année. Elle permet notamment de donner un sens au calcul algébrique qui valide ici les solutions d’une équation trouvées graphiquement ou par une méthode algorithmique. Par ailleurs, la résolution des différentes questions donne l’occasion de travailler de façon pratiquement exhaustive les compétences mathématiques. Plusieurs questions de cette activité peuvent être déjà abordées en classe de troisième.

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Sommaire


Fiche du professeur

Connaissances

  • notion de fonction ;
  • fonction affine ;
  • théorème de Thalès (3e) ;
  • calcul algébrique ;
  • valeur exacte et valeur approchée d’un nombre (3e) ;
  • calcul avec des radicaux (3e) ;
  • résolution exacte d’une équation et d’une inéquation ;
  • méthodes de résolution approchée d’une équation ;
  • condition nécessaire et suffisante.

Capacités

  • représenter en perspective des solides ;
  • réaliser des patrons ;
  • mettre un problème en équation ;
  • encadrer une solution d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie ;
  • encadrer une solution d’une équation par balayage ;
  • résoudre algébriquement et graphiquement une équation ;
  • résoudre une inéquation à partir de l’étude du signe d’une expression produit.

Compétences transversales

chercher :
analyser, extraire l’information utile, observer, expérimenter, émettre une conjecture ;
modéliser :
traduire en langage mathématique, simuler, valider ou invalider un modèle ;
représenter :
choisir un cadre numérique, algébrique, géométrique, graphique, passer d’un mode à l’autre, changer de registre ;
calculer :
effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument calculatrice, logiciel, mettre en œuvre des algorithmes simples, exercer l’intelligence de calcul, contrôler les calculs.

Notes sur le problème

  1. Modélisation :
    • Cette étape est l’occasion de parler un peu de physique en précisant que le niveau d’un liquide en équilibre est horizontal et que par conséquent les bases de deux cônes sont parallèles.
    • La problématique est ici simplifiée pour pouvoir être traitée en seconde. En effet, la question que l’on se pose naturellement est plutôt « à quelle hauteur faut-il remplir les verres pour qu’ils contiennent la même quantité de liquide ? » où la hauteur se mesure par rapport à la table. Dans ce cas, on aboutit alors à une équation du troisième degré qui peut être résolue en classe de première ou terminale par des méthodes approchées. L’utilisation du tableur, de la calculatrice ou d’un algorithme deviennent alors plus légitimes et ont un vrai rôle.
  2. Expérimentation : ce moment peut être l’occasion de mentionner quelques exemples de démarche scientifique de mathématiciens : l’expérience de l’équilibre des liqueurs et l’expérience du tonneau de Pascal.
  3. Résolution du problème :
    • Nous avons pris le parti de ne pas simplifier par $h$ l’équation $(E)$ dans les résolutions par balayage et par dichotomie (paragraphe IV.3 et IV.4). En effet, les différents paragraphes peuvent être traités ainsi de façon indépendante permettant à l’enseignant d’adapter l’activité à la progression choisie dans sa classe.
    • Nous avons fait le choix de résoudre l’équation $V(x)-W(x)=0$ plutôt que l’équation $(E)\quad V(x)=W(x)$ dans la résolution par balayage de (paragraphe IV.3) pour que l’encadrement de la solution soit plus visible sur le tableur par les élèves mais surtout pour rendre plus facile ensuite l’interprétation et la compréhension de l’algorithme de dichotomie.
    • À ce propos, l’étude de celui-ci est aussi l’occasion de parler de terminaison et de preuve d’algorithmes.
  4. Comparaison avec un verre sphérique :
    • Le calcul du volume de la calotte sphérique peut être fait en terminale S en application du calcul intégral.
    • Ce paragraphe peut être aussi le point de départ pour introduire le taux d’accroissement d’une fonction et par là la dérivation en classe de première.
    • La notion de convexité et de point d’inflexion peut être abordée lors de l’étude de la fonction $S$ en classe de terminale ES.
  5. Condition nécessaire et suffisante à l’existence d’une solution :
    • La dernière partie permet de découvrir en seconde de manière intuitive le théorème des valeurs intermédiaires et de travailler la condition nécessaire et suffisante.
    • La preuve de l’existence d’aucune, une ou deux solution(s) au problème « Existe-t-il une hauteur $x$ pour laquelle le volume de deux verres soit identique ? » lorsque on dispose d’un verre cylindrique et d’un verre conique ou d’un verre cylindrique et d’un verre sphérique est l’occasion en classe de terminale S d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de bijection monotone.

Sujet

I. Présentation du problème

On considère deux verres, l’un de forme cylindrique (par exemple un verre à liqueur) et l’autre de forme conique (par exemple un verre à champagne). On verse un liquide dans chaque verre jusqu’à une certaine hauteur $x$ ($x$ est exprimée en $\mathrm{cm}$). Le but de cette activité est de déterminer par différentes méthodes la hauteur $x$ du liquide qu’il faut verser pour que le volume dans le verre de forme cylindrique soit égal à celui du verre de forme conique. Dans un deuxième temps, on comparera ces deux volumes en fonction de la hauteur $x$ puis on élargira le problème.

II. Modélisation

On modélise le verre à champagne par un cône de révolution $C$ de sommet $\mathrm A$, de rayon de base $\mathrm{OB}$ égal à $5\,\mathrm{cm}$ et de hauteur totale $\mathrm{OA}$ égale $6\,\mathrm{cm}$ et le verre à liqueur par un cylindre de révolution de rayon $2\,\mathrm{cm}$ et de hauteur totale $8\,\mathrm{cm}$ (voir la figure 1).

Figure 1.

  1. Justifier le fait que $x \in \left]0;6\right[$. On supposera dans le reste du problème que $0 < x < 6 \,\mathrm{cm}$.
  2. On modélise le liquide versé dans le verre conique jusqu’à une hauteur $x$ par un cône de révolution $C'$ de centre $\mathrm{O}’$ ($\mathrm O’$ appartient au segment $[\mathrm A \mathrm O]$), de sommet $\mathrm A$ et de rayon $\mathrm O' \mathrm B'$ tel que $\mathrm B$, $\mathrm B'$ et $\mathrm A$ soient alignés. Justifier que les droites $(\mathrm O \mathrm B)$ et $(\mathrm O’ \mathrm B’)$ sont parallèles.
  3. Représenter en perspective sur la figure 1 le liquide versé dans chaque verre jusqu’à une hauteur $x$.

III. Expérimentation

  1. On se propose de réaliser les patrons des deux solides.
    1. Calculer la longueur de la génératrice $[\mathrm A \mathrm B]$ du cône $C$.
    2. Calculer le périmètre du cercle de base du cône $C$.
    3. On rappelle que dans un cercle il y a proportionnalité entre la mesure d’un arc et l’angle qui l’intercepte. Montrer que la valeur exacte de l’angle $\alpha$ est $\displaystyle \frac{1800 \sqrt{61}}{61}$ degrés (voir la figure 2).
    4. Réaliser le patron du cône $C$ puis celui du cylindre.

      Figure 2.

  2. Pour réaliser une graduation sur le cylindre, tracer des segments parallèles espacés de $1\,\mathrm{cm}$ comme l’indique la figure 3 sur la face latérale (extérieure) de ce cylindre.

    Figure 3.

  3. On se propose de graduer la face latérale du cône

    Figure 4.

    1. On considère le point $\mathrm A_1$ du segment $[\mathrm O \mathrm A_1]$ tel que $(\mathrm A_1 \mathrm B_1) \parallel (\mathrm O \mathrm B)$ et $\mathrm A \mathrm A_1 = 1\,\mathrm{cm}$ (voir la figure 4).
      alculer la longueur $\mathrm A \mathrm B_1$.
    2. Tracer sur la face latérale (intérieure et extérieure) du patron du cône $C$ les cercles de centre $\mathrm A$ et de rayon $\mathrm A \mathrm B_1$, 2\,$\mathrm A \mathrm B_1$, 3\,$\mathrm A \mathrm B_1$, 4\,$\mathrm A \mathrm B_1$, 5\,$\mathrm A \mathrm B_1$.
  4. Verser une hauteur de 1 cm de sucre (ou de semoule) dans le cône réalisé puis verser cette quantité dans le cylindre. Comparer.
    Recommencer avec une hauteur de 2 cm, 3 cm etc. Le problème posé semble-t-il avoir une solution ? Justifier.

IV. Résolution du problème par différentes méthodes

  1. Recherche de l'expression du volume des deux verres en fonction de la hauteur $x$.

    Partie A. Étude d'un cas particulier.

    1. On verse une hauteur de $3\,\mathrm{cm}$ de liquide dans les deux verres. Calculer le volume exact $V$ (en $\mathrm{cm}^3$) de liquide dans le verre cylindrique.
      Donner la valeur arrondie au $\mathrm{mm}^3$.
    2. En vous aidant de la figure 5, calculer le volume exact $W$ (en $\mathrm{cm}^3$) de liquide dans le verre conique.
      Donner la valeur arrondie au $\mathrm{mm}^3$.

      Figure 5.

    Partie B. Cas général

    Soit $x$ la hauteur de liquide versé dans chaque récipient (en $\mathrm{cm}^3$).

    On note $V(x)$ le volume du liquide en $\mathrm{cm}^3$ dans le verre cylindrique.

    On note $W(x)$ le volume du liquide en $\mathrm{cm}^3$ dans le verre conique.

    Exprimer $V(x)$ et $W(x)$ en fonction de $x$.

  2. Résolution graphique du problème.
    1. On cherche à déterminer la hauteur $x$ du liquide qu’il faut verser pour que le volume soit égal dans le verre de forme cylindrique et dans celui de forme conique.
      Traduire ce problème par une équation $(E)$.
    2. On considère le fonction $V$ définie par $V(x) = 4 \pi x$ et sa courbe représentative $C_V$ dans le plan muni d’un repère. On considère la fonction $W$ définie par $W(x) = \displaystyle \frac{25 \pi}{108}\,x^3$ et sa courbe représentative $C_W$ dans le plan muni d’un repère.
      1. Sur votre calculatrice, tracer les courbes $C_V$ et $C_W$.
      2. Pourquoi peut-on conjecturer que la solution au problème est unique ?
      3. Encadrer la solution par deux entiers consécutifs.
  3. Résolution du problème par balayage.

    On se propose maintenant de trouver la solution du problème en utilisant un tableur.

    1. Préliminaire : montrer que l'équation $(E)$ est équivalente à $\displaystyle \frac{25 \pi}{108}x^3 - 4 \pi x = 0$.
      On note $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \displaystyle \frac{25 \pi}{108}x^3 - 4 \pi x$.
    2. Réaliser cette feuille de calcul en prolongeant jusqu'à $x = 5$ et donner un encadrement de la solution de $(E)$.
      1 $x$ $f(x)$
      2 4  
      3 4,1  
      4 4,2  
      5 4,3  
    3. Modifier le pas de la feuille de calcul de façon à donner un encadrement d'amplitude $0,01\,\mathrm{cm}$ de la solution.
    4. Est-il possible par cette méthode de trouver une valeur approchée de la solution à $0,001\,\mathrm{cm}$ près ?
  4. Résolution du problème par un algorithme de dichotomie

    On considère l'algorithme suivant :

    Variables : $a$, $b$, $p$, $m$
    Entrées : Saisir $a$, $b$, $p$
    Traitement :
    • Tant que $b-a >p$ faire
    • $m$ prend la valeur $(a+b)/2$
    • Si $f(a) \times f(m) < 0$
    •   Alors $b$ prend la valeur $m$
    •   Sinon $a$ prend la valeur $m$
    • Fin si
    • Fin tant que
    Sortie: Afficher $a$, $b$

    Comment choisir les valeurs de $a$, $b$ et $p$ pour que cet algorithme affiche un encadrement d’amplitude $10^{-5}\,\mathrm{cm}$ de la solution au problème donné ? Justifier votre réponse.

    Programmer cet algorithme pour donner un encadrement d’amplitude $10^{-5}\,\mathrm{cm}$ de la solution.

  5. Résolution du problème : utilisation du calcul algébrique
    1. Montrer que l’équation $(E)$ peut s’écrire $\displaystyle \frac{25 \pi x^3}{108} - 4 \pi x = 0$.
    2. En factorisant le premier membre par $\pi x$, résoudre $(E)$. On donnera la valeur exacte de la solution non nulle sous la forme $x_0 = a \sqrt b$ avec $a$ rationnel et $b$ entier le plus petit possible.
      Donner une valeur approchée de la solution $x_0$ à 0,001 près.
    3. Calculer la valeur exacte du volume obtenu pour $x=x_0$. On notera $V_0$ ce volume.

V. Comparaison des deux volumes en fonction de la hauteur de liquide versé

  1. Montrer que comparer les deux volumes $V(x)$ et $W(x)$ en fonction de $x$ revient à étudier le signe d’une expression.
  2. Étudier le signe de cette expression dans l’ensemble des réels.
  3. En déduire la comparaison des deux volumes en fonction de la hauteur $x$ du liquide versé.

VI. Comparaison avec un verre de forme sphérique

On considère maintenant un verre « ballon ». Il peut être modélisé par une calotte sphérique illustrée par la figure 6.

Figure 6.

  1. La contenance de ce verre ballon est égale à $V_0$. On suppose de plus que $h = \displaystyle \frac 95 R$. Montrer que la valeur arrondie de $R$ au dixième près est $2,3\,\mathrm{cm}$.
  2. On a représenté sur la figure 7 les courbes $C_V$, $C_W$ et $C_S$ où $S$ est la fonction donnant le volume de liquide versé dans le verre ballon en fonction de la hauteur de liquide versé.
    1. Donner la valeur exacte des coordonnées du point $\mathrm A$.
    2. Avec la précision permise par le graphique, comparer le volume du verre ballon et du verre cylindrique puis celui du verre ballon avec le verre conique en fonction de la hauteur $x$ de liquide versé pour $x$ compris entre 0 et l’abscisse de $\mathrm A$.
    3. Valider votre observation en tenant compte de la forme des verres.

Figure 7.

VII. Condition nécessaire et suffisante à l'existence d'une solution

On considère un verre conique de rayon $5\,\mathrm{cm}$ et de hauteur $6\,\mathrm{cm}$ et un verre de forme cylindrique de rayon $r\,\mathrm{cm}$ et de hauteur $M\,\mathrm{cm}$. On verse un liquide dans chaque verre jusqu’à une hauteur $x$ exprimée en $\mathrm{cm}$ (où $x>0$). On se pose la question suivante « Existe-t-il une hauteur $x$ pour laquelle le volume de ces deux verres soit identique ? »

  1. En vous servant de l’étude précédente, rappeler une condition suffisante sur la hauteur $M$ et le rayon $r$ du verre cylindrique pour que le problème ait une solution unique.
  2. Cette condition est- elle nécessaire ?
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la hauteur $M$ et sur le rayon $r$ du verre cylindrique pour que le problème ait une solution unique.
 
 
 
 
 
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