Journées de probabilités à l'ÉNS : les exposés
Publié le 23/09/2014
Résumé

En mai 2014, le Département de Mathématiques et Applications de l'École normale supérieure a organisé deux journées de formation à l'attention des professeurs de classes préparatoires.

Ces six exposés de deux heures exposent à la fois certaines bases des probabilités et statistiques (variables indépendantes, variables gaussiennes, intervalles de confiance, test statistiques), détaillent des exemples importants de processus aléatoires (jeu de pile ou face, percolation, mouvement brownien, arbres aléatoires) et donnent quelques ouvertures vers des champs contemporains de la recherche en probabilité.

Cet article présente les différentes vidéos. Nous remercions particulièrement Raphaël Cerf, directeur de l'équipe de probabilités du DMA, pour avoir suggéré d'insérer ces vidéos sur Culture Math. La captation des exposés a été réalisée par le pôle communication de l'ÉNS.

Vous pouvez cliquer sur les images pour accéder aux vidéos des exposés.

1. Le jeu de pile ou face, par Raphaël Cerf

Le jeu de pile ou face, exposé de Raphaël Cerf aux journées de probabilités de l'ÉNS

Résumé : Raphaël Cerf présente un des processus aléatoires les plus simples : à chaque étape, on lance une pièce de monnaie équilibrée. On peut se figurer ce processus fondamental dans la théorie des probabilités comme une marche aléatoire : une particule se promène sur l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers ; à chaque étape, elle se déplace vers la droite si la pièce tombe sur pile, et à gauche sinon. Raphaël Cerf calcule alors de façon élémentaire les caractéristiques principales de ce processus : la loi de la position à l'instant $n$, la probabilité de retourner au point de départ, l'instant du dernier retour au point de départ. Les outils essentiels de l'exposé sont des arguments combinatoires très élégants pour compter les trajectoires vérifiant certaines propriétés.

Plan de l'exposé :

  1. Présentation du modèle
  2. Représentation graphique
  3. Interprétation du modèle
  4. Loi de la marche symétrique
  5. Retour à l'origine
  6. L'allumeur de réverbères
  7. Fin du calcul
  8. Lemme fondamental
  9. Dernière visite de 0 avant 2n
  10. Loi de l'arcsinus
  11. Passage à la limite quand $n \to \infty$.

2. Variables aléatoires discrètes, par Bénédicte Haas

Variables aléatoires indépendantes, exposé de Bénédicte Haas aux journées de probabilités de l'ÉNS

Résumé : Bénédicte Haas rappelle les définitions des lois discrètes les plus importantes (loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson) avant de définir les notions basiques d'indépendance. On s'intéresse ensuite au comportement d'une suite infinie de variables aléatoires indépendantes et de même loi et notamment au temps d'apparition de certains motifs dans une telle suite de variables. La dernière partie de l'exposé est consacrée à l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev et à deux de ses applications : la loi des grands nombres et l'approximation de Bernstein des fonctions continues.

Plan de l'exposé :

  1. Variables aléatoires discrètes indépendants
  2. Suites de variables aléatoires indépendantes
  3. Inégalité de Bienaymé-Tchébychev et applications

3. Variables aléatoires gaussiennes, par Vincent Vargas

Variables aléatoires gaussiennes, exposé de Vincent Vargas aux journées de probabilités de l'ÉNS

Résumé : Vincent Vargas propose une introduction au « monde gaussien » : les premiers habitants de ce monde (et les plus élémentaires) sont les variables gaussiennes. En plusieurs dimensions, on parle également de vecteurs gaussiens. Ces variables jouent un rôle fondamental à cause du théorème central limite, qui décrit les fluctuations d'une somme de variables aléatoires indépendantes autour de leur espérance. À l'aide d'un changement d'échelle, ce théorème donne naturellement naissance au processus continu le plus célèbre des probabilités : le mouvement brownien. Dans une dernière partie, Vargas évoque des résultats de recherche plus récents (théorème de Girsanov, concentration de la mesure, inégalités log-Sobolev...)

Plan de l'exposé :

  1. Définition des variables gaussiennes
  2. Le théorème central limite et le mouvement brownien
  3. Quelques propriétés remarquables des variables gaussiennes

4. La percolation, par Raphaël Cerf

La percolation, exposé de Raphaël Cerf aux journées de probabilités de l'ÉNS

Résumé : La percolation est un des modèles les plus étudiés en théorie des probabilités : il s'agit d'un modèle de graphe aléatoire développé pour la modélisation des milieux poreux.  Dans cet exposé, Raphaël Cerf en donne une présentation élémentaire. La première question en percolation est la question de l'existence ou non de composantes connexes infinies. À l'aide d'arguments élémentaires, Cerf donne une réponse complète à cette question en dimension 2 : on observe un phénomène de transition de phase, où le graphe prend deux allures extrêmement différentes en fonction de la valeur d'un paramètre. L'exposé se termine par la présentation de simulations informatiques de ce processus.

Plan de l'exposé :

  1. Le problème
  2. Le réseau carré
  3. L'espace de probabilité
  4. Les amas ou clusters ouverts
  5. La probabilité de percolation
  6. Transition de phase

5. Processus de branchement, par Thomas Duquesne

Processus de branchement, exposé de Thomas Duquesne aux journées de probabilités de l'ÉNS

Résumé : Thomas Duquesne aborde les processus de branchements (oi)]ise;nomps_de_-ki/Processus_), utes : il sThoma de laermine par late;ment: on observe un ph&eacusisse;pendlsé pour lssus tes enométriqu de la mea>

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