La réponse du jeudi (15) : une inégalité
Publié le 15/01/2015

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Question du jeudi #15 : Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels tels que $a + b + c = 1$. Montrer que $a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac 13$.


Proposons deux méthodes :

  1. On peut interpréter le problème géométriquement : $P = \{a+ b+c = 1\}$ est un plan affine dont le vecteur normal est $(1, 1, 1)$. La quantité $a^2 + b^2 + c^2$ est donc le carré de la distance d'un point $(a, b, c)$ de ce plan à l'origine $O = (0,0,0)$. Cette quantité est donc minimale pour le point $(a,b,c)$ le plus proche de $O$, c'est-à-dire pour le projeté orthogonal de $O$ sur le plan $P$. Puisque $(1,1,1)$ est le vecteur normal à $P$, la droite orthogonale à $P$ et passant par l'origine est simplement $\left\{(\lambda, \lambda, \lambda) \middle| \lambda \in \mathbb R\right\}$, qui intersecte $P$ en $H = (1/3, 1/3, 1/3)$.

    Ainsi, $H$ est le point de $P$ le plus proche de l'origine $O$ et
    \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq OH^2 = (1/3)^2 + (1/3)^2 + (1/3)^2 = 1/3.\]

  2. On peut également procéder à la démonstration plus algébriquement. Si $a + b + c = 1$, on a également
    \[ 1 = (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = \delta + 2ab + 2ac + 2bc,\]
    où $\delta = a^2 + b^2 + c^2$ est la quantité que l'on cherche à minorer.

    Par ailleurs, l'inégalité $2ab \leq a^2 + b^2$ (avec ses deux semblables mettant en jeu $a, c$ et $b, c$) permet d'en déduire
    \[ 1 \leq \delta + (a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = \delta + 2(a^2 + b^2 + c^3) = 3 \delta.\]

    On a donc bien démontré
    \[ \delta = a^2 + b^2 + c^2 \leq 1/3.\]
 
 
 
 
 
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