La réponse du jeudi (30) : jeu de jetons | CultureMath
La réponse du jeudi (30) : jeu de jetons
Publié le 18/06/2015

Vous pouvez retrouver cette question au format pdf.

Question du jeudi #30 : On considère un paquet de jetons de trois couleurs (rouge, vert et bleu). On s'autorise à chaque coup à remplacer deux jetons de couleurs différentes par deux jetons de la troisième couleur. Par exemple, voici une suite de transformations autorisées.

En partant d'une situation avec $1515$ jetons rouges, $1789$ jetons verts et $2015$ jetons bleus, est-il possible de parvenir à une situation où tous les jetons sont de la même couleur ?


Non, c'est impossible.

Notons n, n et n le nombre de jetons de ces trois couleurs. À chaque opération, ces nombres sont modifiés d'une des trois façons suivantes :

  •    : (n, n, n) → (n - 1, n - 1, n + 2) ;
  •    : (n, n, n) → (n + 2, n - 1, n - 1) ;
  •    : (n, n, n) → (n - 1, n + 2, n - 1).

 

Rappelons que deux nombres entiers sont dits congrus modulo $3$ si leur différence est un multiple de $3$, c'est-à-dire si elles produisent le même reste (qui peut être $0$, $1$ ou $2$) quand on pose leur division par $3$.

L'intérêt de cette notion pour notre jeu est que si $n$ est un nombre entier, $n-1$ et $n+2$ sont congrus modulo $3$. Ainsi, en partant de trois nombres qui ne sont pas congrus deux à deux modulo $3$ (comme dans notre exemple, puisque $1515 \equiv 0 \ (\textrm{mod}\ 3)$, $1789 \equiv 1 \ (\textrm{mod}\ 3)$ et $2015 \equiv 2 \ (\textrm{mod}\ 3)$), on ne pourra produire que des triplets de nombres possédant cette propriété. En particulier, on ne pourra jamais arriver à une situation où deux des nombres valent $0$, c'est-à-dire à une situation incolore.

 
 
 
 
 
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