La réponse du jeudi (4) : le problème de Didon
Publié le 02/10/2014

Vous pouvez retrouver cette question au format pdf.

Question du jeudi #4 : Soit $\Delta$ une droite du plan et $L$ une longueur fixée. Parmi tous les rectangles $ABCD$ tels que $A, D \in \Delta$ et $AB + BC + CD = L$, lesquels sont d'aire maximale ?


Pour répondre à cette question, donnons des noms aux différents paramètres.

Si nous appelons $x$ la longueur $AB = CD$ (qui peut a priori varier entre $0$ et $L/2$), la longueur $BC$ vaut $L - 2x$ et l'aire du rectangle est donc $A(x) = x(L-2x) = -2x^2 + Lx$. Il est alors aisé de déterminer le sens de variation de ce polynôme du second degré : comme le coefficient dominant est négatif, le polynôme est croissant puis décroissant, et son maximum est atteint au milieu de ses deux racines, qui sont visiblement $0$ et $L/2$.

Le maximum de $A(x)$ est donc atteint quand $x = L/2$ (et vaut $\dfrac{L^2}8$). Ainsi, les rectangles résolvant le problème de Didon sont ceux qui sont deux fois plus longs que larges.


Remarquons que l'on peut en fait trouver ce résultat à l'aide de l'inégalité arithmético-géométrique : dans sa version la plus simple, celle-ci affirme que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres $\geq 0$, leur moyenne géométrique $\mathrm{MG}(\alpha, \beta) = \sqrt{\alpha\beta}$ est toujours inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique $\mathrm{MA}(\alpha, \beta) = \dfrac{\alpha + \beta}2$. Ainsi, on a

\[\mathrm{Aire}(ABCD) = xy = \dfrac 12 \mathrm{MG}(2x,y)^2 \leq \dfrac 12 \mathrm{MA}(2x,y)^2 = \dfrac 12 \left(\frac{2x+y}{2}\right)^2 = \dfrac 18 L^2.\]

En outre, l'inégalité arithmético-géométrique est une égalité si et seulement si les deux termes $\alpha$ et $\beta$ sont égaux, ce qui entraîne encore une fois que la seule solution au problème de Didon est celle des rectangles tels que $y = 2x$.

 
 
 
 
 
Dernières publications