Le Compendy de la praticque des nombres, une arithmétique du XVe siècle à mi-chemin entre théorie et pratique commerciale
Résumé

Le Compendy de la practique des nombres est un traité d’arithmétique écrit à la fin du XV° siècle à Lyon par un Frère Dominicain, Barthélemy de Romans. Le manuscrit est aujourd’hui conservé à la Bibliothèque Malatestiana de Cesena en Romagne (Italie). Après un bref exposé du calcul écrit utilisant la numération indo-arabe, qui se répand à cette époque dans les milieux marchands en Europe du sud (numération positionnelle, opérations sur les entiers et les fractions, calcul approché de racines carrées ou cubiques), la majeure partie de l'ouvrage est consacrée à la résolution très approfondie de quelques types de problèmes linéaires. Il témoigne d’une volonté enseignante forte de la part de son auteur, notamment en direction de la formation des marchands. Mais son style montre aussi des ambitions scientifiques inhabituelles. Le traité présente en fait peu d'intérêt pour un marchand : la première partie est trop réduite pour apporter l’essentiel et la seconde est inutile à la pratique commerciale. S’il fallait le rebaptiser, on pourrait le qualifier d’essai, un essai sur quatre problèmes, destiné à illuminer l’entendement de ceulx qui vouldroient veoir les subtilitez qui y sont contenues ».

 

 

 

Utilisation en classe - Les enseignants de collège et de lycée trouveront dans cet article, et plus généralement dans le très riche corpus des arithmétiques marchandes, de nombreuses idées de problèmes linéaires qui illustrent la vie sociale dans l'Europe méditerranéenne à la Renaissance.

Maryvonne Spiesser, Université Toulouse III

 

 

Cette page contient de larges extraits de l'article de Maryvonne Spiesser, dont la version complète est téléchargeable en pdf (lien ci-dessous). L'article a initialement été publié dans Commerce et Mathématiques du Moyen-Age à la renaissance, autour de la Méditerranée (Actes du Colloque International du Centre International d'Histoire des Sciences Occitanes, 13- 16 mai 1999). Il est diffusé par CultureMath avec l'aimable autorisation des éditeurs.
 
Importer l'article complet en version pdf - Ecrire à l'auteur
 
 
 

SOMMAIRE

Introduction

I – Une arithmétique inclassable

II - Orientation mathématique et projet pédagogique

III – Des sources proches du Liber abbaci

Conclusion

Bibliographie

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3: photographies

__________________________________________________________________________________

 

Introduction

Le Compendy de la praticque des nombres est le second des quatre traités mathématiques composant le manuscrit répertorié S-XXVI-6 à la bibliothèque Malatestiana de Cesena, centre historique de la Romagne (photographies: voir annexe 3). Construite dans la seconde partie du XV e siècle, cette bibliothèque remarquable est l’un des exemples les plus anciens de bibliothèque monastique de la Renaissance. La salle où sont conservés les manuscrits est composéee de deux rangées de pupîtres et le manuscrit S-XXVI-6 occupe la sixième place du pluteus 26, dans la rangée de gauche (S de Sinistra). C’est un ouvrage sur papier, relié en peau de couleur sombre, long de 220 mm et large de 148 mm. Il comprend 353 feuilles numérotées postérieurement, dont 39 pages blanches à l’intérieur du texte. La qualité de la graphie, de l’ornementation et de la mise en page permet de penser que c’est l’œuvre d’un atelier d’écriture. La présentation est identique pour chaque traité. Les parties principales débutent par une lettrine ornée accompagnée d’une frise dans la marge. D’autres lettrines ornées moins importantes marquent le début des chapitres. Chaque page comporte entre trente et trente-six lignes d’une écriture cursive soignée, inscrite dans un cadre de justification de 160 mm sur 110 mm. Enfin, deux personnes ont participé à la copie.

Les deux premiers traités, le Traicté de la praticque d’algorisme (f. 7r-140v) et le Compendy de la praticque des nombres (f. 149v-268v) appartiennent à la famille des arithmétiques commerciales. Le troisième (Speculative des nombres, f. 269r-299v) est d’un genre totalement différent, celui de la tradition universitaire. Son objet est l’étude des propriétés des nombres entiers, intrinsèquement et dans leurs rapports mutuels. Le dernier (f. 300v-330r) est un Traicté de la praticque de geometrie suivi d’une Composition du cadran. Tous ces traités sont écrits en français (ancien français tardif), excepté quelques pages en latin qui suivent la Speculative des nombres et reprennent l’essentiel de son contenu.

Le manuscrit, que nous nommerons désormais Manuscrit de Cesena, a été signalé par Warren van Egmond lors du colloque organisé à Oxford en 1984 pour le cinq centième anniversaire de la parution du Tripartyen la science des nombres de Nicolas Chuquet. Une première analyse a été faite par Jean Cassinet. Elle montre l’importance de l’ouvrage en tant que « maillon essentiel de la transmission de l’algorisme au quinzième siècle ».

Notre propos ne concerne que le second traité d’algorisme, le Compendy de la praticque des nombres. Bien que ce texte fasse pleinement partie du courant des arithmétiques dites marchandes, il s’en distingue aussi de manière frappante, par ses ambitions « théoriques » inhabituelles. Ces aspirations ne sont pas sans conséquences, tant au niveau des réflexions mathématiques nouvelles que des sources. C’est ce que nous nous proposons de développer dans les pages qui suivent.

– Une arithmétique inclassable

1 – Un Frère dominicain à l’origine du Compendy

Les quatre traités qui se succèdent dans le Manuscrit de Cesena n’y sont pas regroupés de manière arbitraire. Une étude comparative fine montre qu’un personnage est central dans cette œuvre, même si son nom n’apparaît que dans le Compendy : il s’agit d’un certain Barthélemy de Romans, frère Prêcheur. Seul le Compendy livre d’ailleurs des noms ; seul aussi le Compendy est daté : Mathieu Préhoude, clerc, achève à Lyon en 1476 la copie du traité dont la paternité revient à Barthélemy.

Je frere Bartholomieu de Romanis, predicateur, en avoye faict ung compendy de la pratique d'iceux en trois parties principalz, c’est assavoir ou nombre entier ou nombre roupt et quatre regles generalz pour les raisons. Pour donner plus grand clarté a l'entendement de ceulx qui ont ou auroient celluy compendy et auroient le precedant ouvrage, […] ay fait la suyvant recollection de toutes les regles de celluy compendy, avec aucunes declarations et aucunes cautelles de decevre que l’on ne sache ou cognoisse l’on par quelle regle se doit faire la raison, pour ce que la maniere de proposer la question est diverse a celle du livre, et aucunes regles especiales,[ mettant] chascune chose en l'ordre des chapitres et des regles selon le lieu en quoy deveroient estre si estoient ou livre ordonnees. Et commence ou nombre entier. [f. 149rv]

Barthélemy est reconnu comme théologien par Jehan Adam (1475) et Nicolas Chuquet (1484). Jehan Adam le cite en 1475 parmi « noz bons peres et saincts docteurs trespassez » ; selon Chuquet, il est « docteur en théologie, jadis de l’ordre des freres precheurs à Valence ». On apprend aussi dans les Monumenta Ordinis Praedicatorum Historica (MOPH) qu’il a enseigné la Bible à Montpellier en 1435-36. Sur le plan mathématique, il est encensé par Jehan Adam, critiqué ponctuellement par Chuquet, à propos de deux exercices. Quant à Mathieu Préhoude, il apparaît dans les registres des mandats de receveur de la ville de Romans, mais on ne sait rien de lui, sinon qu’il est clerc. A-t-il reçu l’enseignement de Barthélemy, à Romans ou ailleurs ? C’est une hypothèse plausible qui justifierait son intérêt pour le travail d’un maître. Une lecture attentive des trois arithmétiques du Manuscrit de Cesena permet d’avancer les conclusions suivantes : Barthélemy de Romans a écrit un traité d’algorisme vers le milieu du siècle, proche du Traicté de la praticque d’algorisme , qui a été remanié puis recopié par Préhoude une vingtaine d’années après ; c’est le Compendy que nous connaissons. D’autre part, Barthélemy est très probablement l’auteur de la Speculative des nombres, et si c’est bien le cas, il a enseigné un temps à Carcassonne. À la demande de ses élèves, il a écrit ce troisième texte afin d’éclairer certains points obscurs du Compendy concernant les proportions. Les trois arithmétiques sont donc intimement liées.

Ainsi, un lettré, qui manie la langue latine et connaît bien l’Institution arithmétique de Boèce, s’est intéressé à la formation des marchands. Ses activités l’ont mené de Lyon à Carcassonne, via la vallée du Rhône et Montpellier. Il occupait par ailleurs une position importante dans l’ordre des Dominicains, puisqu’il était Docteur en théologie et enseignait la Bible au Studium generale de Montpellier. Quelles peuvent être alors les raisons qui ont pu le pousser à s’intéresser aux mathématiques pour les marchands ? Ce n’est certes pas sa formation au sein de l’Ordre ou à l’Université s’il a suivi les cours de la faculté des Arts, qui en est responsable. L’engagement de Barthélemy de Romans apparaissant comme atypique, on peut alors se tourner vers les particularismes locaux et les intérêts individuels. Il est certain que si Barthélemy a passé sa jeunesse dans une ville commerçante comme Romans, il a côtoyé de futurs marchands et hommes d’affaires. C’est pourquoi l’intérêt qu’il porte à ce type de mathématique est peut-être le fruit d’une histoire personnelle. Quoi qu’il en soit, cet exemple associé à quelques rares autres cas rencontrés parmi les auteurs italiens de traités d’abbaque, montre une perméabilité entre le monde du commerce et celui des clercs, au niveau de l’enseignement.

Il paraît logique de penser que la formation et la culture de Barthélemy de Romans ont imprégné son œuvre. De quelle manière ? Comment le texte se démarque-t-il d’autres arithmétiques commerciales ?

2 – Deux lectures du Compendy

a) La structure apparente du traité

La première lecture suit le découpage en parties et chapitres. Le traité comporte trois parties : les deux premières traitent des opérations, la troisième de la résolution de problèmes. Dans la première partie sont enseignées la numération indo-arabe et les opérations sur les nombres entiers. La seconde est consacrée aux fractions (les nombres rouptz). Les opérations sont, dans l’ordre, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, l’extraction des racines carrées et cubiques. À l’occasion de la multiplication sont données des formules de sommations de suites arithmétiques et géométriques. La recherche des racines carrées approchées est reportée entièrement dans la seconde partie. Toutes ces informations tiennent en dix-sept feuillets (de f. 149r à f. 165v). Puis, tout le reste du traité, soit plus de cent feuillets (de f. 165v à f. 268v), est consacré aux règles dites des raisons. Ce sont quatre règles de résolution de problèmes nommées règles de compagnie, d’une fausse position, de deux fausses positions, d’apposition et rémotion.

Un tel découpage n’est pas original. Le premier texte actuellement connu qui suive un plan identique, avec un classement des problèmes sous quatre règles, est le Compendi del art del algorisme, traité anonyme écrit à Pamiers dans les premières décennies du siècle (c. 1420-1430). À ce jour, le texte de Pamiers apparaît comme fondateur d’un genre, qui s’est répandu au moins en Catalogne et dans le Sud de la France. Chuquet structure aussi de cette manière la première partie du Triparty. En revanche, on ne retrouve pas cette homogénéité de construction dans les nombreux traités d’abbaque italiens, dont le contenu et la présentation sont beaucoup plus diversifiés.

b) L’originalité de la composition

Une deuxième lecture, plus fine, consiste à écouter ce que nous suggère l’auteur. Or, quelques lignes, au feuillet 185v, éclairent sur ses intentions. À la suite des problèmes résolus par la « première règle des compagnies », vient la conclusion suivante :

Et cestes raisons, avec celles qui sont au livre, suffisent pour entendre et veoir la praticque de la premiere regle des compaignyes, laquelle toute seule est au livre car des autres ne y a rien, car elles ne sont pas necessaires a marchants, pour lesquelz principalement avoye composé et ordonné le livre. Mais en cestuy suppliement, pour illuminer l’entendement de ceulx qui vouldroient veoir les subtilitez qui y sont contenues, avec le adjutoire de nostre Seigneur Dieu et en sa confiance, je traicteray et mettray regles et exemples pour en donner cognoissance. [f. 185v]

On trouve déjà cette profession de foi dans le Manuscrit de Pamiers, juste avant l’introduction de la règle de trois. Il est certain que l’auteur a eu en main propre l’arithmétique de Pamiers ou un texte équivalent. Nous avons dit que le plan général des deux traités est identique. Beaucoup d’autres d’arguments peuvent être avancés, tirés à la fois du Compendy et du premier traité du Manuscrit de Cesena.

Dans le Compendy, les quelques lignes que nous venons de citer, et qui viennent clore la partie pratique du traité, prennent tout leur sens quand on poursuit la lecture du texte. L’auteur nous fait comprendre que ses ambitions ne se limitent pas à l’enseignement de techniques utiles au commerce : il désire sortir le lecteur d’un domaine mathématiquement limité pour aiguiser son intelligence. En effet, que doit savoir faire un marchand ? Calculer : c’est l’objet du premier volet du Compendy ; résoudre des problèmes quotidiens : ils sont presque toujours régis par la règle de trois et c’est la « première règle de compagnies » (de f. 169v à f. 185v) qui offre cet apprentissage. Enoncée sous la forme « Par chascune multiplie et par toutes ensemble partiz », elle n’est autre que la règle de trois exprimée dans un contexte particulier. Elle permet de résoudre les partages d’argent entre associés, lorsque leur compagnie se dissout, ainsi que les problèmes de contrat entre marchands et facteurs, entre propriétaires de troupeaux et bergers, etc. Le Compendy ne déroge pas à la tradition. Mais le « supplément » qui débute ensuite change complètement l’orientation du traité, tout en exploitant les sources des arithmétiques commerciales.

On comprend maintenant la part peu importante accordée aux opérations et aux applications commerciales. Une nouvelle approche du texte se fait jour, qui n’est pas du tout mise en évidence par le découpage des chapitres. La rupture se fait au f. 185v, entre une partie pratique qui couvre les trente-sept premiers feuillets et un important « supplément » de quatre-vingt-trois feuillets, où il n’est plus question d’exercer le praticien, mais de faire réfléchir le lecteur sur quelques problèmes. Voilà la véritable la raison d’être de ce traité, voilà aussi ce qui en fait l’originalité.

II - Orientation mathématique et projet pédagogique

1 - Les quatre problèmes qui font le Compendy

A la lecture des quelque cent soixante pages qui forment le second volet du traité, on se rend vite compte que le Compendy n’est pas une arithmétique de plus destinée à former les marchands. Si l’auteur se conforme au découpage en quatre règles, c’est pour privilégier, à l’intérieur de chacune d’elles, un, au maximum deux types de problèmes en évinçant les autres. Cette attitude est particulièrement poussée dans le chapitre sur la règle de double fausse position. D’ordinaire, ce chapitre regroupe nombre de problèmes divers, traditionnellement résolus de cette manière. Ici, deux questions seulement sont abordées, et la seconde tient pratiquement le chapitre entier. Qui plus est, la règle de double fausse position intervient à peine ! Cela montre bien que les quatre règles servent uniquement de cadre à l’intérieur duquel l’auteur sélectionne les problèmes qui l’intéressent. Ce faisant, chaque genre est fouillé, analysé de manière très complète et illustré de nombreux exemples. Nous présentons d’abord, à partir d’exemples simples, les quatre genres de problèmes privilégiés. La résolution mathématique générale est donnée dans l’annexe 2.

a) La deuxième règle des compagnies : demandants et baillants

Une compagnie est divisée en demandants et baillants. Les premiers empruntent collectivement de l’argent aux seconds et possèdent alors un multiple donné de ce qui reste aux autres. La composition des groupes d’emprunteurs et de prêteurs varie de façon « circulaire ». Il s’agit de trouver combien de deniers chacun possède au départ.

Sont troys qui ont deniers a partir en telle manière que le premier dit aux autres deux que s’ilz luy donnent de leurs deniers 7, avec les siens il aura 5 foiz tant comme leur reste. Et dit le second aux autres deux que se ilz lui donnent 9 de leurs deniers, avec les siens il aura 6 foiz tant comme leur en reste. Et dit le tiers aux autres deux que se ilz lui donnent 11 de leurs deniers, avec les siens il aura 7 foiz tant comme leur en restera. Demande ... [f. 186r].

Autrement dit, si les trois hommes possèdent respectivement $x_1$, $x_2$, $x_3$  deniers, alors les inconnues vérifient :

$x_1+7=5(x_2+x_3-7)$, $x_2+9=6(x_3+x_1-9)$ et $x_3+11=7(x_1+x_2-11)$

Les différentes manières de prendre en compte tous les membres de la compagnie sont présentes dans les exemples : soit le demandeur est seul, comme c’est le cas ci-dessus (cas nommé ung demande à tous), soit c’est une seule personne qui prête (tous demandent à ung), soit demandeurs et prêteurs sont plusieurs (plusieurs demandent à plusieurs). La situation peut se compliquer davantage lorsque les emprunteurs ne possèdent pas exactement un multiple de ce qui reste aux prêteurs : il y a alors des restes. Par exemple, le premier homme, avec 7 deniers des deux autres, possèdera alors 5 fois ce qui leur reste, plus un denier, etc.

b) La règle d’une position : $n$ personnes achètent une marchandise

Une compagnie veut faire un achat mais aucun de ses membres ne possède la somme requise. Comme précédemment, chaque groupe « d’emprunteurs » demande aux autres une fraction de leurs deniers de façon à réunir le montant exact de la marchandise. Cette question figure déjà dans le Traicté de la praticque d’algorisme. Voici le premier exemple dans ce traité :

Troys hommes veulent acheter ung cheval lequel couste ung tant et ung chacun d’eulx porte tant d’argent que nul d’iceulx ne le peut acheter ny poyer de soy. Mais le premier dit aux autres deux, prestez moy la moitié de tout vostre argent et avec le mien je poyeray le cheval. Le second dit aux autres deux, prestez moy le tiers de tout vostre argent et avec le mien je poyeray le cheval. Et le tiers dit aux autres deux, mais prestez moy vous autres deux le quart de tout vostre argent et avec le mien je poyeray celluy cheval. L’on demande que couste celluy cheval et aussi combien d’argent a ung chacun d’iceulx. [f. 77r-v]

Avec les mêmes notations que précédemment, $a$ étant le prix du cheval :

$\displaystyle{x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3)=a}$

$x_2+\frac{1}{3}(x_3+x_1)=a$

$x_3+\frac{1}{4}(x_1+x_2)=a$

Le prix du cheval n’étant pas fixé, le problème est indéterminé.

c) La règle d’une position : n personnes ont trouvé une bourse

Une compagnie a trouvé une bourse. Quelques membres, en réunissant leurs deniers à l’argent de la bourse, possèdent alors un certain multiple de ce qu’ont tous les autres ensemble.

Exemple :

Sont troys hommes qui ont trouvé une bourse en quoy a d’argent dedans qui doit se diviser a tous troys, et le chascun d’eux a d’argent de soy. Et dit le premier aux autres deux que si luy donnent leur droit de la bourse, il aura le double de ce qu’ilz ont. Et dit le second aux autres deux que si luy donnent leur droit de la bourse, il aura le triple de ce qu’ilz ont. Et dit le tiers aux autres deux que si luy donnent leur droit de la bourse, il aura le quadruple de ce qu’ilz ont. Demande combien a le chascun et combien a d’argent en la bourse. [f. 229v]

Soit $a$ la somme contenue dans la bourse. Mathématiquement, ce problème est identique au précédent. Il suffit de remplacer a par $–a$ et les fractions précédentes par $-2$, $-3$ et $-4$. Pour l’exemple cité, on obtient le système :

$x_1+a =2(x_2+x_3)$

$x_2+a =3(x_3+x_1)$

$x_3+a =4(x_1+x_2)$

Ces trois premiers problèmes ont une histoire très ancienne. On les retrouve pratiquement dans toutes les traditions mathématiques depuis l’antiquité, résolus au moyen de procédés divers. Ils ont aussi une unité mathématique : leur résolution conduit à un système dont la matrice est circulante (voir l’annexe 2). L’auteur a bien vu cette unité, d’abord en sélectionnant les trois problèmes, ensuite en les résolvant à l’aide de méthodes de même nature, enfin en concevant chaque chapitre de manière très proche.

d) La règle de deux fausses positions : les progressions composées

Le quatrième problème est différent. Il semble beaucoup moins répandu dans les arithmétiques. Une fraction (comprise entre 0 et 1) et une suite arithmétique de raison r et de premier terme a sont données. Il s’agit de partager de façon équitable une somme inconnue S (la fortune d’un père mourant par exemple) entre un nombre inconnu n de personnes, en respectant les règles suivantes : la première part est égale à a, augmenté de la fraction de ce qui reste, soit (S – a). La seconde part est égale au deuxième terme de la progression augmenté de la même fraction de ce qui reste de la somme initiale après avoir effectué tous les prélèvements précédents. Et on continue ainsi. Voici le premier cas proposé :

Il est ung nombre, lequel je veulz partir par ceste progression a aucunes personnes par ceste maniere : que le premier prand 3 et la du demourant, et le second prand 6 de ce que reste et la du demourant, et le tiers prand 9 de ce que reste et la du demourant, et ainsi continuant la progression de 3 et le adjoustement de la part du demourant. Demande quel est le nombre qui se peut partir par celle maniere et quantz lieux y aura, c’est assavoir quantz hommes seront, et que aura le chascun. [f. 249v-250r]

On remarquera que le nombre $n$ de personnes est inconnu (en général il ne sera pas entier!). En appelant $x$ la part de chacun et S la somme à partager ($S = nx$) , on a donc :

$x = 3+\frac{1}{7}(S-3) = 6+\frac{1}{7}[S-x-6]= ... = 3k+\frac{1}{7}[S-(k-1)x-3k]=...$

Ces problèmes forment la premiere maniere des progressions composées. La seconde maniere est bâtie sur le même principe. Le seul changement vient du fait que dans le calcul des parts égales, on prend la fraction avant le terme adéquat de la progression arithmétique [voir l’annexe 2].

En réservant la majeure partie du traité à ces quatre problèmes, c’est un essai qui nous est proposé, un essai dans lequel l’auteur met à jour son esprit d’analyse, sa capacité d’abstraction et aussi ses intentions pédagogiques. Les algorithmes de résolution ne sont pas démontrés, bien que parfois on ne soit pas loin d’une véritable justification ; le plus souvent, ils sont expliqués. Mais toujours, la description générale précède l’exemple particulier. Les cas plus complexes sont ramenés à des problèmes canoniques de référence, chaque catégorie de problèmes est organisée en différents genres, les exemples sont hiérarchisés, du plus simple au plus complexe. Le tout est guidé par une volonté enseignante très forte.

2 - De la description générale à l’exemple

Les problèmes de demandants et baillants mettent bien en évidence cette démarche. La seconde règle des « compagnies » compte une soixantaine de pages (f. 185v-216v). Deux parties composent le chapitre, la première est théorique (c’est la doctrine ou la speculative), la seconde contient les exemples : c’est la praticque. La première partie débute par une présentation générale des problèmes. Ensuite, sur dix-huit pages, six notes expliquent la démarche mathématique dans un cadre général et aboutissent à des règles de calcul. Les exemples éclairants sont rarissimes. Ils viennent dans la partie pratique, qui est une mise en application des règles sur des exemples qui recouvrent les différents cas de figure.

Comment obtient-on ces différents cas de figure ? d’abord en faisant varier le nombre des emprunteurs (les demandants ou prenants) et par conséquent des prêteurs (les baillants), puis en ajoutant éventuellement des restes [voir ci-dessus, 1 – a]. Les deux situations les plus simples sont celles où un seul homme emprunte à tous les autres ou inversement, car il y a alors une solution unique que l’on calcule facilement, une fois la somme S des inconnues trouvée [voir l’annexe 2]. Les trois premières notes traitent ces deux cas. Elles expliquent comment, partant des données initiales, on peut les exprimer en fonction de la somme totale des inconnues, puis comment calculer S. En se plaçant par exemple dans la situation où une seule personne demande de l’argent à toutes les autres, la méthode décrite dans ces trois notes correspond algébriquement aux étapes suivantes :

1 - le problème général se traduit par le système :

(1) $\displaystyle{x_i+a_i=m_i \sum_{k=1, k \neq i}^{k=n} x_k~~i = 1, 2, ..., n}$

2 - Les données sont exprimées en fonction de la somme totale $S$ des inconnues :

(2)  $\displaystyle{x_i+a_i=\frac{m_i}{m_i+1} S ~~i = 1, 2, ..., n}$

On passe donc des coefficients $m_i$ aux fractions $\displaystyle{\frac{m_i}{m_i+1}}$ , appelées proportions multiplex, en opposition avec les fractions $\displaystyle{\frac{1}{m_i+1}}$, proportions submultiplex qui apparaissent dans le cas où c’est le prêteur qui est seul.

3 - En ajoutant membre à membre les équations, on obtient alors

$S+ \sum_{k=1}^{k=n} a_k = (\sum_{k=1}^{k=n} \frac{m_k}{m_k+1})S$

S répond bien au nombre cherché dans les lignes qui suivent : on ajoute toutes les parties de $S$ , on retranche $S$ et on doit trouver la somme des nombres empruntés.

[…] et adoncques veult dire que, qui adjousteroit touz les nombres a bailler, quel est le nombre que qui adjousteroit toutes ses parties selon que demonstrent les nombres rouptz des proportions, et de la somme d'icelles parties [le en] lieveroit leur nombre entier, resteroit le nombre des nombres a bailler […] [f. 187v]

Les deux notes suivantes montrent comment procéder lorsqu’il y a des restes, en ramenant le problème à la première situation, sans reste, c’est-à-dire à un problème canonique que l’on sait résoudre.

Enfin, la sixième note seulement aborde le cas le plus général où emprunteurs et prêteurs sont plusieurs. L’auteur conseille de nommer les différents associés à l’aide des entiers naturels puis de dresser ensuite une table qui distingue les emprunteurs ou prenants des prêteurs ou baillants. Il donne les quatre tables possibles dans un exemple de cinq partenaires : que ung demande à tous (1 demande à 4) ; que tous demandent à ung (4 demandent à 1) ; que plusieurs à plusieurs (2 à 3) ; par le contraire (3 à 2). [f. 193v]

Il ne reste plus qu’à énoncer des règles qui permettront d’obtenir le capital de chacun, règles qui cependant ne sont formulées que pour les deux premières situations. Et pour cause : le cas général, pouvant conduire à un système incompatible, ne sera traité que sur des exemples. Cette présentation « théorique » des problèmes, souvent difficile à suivre pour le lecteur moderne, est remarquable. L’entreprise n’est pas simple, le sujet n’est pas élémentaire. Comment expliquer dans un cadre général, sans l’appui d’exemples ou presque, sans notations, les transformations successives qui vont permettre de parvenir aux solutions éventuelles ? On voit fleurir, au fur et à mesure des besoins, un vocabulaire nouveau, nécessaire à la description et qui semble bien être l’invention de l’auteur. Nous venons d’en voir des exemples avec les titres qui situent les problèmes (ung à tous, plusieurs àplusieurs, etc.) ou avec les proportions multiplex et submultiplex. La description très aride de la méthode de résolution des problèmes de demandants et baillants « avec reste », qui est l’objet des quatrième et cinquième notes, fournirait bien d’autres exemples.

3 - Classification et hiérarchisation des problèmes

Tous les exercices qui suivent les descriptions générales dont il vient d’être question sont soigneusement classés par genre : ung demande à tous (cas sans restes puis avec restes) ; tous demandent à ung ; plusieurs demandent à plusieurs. S’il y a des restes, on considère d’abord le cas où ils sont tous « en plus » et à l’intérieur de ce cas les éventualités suivantes : les restes sont égaux (ce qui est appelé 1 plus), les restes sont différents (2 plus ou 3 plus). Puis vient le même ordre pour les restes « en moins ».

Par quoy note bien tous les exemples suyvants, car je en feray en chascune maniere. Et feray premierement les exemples en que ne aura ny plus ny meins, et puis ceulx en quoy aura plus, et puis ceulx en quoy aura meins, et puis ceulx en quoy aura et plus et meins. Et premierement mettray les raisons de la premiere partie qui se font par les multiplex, et puis feray celles de la seconde partie qui sont contraires aux premieres, car elles se font par les submultiplex. [f. 194v]

Il en va ainsi pour tous les chapitres. Par exemple, les exercices sur les progressions composées sont ordonnés en tenant compte à la fois de la valeur respective du premier terme a et de la raison r de la progression arithmétique, mais aussi de la nature de la fraction, selon que le numérateur vaut 1 (une partie) ou davantage (deux et plusieurs parties).

Les exemples de la deuxième sorte de progressions composées sont ordonnés ainsi [f. 251v–255v] :

$a = r$ : exemple avec une partie et exemple avec deux parties

$a < r$ : exemples avec une partie, deux parties, plusieurs parties (au moins trois)

$a > r$ : idem.

La rigueur, l’esprit d’analyse de l’auteur, ses exigences pédagogiques aussi, l’amènent à ordonner tous les types de problèmes. Elles l’amènent aussi à discuter les résultats, à s’interroger sur le nombre et la nature des solutions. Cette attitude permet d’aborder des problèmes de fond.

4 - Un exemple d’illustration de l’esprit d’analyse : les “nombres” négatifs

C’est durant l’étude des problèmes d’achat d’un cheval et de découverte d’une bourse, dans le chapitre sur la règle d’une position, que surgit le problème des solutions négatives : le calcul final des inconnues donne lieu à une soustraction. Suivant les valeurs à soustraire, le résultat peut donc être positif, nul ou négatif.

Le problème ayant un support concret, on pourrait s’attendre à ce que seuls les résultats positifs soient acceptés, ou que les résultats négatifs soient interprétés. Il n’en est rien. On objectera que l’on a déjà rencontré cette réaction dans le ManuscritdePamiers à propos des mêmes problèmes. Dans le Compendy, l’analyse est poussée nettement plus loin et le lecteur moderne est renseigné de manière plus précise sur la perception des quantités négatives. Suivant sa démarche habituelle, l’auteur s’engage dans une énumération des différents cas de figure possibles, suivant le signe des solutions. C’est pourquoi il est amené à décrire les nombresdeterminez, riens simplement ou meins de riens, et ensuite à les faire fonctionner dans des opérations :

La premiere chose de noter est que les nombres trouvez sus le nombre de la position sont en une de troys manieres, car ilz sont ou meindres, ou egalz, ou plus grans du nombre qui viend du partiment de toute la somme des nombres trouvez sus la position […]. Et est que ce que reste en la sustraction des meindres se appelle nombre determiné. Et quant le egal se sustraict reste 0, que se appelle non riens simplement. Et quant les plus grands se deveroient sustraire, car il est impossible que le plus grand nombre se lieve du meindre, il est forcé que la sustraction se face par le contraire ; et pour ce est que ce que reste se appelle meins de riens. [f. 219v]

Les commentaires sur les solutions négatives vont bien au-delà de ce qu’on a pu lire jusqu’alors. Il est certain que les nombres négatifs embarrassent l’auteur. Mais le fait de les envisager avec 0 sur le même plan que les autres, les positifs, de les faire agir en tant que nombres, est une avancée certaine dans la reconnaissance de ces quantités.

Les caractères essentiels qui émergent à la lecture du Compendy le distinguent de la plupart des arithmétiques de son époque. Si le Manuscrit de Pamiers est la source la plus immédiate, bien des points séparent tout de même l’esprit des deux textes. En effet, le ManuscritdePamiers appartient sans hésitation au genre des arithmétiques « commerciales » ou « marchandes », même si les investigations à caractère théorique sont plus poussées que dans bien d’autres textes. Les chapitres des raisons renferment une succession de problèmes divers comme on en rencontre un peu partout dans de telles arithmétiques, dans les traités d’abbaque italiens en particulier : c’est une méthode de résolution commune qui les réunit. Nous avons vu au contraire que Barthélemy de Romans a choisi de développer seulement quatre sujets, qu’il a d’abord analysés dans un cadre général puis illustrés de nombreux exemples : vingt-six pour le thème des demandants et baillants, une vingtaine pour les problèmes « du cheval » ou « de la bourse », ainsi que pour les « progressions composées ». Dans l’arithmétique de Pamiers, les problèmes d’achat de marchandise occupent la même place, à l’intérieur de la règle d’une fausse position, mais les deux derniers genres de problèmes sont absents. Enfin, quelques problèmes de demandants et baillants sont proposés en application de la règle de double fausse position (f. 114r-115v).

III- Des sources proches du Liber abbaci

Il faut remonter à Léonard de Pise et au Liber abbaci pour rencontrer des chapitres entiers réservés à l’analyse d’un seul problème. C’est dans le chapitre XII que Léonard de Pise traite de ces questions. Dans l’édition Boncompagni, les problèmes de demandants et baillants couvrent dix-sept pages de la partie XII-3 et quinze exemples sont résolus. La partie XII-4 est entièrement consacrée aux problèmes de la découverte d’une ou de plusieurs bourses, avec seize exemples. Enfin, plus de vingt-cinq exercices traitent de l’achat de marchandises (chevaux et autres) et forment la cinquième partie du même chapitre. Parmi tous ces exemples, vingt sont repris dans le Manuscrit de Cesena, plusieurs autres en sont très proches. Les méthodes de résolution choisies par l’auteur du Compendy figurent toutes dans le Liber abbaci (qui en propose souvent d’autres en parallèle). Certaines résolutions du premier traité suivent pratiquement à la lettre celles du second. Le style rhétorique du Compendy est alors calqué sur la langue latine.

Les problèmes baptisés « progressions composées » par Barthélemy-Préhoude sont également traités dans le Liber abbaci, bien qu’ils soient beaucoup moins développés (chapitre XII-7, p. 279-281 de l’édition Boncompagni). Ces problèmes sont répertoriés dans Tropfke sous le nom d’héritage inconnu (Die unbekannte Erbschaft). Dans tous les exemples cités, les fractions choisies sont , , et . Nous ne connaissons pas d’autre texte que le Liber abbaci et le Compendy où interviennent des fractions peu courantes comme ou  ; la coïncidence est donc troublante.

Ainsi, en comparant à la fois les énoncés et leurs résolutions dans les deux traités, à la lumière aussi de quelques autres faits précis que nous n’aborderons pas ici, nous avons acquis la conviction que Barthélemy de Romans avait en main des sources très proches du Liber abbaci, sources qu’on voit apparaître ici pour la première fois dans les arithmétiques marchandes du sud de la France, et qui réapparaîtront ensuite dans le Triparty de Chuquet.

Pour autant, la comparaison entre les deux textes s’arrête là. L’orientation générale, on le sait, est bien différente. Et même si nous en restons au chapitre XII, source des exemples traités dans le Compendy, les objectifs ne sont pas les mêmes. Le Compendy, comme le Manuscrit de Pamiers, se veut didactique. Il explique quand le Liber abbaci démontre. C’est le « comment » face au « pourquoi ». Et malgré le remarquable travail de réflexion de Barthélemy, il ne faut cependant pas masquer les lacunes. Lorsque le problème devient plus difficile, l’auteur du Compendy ne le maîtrise plus mathématiquement, à la différence de Léonard de Pise. Les faiblesses du texte, erreurs et confusions passagères, le placent mathématiquement au-dessous de l’œuvre maîtresse de Léonard de Pise. En revanche, le souci de penser en premier lieu tous les problèmes d’une même famille sous des idées générales, de séparer les exemples de la théorie, est absent de l’œuvre de Léonard de Pise. Dans le Liber abbaci, la démarche est inverse : chaque partie débute par un exemple à l’occasion duquel est énoncée la règle qui permet de le résoudre et qui, souvent, est justifiée a posteriori. Une homogénéité de construction apparaît dans le Compendy que l’on ne ressent pas du tout dans le Liber abbaci et qu’on n’a retrouvée en aucun autre ouvrage.

Conclusion

Du point de vue de la transmission des connaissances, le Compendy de la praticque des nombres est un texte d’importance pour l’historien des sciences. Il a des liens directs avec deux traités de référence dans la France du XV e siècle, le Manuscrit de Pamiers qui jusqu’à ce jour est fondateur d’un genre et le Triparty en la science des nombres de Chuquet : ce dernier reprendra en effet, dans la première partie de son traité ainsi que dans l’appendice, bon nombre d’exemples et de méthodes issus du Compendy. Il est aussi la preuve de la circulation de connaissances d’origines plurielles : le Manuscrit de Pamiers d’un côté, qui a fourni le découpage et aussi l’orientation théorique du texte, le Liber abbaci de l’autre, qui a procuré le matériau de travail : à savoir le corpus important des problèmes proposés qui excède largement celui que l’on trouve dans le Compendi de Pamiers et les autres textes de la même famille.

Du point de vue du contenu, on peut dire que rien n’est nouveau, ni le sujet traité, ni les méthodes employées. Là où l’auteur innove, c’est dans le regard qu’il porte sur la matière. Il ne s’agit plus seulement de transmettre des consignes, de résoudre des exercices « à l’unité », mais de réfléchir sur des problèmes, de penser la mathématique enseignée. Le travail mené en ce sens est remarquable, neuf et reste unique, en l’état actuel de nos connaissances. Le Compendy de la praticque des nombres est un ouvrage très personnel, qui a su intelligemment tirer parti de différentes sources sans jamais les copier servilement, en suivant une voie originale.

Le traité n’a pas de vocation pratique. Il est certain qu’un futur marchand n’y trouvera pas son compte : la première partie est trop réduite pour apporter l’essentiel et la seconde est inutile à la pratique commerciale. S’il fallait le rebaptiser, on pourrait le qualifier d’essai, un essai sur quatre problèmes, destiné à « illuminer l’entendement de ceulx qui vouldroient veoir les subtilitez qui y sont contenues ».

Bibliographie

Sources manuscrites

ANONYME, Compendi del art del algorisme (dit Manuscrit de Pamiers), Ms. fds franç. 4140, Bibl. Nat. Paris, c. 1420.

ANONYME, L’art d’arismetique, Ms. fds franç. 2050, Bibl. Nat. Paris, c. 1460.

ANONYME, Traicté de la praticque d’algorisme, Ms. S-XXVI-6, Bibl. Malatestiana, Cesena, f. 7r-140v, 1476.

ADAM Jehan, Arismeticque, 1475, Ms. franç. 3143, Bibl. Sainte-Geneviève, Paris.

BARTHELEMY DE ROMANS, Compendy de la praticque des nombres, Ms. S-XXVI-6, Bibl. Malatestiana, Cesena, f. 149r-268v, 1476.

CERTAIN Jehan, Le kadran aux marchans, Ms. 2904, Bibl. de l’Arsenal, Paris, 1485.

CHUQUET Nicolas, Triparty en la science des nombres (Appendice, première partie), Ms. fds franç. 1346, Bibl. nat. Paris, f. 148r-210r, 1484.

Sources imprimées

BENOIT Paul, « La formation mathématique des marchands français à la fin du Moyen Age : l’exemple du Kadran aux marchans (1485) », in Les entrées dans la vie, Actes du XII e Congrès de la Société des historiens médiévistes de l’Enseignement supérieur public : Nancy : Presses Universitaires de Nancy, 1982, p. 209-224.

CASSINET Jean, « Le manuscrit XXVI de Cesena, important maillon occitan de transmission de l'algorisme au XV e siècle », Bollettino di storia delle scienze Matematiche 13 (1993), 251-285.

CHUQUET Nicolas, Le Triparty en la science des nombres, éd. Aristide Marre, d'après le ms fds fr. de la Bibl. Nat. de Paris, Bullettino di Bibliographia e Storia delle scienze Mathematiche e Fisiche 13, Partie I, (Oct. 1880), 593-659 – Parties II et III, (Nov. 1880), 693-814.

DUHIL Roxane, Étude d’un traité d’arithmétique du XVe siècle : le Manuscrit 456 de Nantes, Mémoire de maîtrise, Paris : Université Paris XIII, 1997.

L’HUILLIER Hervé, Nicolas Chuquet. La géométrie. Première géométrie algébrique en langue française (1484), Paris : Vrin, 1979.

LEONARD DE PISE, Liber abbaci, éd. Baldassarre Boncompagni, d’après le ms Magl. C. I, 2616, badia Fiorentina, n° 73, Roma : Tipografia delle Scienze matematiche e fisiche, 1857.

PELLOS Frances, Compendion de abaco, éd. Robert Lafont et Guy Tournerie, Montpellier : Edition de la Revue des Langues romanes, 1967.

SANCT CLIMENT Francesch, Suma de l’art d’aritmetica, éd. Antoni Malet, Vic : Eumo Editorial, 1998.

SANCT CLIMENT Francesch, Suma de la art de arismetica , trad. fr. Marie-Hélène Labarthe, mémoire de DEA, Paris : Université Paris I, 1999.

SESIANO Jacques, « The Appearance of Negative Solutions in Mediaeval Mathematics », Archive for History of Exact Sciences 32 (1985), 105-150.

SESIANO Jacques, « Une arithmétique médiévale en langue provençale », Centaurus 27 (1984), 26-75.

SPIESSER Maryvonne, « Problèmes linéaires dans le Compendy de la praticque des nombres de Barthélemy de Romans et Mathieu Préhoude (1476). Une approche nouvelle basée sur des sources proches du Liber abbaci de Léonard de Pise », Historia mathematica 27/4 (2000), p. 136-157.

SPIESSER Maryvonne, Une arithmétique commerciale du XV e siècle, le Compendy de la praticque des nombres de Barthélemy de Romans, Turnhout, Brepols, coll. De diversis artibus 70, 2003.

SPIESSER Maryvonne, « La question de la diffusion du Liber abbaci en France à travers les traités commerciaux du XV e siècle », Bollettino di storia delle scienze matematiche 1-II (2004), 115-135.

TROPFKE Johannes, Geschichte der Elementarmathematik, 4. Auflage, Band 1. Arithmetik und Algebra, éd. Kurt Vogel, Karin Reich, Helmut Gericke, Berlin/New York : De Gruyter, 1980.

VAN EGMOND Warren, « How algebra came to France », in Mathematics from Manuscript to Print, éd. Cynthia Hay, Oxford : Clarendon Press, 1988, p. 127-144.

VAN EGMOND Warren, Practical Mathematics in the Italian Renaissance. A Catalog of Italian Abacus Manuscripts and printed Books to 1600, Firenze : Museo i Istituto di Storia della Scienza, 1980.

Ressources sur CultureMath


Ressources externes

Pour aller plus loin, on peut se reporter à l'édition critique du manuscrit complet par l'auteur: "Une arithmétique commerciale du XVe siècle: le Compendy de la practique des nombres de Barthélemy de Romans." Turnhout, Brepols, Coll. de Travaux de l'Académie internationale d'histoire des sciences, série De diversis artibus. 762 p.

 
 
 
 
 
Dernières publications