Les numérations anciennes | CultureMath
Les numérations anciennes


Ce dossier propose une documentation sur l’histoire des nombres aussi complète que possible, dans l’esprit des nouveaux programmes de première et terminale littéraire. Ceux-ci précisent :

Quoique faisant partie du patrimoine de l’humanité, il s’avère que la culture scientifique n’a pas actuellement la place qui lui revient dans la culture générale. Pour ce qui concerne les mathématiques, elles ont d’une part une histoire qui est liée à l’évolution des civilisations qui les ont engendrées et qui se continue encore aujourd’hui, et d’autre part des liens avec d’autres champs d’étude importants pour les élèves de cette série, comme la littérature, les arts, la philosophie.
[…]
La partie consacrée à l’arithmétique concerne les entiers naturels et les questions de nature variée qui leur sont associées, en liaison avec l’histoire de leur développement. Cette exploration de la notion de nombre se poursuivra en classe terminale.
[…]
L’étude de différents systèmes de numération historiques et actuels se révèle fructueuse tant sur le plan de l’histoire des cultures que sur le plan mathématique. Cette étude permet de revenir sur la distinction entre un objet et sa désignation (ici, nombre et écriture chiffrée), sur la distinction entre les propriétés intrinsèques des entiers naturels et celles liées aux systèmes de numération (ici divisibilité et critères de divisibilité). Elle permet un retour réflexif sur les mécanismes sous-jacents aux techniques opératoires, dont l’aspect algorithmique doit être mis en valeur. [programme de l’enseignement obligatoire de première L].

Une page d’accueil oriente le lecteur vers différents types de documents : articles, fiches techniques, entretiens filmés. Elle propose en outre une bibliographie et d’une liste de liens vers des ressources externes. Le dossier s'adresse aux professeurs de mathématiques, d’histoire et de lettres, et s'efforce de favoriser une approche interdisciplinaire de l’histoire des nombres. Certains documents sont déjà en ligne, d’autres sont en préparation et seront bientôt à la disposition des lecteurs.



Christine Proust
, équipe REHSEIS



SOMMAIRE

Introduction
Classification des numérations
Bibliographie
Liens externes

 

Introduction

La représentation des nombres peut prendre des formes très diverses : orale, matérielle, écrite, figurée. Le présent dossier s’intéresse principalement aux numérations écrites anciennes. On trouvera également, dans les différents documents, des références à des auxiliaires de calcul tels que abaques, bouliers, tracés sur du sable, etc., utilisant des représentations des nombres matérielles ou éphémères.

Les numérations écrites peuvent se classer en grands groupes dont la définition a été l’objet des travaux de plusieurs chercheurs, notamment de Geneviève Guitel (Histoire comparée des numérations écrites, 1975). On trouvera une classification assez complète dans l’article d’André Cauty (Ecritures des nombres). Parmi ces groupes, on distingue essentiellement les numérations de principe additif, et les numérations de principe positionnel (voir définitions ci-dessous). Il est néanmoins important de garder à l’esprit le fait que, entre ces deux pôles, il existe de nombreux systèmes hybrides. Toutes les numérations utilisent d’une façon ou d’une autre des règles d’échange permettant de représenter les grands nombres de façon synthétique. La plus répandue dans le monde est la règle d’échange « dix contre un », c’est-à-dire la base dix. Mais d’autres bases sont aussi attestées (soixante en Mésopotamie, vingt en Mésoamérique pré-colombienne). Il arrive aussi que les règles d’échanges soient variables au sein d’un même système numérique, et dans ce cas on ne peut pas véritablement parler de base (ce cas est attesté en Mésopotamie par exemple).

Il arrive que plusieurs écritures différentes des nombres soient utilisées dans une même région, parfois à la même époque. En Grèce, on trouve des numérations alphabétiques et des numérations acrographiques (qui sont l'une et l'autre décimales de principe additif). Les scribes mésopotamiens utilisent des numérations de principe additif pour les mesures et les dénombrements, et des nombres sexagésimaux positionnels pour les calculs savants. En Amérique centrale, "le domaine d’expérience du nombre distingue les domaines du « nombre » et du « nombre-de ». Le premier, plus abstrait, est le domaine de l’arithmétique et du calcul. Le second, plus concret, est celui des dénombrements, des mesures, de la métrologie." (Cauty & Hoppan, Les écritures mayas du nombre).

Les numérations présentées dans ce dossier sont classées ci-dessous selon leur principe et leur base. Pour chacune d’elles, on trouvera des liens vers la fiche technique correspondante et des articles de CultureMATH qui situent leur cadre historique et culturel.

Classification des numérations

Numérations de principe additif

Dans les numérations de principe additif, chaque groupe d'échange est représenté par un signe spécial (par exemple, dans la numération égyptienne, un groupe de dix unités est représenté par une anse, un groupe de dix anses est représenté par un lotus, etc...). La valeur du nombre est la somme des valeurs des différents signes écrits. L'ordre d'écriture des signes n'a pas d'importance en principe, même s'il est d'usage de les ranger dans un ordre décroissant. Ces numérations nécessitent un signe nouveau pour représenter chaque puissance de la base, en conséquence elle ne peuvent représenter qu'une suite limitée de nombre entiers.



Région

base

usage

fiche technique

articles

Mésopotamie

60

comptabilité, dénombrement, expression des mesures, mathématiques

Système S

- Chronologie

- Le calcul sexagésimal en Mésopotamie: enseignement dans les écoles de scribes

- Calculer chez les marchands Assyriens au début du II e millénaire av. J.-C.

 

Egypte

10

comptabilité, dénombrement, expression des mesures, mathématiques

Numérations hiéroglyphique, hiératique, démotique

- Chronologie

Mycène

10

comptabilité, dénombrement, expression des mesures

Chiffres en linéaire B

 

- Systèmes numéraux en Grèce ancienne: description et mise en perspective historique

Grèce

10

comptabilité, dénombrement, expression des mesures, mathématiques

Numération acrographique

Numération alphabétique



Numérations de principe positionnel

Dans les numérations positionnelles, la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Si la base est dix, les chiffres placés en deuxième position valent dix fois plus que ceux qui sont en première position, les chiffres placés en troisième position valent dix fois plus que ceux qui sont en deuxième position, etc. Si la base est vingt, les chiffres placés en deuxième position valent vingt fois plus que ceux qui sont en première position, les chiffres placés en troisième position valent vingt fois plus que ceux qui sont en deuxième position, etc. Les chiffres ont la même graphie quelque soit leur position. Le nombre de chiffres nécessaire à l'écriture dans une base N est égal à N (si on tient compte du zéro). Le principe de position permet donc de représenter des nombres entiers aussi grand qu'on veut.

Région base usage fiche technique articles et vidéos
Mésopotamie 60 mathématiques, astronomie

Numération

sexagésimale

positionnelle

- Chronologie
- Le calcul sexagésimal en Mésopotamie
Mésoamérique 20 astronomie, calendriers Nombres mayas - Ecritures des nombres
- Les écritures mayas du nombre
Chine 10   Les baguettes - Chronologie
- Les nombres en Chine ancienne (à paraître)
- Les auxiliaires du texte : baguettes, figures et blocs (vidéo K. Chemla, séquence 5)
Inde 10   Les chiffres indiens

- Chronologie
- Textes écrits, Textes dits dans la tradition mathématique de l’Inde médiévale

Monde arabe médiéval 10   Les chiffres arabes - vidéo A. Djebbar, séquence 1




Bibliographie

Ascher, M.: 1998, Mathématiques d'ailleurs. Nombres, formes et jeux dans les sociétés traditionnelles. Seuil, Paris.

Benoit, P., Chemla, K. & Ritter, J.: 1992, Histoire de fractions, fractions d'histoire. (Birkhaüser, ed.), Basel, Boston, Berlin.

Cousquer, E.: 1998, La fabuleuse histoire des nombres. Diderot Editeur, Arts et Sciences.

Chabert, J.-L., Barbin, E., Borowczyk, J., Guillemot, M., Michel-Pajus, A., Djebbar, A. & Martzloff, J.-C.: 1994, Histoire d'algorithmes. Du caillou à la puce. Belin, Collection Regards sur la Science.

Cauty, A.: 2000, 'Numérations à deux 'zéros' chez les Mayas.' Repères 41, p. 25-51.

Cauty, A. & Hoppan, J.-M.: 2005, Et un, et deux zéros mayas Dossier Pour la Science: Mathématiques exotiques.

Cauty, A. : 2005, L’arithmétique maya. Dossier Pour la Science: Mathématiques exotiques.

Couchoud, S.: 1993, Mathématiques égyptiennes. Editions Le Léopard d'Or.

Ifrah, G.: 1994, Histoire universelle des chiffres. L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul. Paris.

Panza, M.: 2007, Nombres : éléments de mathématiques pour philosophes. ENS Editions.

Alexei Volkov (éditeur), Sous les nombres, le monde, Matériaux pour l'histoire culturelle du nombre en Chine ancienne, Presses Universitaires de Vincennes, octobre 1994, Extrême-Orient, Extrême-Occident n° 16

Yabuuti, K.: 2000, Une histoire des mathématiques chinoises. Belin - Pour la Science, Paris.



Liens externes

Actes du colloque L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes (IUFM de la Réunion, novembre 1997). Les articles sont en ligne. Voir notamment :
 
 
 
 
 
Dernières publications