Narration de recherche en mathématiques | CultureMath
Narration de recherche en mathématiques
Publié le 18/10/2007
Résumé

Ce dossier présente un dispositif d'enseignement des mathématiques centré sur la résolution de problèmes et l'écriture d'un compte-rendu des recherches. Il a été expérimenté notamment par l'IREM de Montpellier, équipe pionnière à qui on doit le nom de "narration de recherche", et par l'IREM de Paris 7. Il fait l'objet de nombreux stages de formation continue, souvent en association avec les professeurs de français

IREM de l'Université Diderot-Paris 7

 

Les documents ci-dessous sont principalement extraits de la brochure réalisée par l'IREM de Paris 7 et publiée par les Editions du Kangourou / ACL (voir aussi la fiche PUBLIMATH). Les extraits et les images sont diffusés sur CultureMath avec l'aimable autorisation du Kangourou.

Le dossier sera peu à peu enrichi de témoignages et d'articles d'analyse portant en particulier sur l'apprentissage du raisonnement et de l'argumentation en mathématiques et en français.

 

Le dispositif: présentation pour les professeurs

Qu’est-ce que la narration de recherche ? Inventée par des collègues de Montpellier (voir Chevalier et Sauter en bibliographie), cette activité consiste à proposer aux élèves de travailler sur un problème choisi hors de toute contrainte de programme, puis de rédiger un compte rendu de leur recherche qui décrive toutes les idées, toutes les pistes suivies, y compris celles qui n’ont pas abouti.

Les élèves sont prévenus qu’on attachera plus d’importance à la description de la recherche qu’à l’obtention du résultat. Ne pas trouver ou trouver un résultat faux n’est pas du tout grave. Chaque élève est ainsi amené à porter son attention sur la recherche proprement dite : comprendre pourquoi telle idée ne sera pas utile, faire des retours en arrière, profiter de la confrontation avec ses deux ou trois partenaires, utiliser un « déclic » apparu chez l’un ou l’autre et, finalement, presque toujours, arriver très près d’une solution du problème.

Les thèmes proposés à nos élèves ont été variés : dénombrements, géométrie, équations, arithmétique, approximations… Le raisonnement par récurrence est souvent présent en filigrane.

À un sujet donné on consacre en général trois ou quatre séances d’une heure. Les élèves (en demi-classe ou en classe entière) se regroupent par trois ou quatre. Le professeur distribue à chacun une feuille où est exposé le sujet. Une première demi-page explique la « règle du jeu ». Le problème proprement dit est exposé dans la demi-page inférieure. Il comporte le plus souvent plusieurs questions. Les premières portent sur des cas particuliers très simples que l’on peut traiter à l’aide de dessins ou de calculs élémentaires. Puis les choses se compliquent et le recours au raisonnement devient la seule chance de salut…

Une ou deux séances sont consacrées à la recherche. Chaque élève note au brouillon tout ce qui s’est passé dans son groupe et les résultats progressivement obtenus. Le professeur est amené à intervenir lors de ces séances, il répond aux questions et peut faire des suggestions, signaler des impasses, encourager telle initiative ; cela dépend beaucoup de la difficulté du sujet.

La séance suivante est consacrée à la rédaction individuelle, au propre, de la narration. Enfin la dernière séance est celle de la correction. Le professeur présente des extraits de copies (rétroprojection de transparents), récapitule les principales idées et les principales méthodes qui sont apparues, et explique la solution du problème. Cette séance est l’occasion d’un dialogue avec la classe et d’un travail sur les écrits des élèves très apprécié d’eux et pendant lequel ils restent très attentifs.

Le résultat le plus spectaculaire de notre expérience est le degré de concentration des élèves, même dans des classes réputées « agitées ». L’intérêt et l’attention ne se manifestent pas uniquement pendant la phase de la recherche, mais encore (et cela nous a surpris) pendant les séances de correction. Cette concentration et cet intérêt s’expliquent en partie par la particularité de cette activité, qui tranche sur les cours habituels : les élèves ont l’initiative, ils sont encouragés à parler entre eux, on leur dit qu’on attache peu d’importance au « résultat », enfin il n’y aura pas de note « sanction ». En effet, si nous n’avons pas jusqu’ici trouvé de méthode entièrement satisfaisante pour l’évaluation de ces travaux, nous sommes tous au moins d’accord pour estimer qu’elle ne doit pas être pénalisante.

Nous avons également été très frappés par la qualité des productions écrites des élèves (compte non tenu de l’orthographe…) ; cela a été confirmé par des collègues professeurs de français qui y ont trouvé une rigueur et une précision généralement absentes des rédactions qu’ils ont à lire. Il ne fait pas de doute qu’un travail en commun du professeur de français et du professeur de mathématiques sur ces narrations de recherche est très fructueux.

Dans les réflexions qui accompagnent les compte rendus des narrations de recherche que vous lirez ici, c’est notre intuition, notre expérience d’enseignants ou de mathématiciens qui parle et, sans vouloir exposer quelque théorie que ce soit, nous espérons simplement faire partager au plus grand nombre de collègues cette expérience. Nous les invitons à s’y associer avec leurs élèves, à critiquer notre point de vue, à en suggérer d’autres, à proposer de nouveaux sujets de recherche. Nous avons en tout cas la conviction que, à un moment où, dans l’enseignement secondaire, on renonce de plus en plus à « faire des démonstrations » en se contentant de la maîtrise de quelques algorithmes, la narration de recherche est un moyen efficace permettant aux élèves d’avoir une véritable activité mathématique. Elle est l’occasion, à travers la résolution de problèmes, de prendre goût à la recherche et au raisonnement, et aussi de prendre plus à cœur l’effort de rédiger.

Le dispositif : présentation pour les élèves

Voici la façon dont le déroulement de la narration de recherche peut être présenté aux élèves.

"La solution du problème qu’on vous propose n’est pas facile à trouver. Le but de ce travail est bien sûr de trouver la solution, mais surtout de la chercher. Vous pouvez essayer toutes les méthodes qui vous viennent à l’esprit. Il faudra ensuite expliquer par écrit tous les détails de vos recherches, de vos idées, même si elles ne donnent pas le bon résultat (il faudra alors expliquer pourquoi ça ne marche pas).

La recherche durera deux heures. Vous travaillerez par groupes de 3 ou 4 élèves.

Cette semaine, vous aller chercher en notant au brouillon tout ce que vous faites, vos idées, les idées du groupe. Vous pouvez discuter entre vous, vous disputer, utiliser les idées des autres, utiliser des méthodes qui finalement ne marchent pas : tout est permis. Ce qui est important, c’est d’écrire ce qui se passe dans votre groupe et dans votre tête. Les brouillons et les énoncés seront relevés par le professeur à la fin de l’heure.

La semaine prochaine, on vous rendra vos brouillons et vos énoncés. Vous pourrez continuer à chercher si vous le souhaitez, puis vous rédigerez au propre un compte-rendu de vos recherches à partir de ce que vous avez écrit au brouillon. Chaque élève doit rendre une copie.

Les copies seront notées, mais pas tout à fait comme d’habitude. Le plus important n’est pas d’avoir trouvé la réponse juste, mais d’avoir écrit le plus de détails possible sur votre recherche.

Il faut :

  • raconter avec précision tous vos essais, même s’ils n’ont pas donné la solution ;
  • reproduire les dessins que vous avez faits au brouillon ;
  • rédiger de façon à être compris par celui qui lit votre copie."

Une liste de sujets

Tous les sujets de problème ne se prêtent pas à l'activité de narration de recherche.

Le problème doit être ouvert et offrir plusieurs voies d'accès, de façon à inspirer les élèves quel que soit leur niveau et leur personnalité, et aussi à susciter des discussions. La réponse ne doit pas paraître évidente aux élèves, et la solution doit être réellement énigmatique: un problème est un défi à relever! Il ne faut pas hésiter à poser des problèmes difficiles, même (surtout?) à des élèves considérés comme "faibles"; les professeurs seront souvent surpris par l'ingéniosité de leurs élèves.

La rédaction du sujet est importante. Le sujet doit commencer par des questions faciles pour aider à entrer dans la recherche, et pour ne décourager personne. Il doit être rédigé de façon attractive et claire, en évitant les obstacles inutiles que dressent souvent les mises en scène pseudo concrètes.

Les problèmes de dénombrement se prêtent particulièrement bien aux narrations de recherche; il ne faut cependant pas s'y cantonner car bien des problèmes numériques et géométriques peuvent aussi susciter des recherches très actives et intéressantes.

Voici une liste de sujets qui ont fait leurs preuves: ils ont été testés dans des classes de collège et de lycée (voir la Brochure). Certains d'entre eux, notamment les problèmes de dénombrement, ont autant de succès en sixième qu'en terminale. Les lecteurs sont invités à enrichir cette liste.

D'autres sujets ont été testés, mais n'ont pas donné de résultats satisfaisants (voir la Brochure p. 72-79)

Quelques témoignages d'élèves et de professeurs

Vu dans des copies d'élèves de sixième du collège Pierre Mendès-France (Paris 20e)

«Tout d’abord quand on a commencé le premier polygone je trouvais que c’était facile mais je ne savais pas ce qui m’attendais

«Quand nous avons commencé je me suis demandé si ça allé être marran.»

«Au début on a eu du mal pour les 8, 9 et 10 côtés ensuite la tâche se faciliter de plus en plus vite. On s’est aidé, on s’est disputé, un coup on était d’accord, un coup on était pas d’accord

«Des fois on rigolé, des fois on s’énervé.»

«À chaque fois que une personne du groupe était en retard on l’attendait.»

«Roben est revenu à la table avec une idée en tête mais au moment ou il a voulu nous l’expliqué il ne s’en souvenait plus.»

«Alors pour combien de diagonales a un polygone de 100 côtés je suis devenu folle j’ai voulu faire un cercle avec 100 arcs ! même pas arrivés.»

«Est-ce que c'est possible une méthode qui marche au début et pas à la fin?»

«C’est à ce moment précis que nous nous apercevons que le nombre de diagonales que donne un angle augmente d’1 par faces.»

Des points de vue de professeurs et d'animateurs IREM

«Première déception : la moitié seulement des élèves se sont déclarés intéressés par cette activité. Beaucoup l’ont trouvée trop longue (ils avaient deux heures de suite pour la faire). Deuxième déception : le goût de chercher par soi-même m’a semblé très atrophié chez la plupart d’entre eux. […] À mon grand étonnement, le grand succès a été la narration. Même ceux qui avaient peu cherché, ou pas du tout, la semaine précédente, ont écrit avec plaisir. Certains se sont mis à compter les diagonales à ce moment-là, d’autres ont raconté les bons mots de leurs camarades, les disputes… Leur professeur de français, à qui j’ai montré les copies, a été plutôt heureusement surprise de leur prolixité et de la qualité de leur rédaction. Le succès mitigé de cette première expérience m’a décidée à donner, dès l’an prochain, ce genre de travail aux élèves, régulièrement.» [Marie-Rose Bérélowitch, collège Pierre Mendès-France, Paris 20e]

«Il nous (le groupe ZEP de l’IREM de Paris 7) a semblé que la « narration de recherche », avec sa technique de mise en oeuvre relativement normalisée, mais assez simple pour un professeur dans les conditions habituelles d’enseignement, pouvait jouer un tel rôle de déclenchement. La réalisation a dépassé nos espérances (en tout cas les miennes) ; quelle joie, à la lecture des premières narrations ! Quelle surprise devant l’expression, maladroite souvent et d’une orthographe pour le moins bizarre, des interrogations et des certitudes naissantes chez des élèves finalement bien quelconques ! Quelle admiration pour ces enfants, aux prises avec les pièges multiples du langage, et pourtant si profondément sûrs de leur découvertes !» [André Deledicq]

«Cette première expérience est pour moi une réussite, ne serait-ce que pour une seule raison : tous les élèves ont produit du raisonnement, et beaucoup de l’abstraction. Presque tous se sont investi avec entrain dans ce problème complexe et difficile. Ceci infirme une idée fort répandue, à savoir que dans les ZEP, « il faut faire du simple et du concret ». Autre indice très révélateur : les réactions d’enfants que nous pensions bien connaître nous ont surpris. Ils ont eu des idées auxquelles nous n’avions pas pensé, et la carte des bonnes idées ne se superpose pas avec celle des bons élèves. Presque tous étaient fiers d’avoir " fait de la recherche"». [Christine Proust, collège Pierre Mendès-France, Paris 20e]

«Comme le soulignent dans l’introduction les membres du groupe, les difficultés que rencontrent les élèves de ZEP sont des difficultés sociales voire culturelles, non des difficultés cognitives à proprement parler. Est-ce la raison pour laquelle ce qui est souvent mis en place relève plus de l’accompagnement social que des contenus disciplinaires ? Le choix du groupe s’est voulu, lui, centré sur les mathématiques elles-mêmes, partant du principe que ces élèves sont tout autant que les autres capables de faire des mathématiques, de faire de vraies mathématiques raisonnablement ambitieuses, qu’ils peuvent, tout autant que les autres élèves, ressentir le plaisir de chercher et la jubilation de finir par trouver, et qu’il faut impérativement leur donner l’occasion de ressentir ce plaisir si l’on veut qu’ils construisent un rapport positif aux mathématiques. Le dispositif des narrations de recherche associé à un travail en groupe est sans aucun doute tout à fait intéressant de ce point de vue. D’emblée, dans le contrat passé avec les élèves, c’est la recherche qui prime et l’on ne cherche pas à donner l’impression fausse qu’elle va nécessairement aboutir complètement pour chacun des élèves, qu’elle se fera en ligne droite, sans erreurs et sans renoncements. On donne de plus à cette recherche le temps de se développer en vraie grandeur, en s’évadant momentanément des contraintes imposées par la gestion du temps didactique, sans dépasser cependant deux à trois heures. Mais ce qui me semble tout aussi important et qui fait la force de ce dispositif, c’est que l’on ne s’arrête pas à la seule recherche. La recherche elle-même devient objet d’étude et, par le biais de la narration, un travail réflexif peut se mettre en place. Le fait que, dans le dispositif, une séance entière, baptisée de correction, soit consacrée à un travail avec l’enseignant sur les écrits produits, est de ce point de vue un maillon essentiel. Et s’il y a un « résultat » inattendu à retenir de cette expérience, c’est pour moi l’attention soutenue portée par les élèves à cette phase du travail. Tranchant si fortement avec le vécu des corrections ordinaires, cette attention nous dit bien que ce qui est en jeu là est bien plus qu’une simple correction.» [Michèle Artigue]

De nouvelles pistes: liaison mathématiques - français

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Bibliographie

Sur les narrations de recherche

Bonafé N. (juillet 1993) Les narrations de recherche, un outil pour apprendre à démontrer dans Repères n° 12, Topique éditions, p. 5 à 12.

F. Bonafé, A. Chevalier, M-C. Combes, A. Deville, L. Dray, J-P Robert et  M. Sauter (2002), Les Narrations de Recherche de l’école primaire au lycée, coéditions  de l’IREM de Montpellier et de l’APMEP n° 151

Chevalier A. (1989) “Narration de recherche” en classe de quatrième : influence sur les stratégies et la motivation des élèves in Actes de la 41ème rencontre CIAEM.

Lacage, Michel (2005) Problèmes ouverts et narrations de recherche en TS

Lacombe, Marie-Claire (septembre 1993) Un outil : la narration de recherche dans les Cahiers pédagogiques N° 316, "Français-mathématiques"

Sauter M. (janvier 1998), Narration de recherche, une nouvelle pratique pédagogique dans Repères n° 30, Topique éditions, p. 9 à 21.

Sur la démonstration et l'expérimentation en mathématiques

Arsac, Gilbert et Michel Mante, Les pratiques du problème ouvert , co-édité par l’IREM et le CRDP de l’académie de Lyon

Balacheff N. (1988). Une étude des processus de preuve en mathématiques chez des élèves de collège . Thèse d’État. Université de Grenoble 1.

Boero, Paolo (1999) Argumentation et démonstration: Une relation complexe, productive et inévitable en mathématique et dans l'enseignement des mathématiques

Borel, Émile Les exercices pratiques de mathématiques dans l’enseignement secondaire, Gazette des mathématiciens, 93 (2002), p. 47-64.

Thierry Dias (2007) Les mathématiques à l'école élémentaire, une science expérimentale, dans le dossier de Gérard Kuntz (2007) sur la Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques

Grenier D. & Payan C. (1998). Spécificités de la preuve et de la modélisation en mathématiques discrètes . Recherches en Didactiques des Mathématiques, vol. 18.1, 59-100.

Houdement, Catherine et Claudine Robert (2005) La spécificité de la démarche d’investigation en mathématique (vidéo)

Kuntz, Gérard (2007) Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques

Lakatos, Imre (1984), Preuves et Réfutations : essai sur la logique de la découverte mathématique. Traduction de l'édition anglaise de 1976, et annotations, de N. Balacheff et J.M. Laborde, Paris. Une note de lecture par J.L. Le Moigne

L'option sciences au lycée : une interview de Jean-Pierre Richeton (CultureMath, 2005)

Sur l'épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat en France (2007) question posée par Michèle Artigue et réponses qui abordent le thème de l'expérimentation en mathématiques.

Les situations-problèmes - échanger 81

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La lettre de la preuve est une lettre d'information publiée tous les deux mois, dédiée au thème de l'apprentissage et de l'enseignement de la preuve en mathématique. Cette lettre apporte essentiellement une information bibliographique, présentant les nouveautés, mais aussi des références anciennes signalées par les lecteurs et manquantes dans la partie bibliographique du site. Sont aussi annoncées les diverses manifestations, conférences, séminaires et ateliers, consacrés au thème de la preuve en mathématique ou accueillant des exposés sur ce thème.

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