Notes de l'article Newton et le problème de Pappus
Publié le 15/12/2009

 

 

Note_1

 

La référence aux Mathematical Papers édités par D.T. Whiteside sera donnée par le sigle MP, suivie de l'indication du volume et des pages.

 


 

 

Note_2

Cf. (Galuzzi, 1990).

 


 

 

Note_3

J'utilise la figure de la Géométrie de Descartes.

 


 

 

Note_4

Qui ouvre la voie à la théorie algébrique moderne des sections coniques. Cf. (Galuzzi et Rovelli, Chapitre 2).

 


 

 

 

Note_5

Cf. (Galuzzi et Rovelli, Section 2.4) et (Maronne, 2007, Chapitre 2).

 


 

 

 

Note_6

Cf. (Turnbull, 1959, 229-234). Le texte est reproduit aussi dans (MP, p. 156-159). Dans la note 6 (p. 156-57) Whiteside observe justement que la figure dans le texte de Turnbull n'est pas reproduite exactement. Une analyse remarquable de cette construction est contenue dans (Guicciardini, 2009, Chapitre 5). Nous aurons occasion de nous confronter plusieurs fois avec ce livre très important que la courtoisie de l'auteur nous a permis de lire avant impression.

 


 

 

 

Note_7

Cf. (MP, vol. 4, p. 282-321).

 


 

 

 

Note_8

Cf. (MP, vol. 6, p. 242-299)

 


 

 

 

Note_9

Cf. (Newton, 1687, p. 70-103).

 


 

 

 

Note_10

Cf. (MP, vol. 4, p. 230-269). Newton connaissait le texte de Descartes par l'intermédiaire de la seconde traduction latine. Cf. (Descartes, 1659-61, p. 33-34).

 


 

 

 

Note_11

Dans (MP, vol. 7) tous les matériaux qui devaient composer ce traité sont colligés.

 



 

 

Note_12

Cf. (MP, vol. 4, p. 274-283).

 


 

 

 

Note_13

Newton a toujours donné peu de relief au fait que la solution cartésienne est pour le cas général de 2n lignes et que le cas de quatre lignes est seulement un exemple dans La Géométrie.

 


 

 

Note_14

Cf. (MP, vol. 4, p. 276). Le terme `lieu solide' est utilisé comme synonyme de conique. Une conique dans les mathématiques grecques est donnée par un cône (une figure dans l'espace) coupé par un plan: donc un lieu solide.

 


 

 

 

 

Note_15

Dans le livre de (Guicciardini, 2009) on trouve une analyse raffinée de l'évolution des considérations méthodologiques qui après les années d'apprentissage viennent occuper un rôle de plus en plus remarquable dans la pensée de Newton.

 


 

 

 

 

Note_16

Cf. (Newton, 1687, p. 70-103). Sur ce texte on peut voir aussi (Di Sieno et Galuzzi, 1989) et (Guicciardini, 2009,  sections 5.3.2-5.4.6).

 


 

 

 

 

Note_17

Mais l'édition est bien postérieure : (Newton, 1707).

 


 

 

 

 

Note_18

Mais sur ce point il faut voir surtout (Guicciardini, 2009).

 


 

 

Note_19

Une analyse remarquable des résultats de Newton sur les coniques est donnée dans (Milne, 1927). Naturellement Milne ne pouvait disposer des textes édités par Whiteside, ce qui rend son article encore plus considérable.

Dans (Heath, 1896, p. 95-98) on a une synthèse claire des résultats d'Apollonius.

 


 

 

 

Note_20

Chasles observe (Cf. (Chasles, 1875, p. 72) que cette proposition peut être obtenue comme cas particulier du théorème sur le quadrilatère dans l'Essai pour les coniques de Pascal. Voir (Pascal 1963, p. 36). Dans les Mathematical Papers il y a plusieurs lieux où Whiteside suggère un lien avec l'œuvre de Pascal. Cf. ( MP, vol. 2, p. 190-91, et p. 191 note 5) et surtout (MP, vol. 4, p. 321, note 90). On peut voir aussi (Taton, 1978).

 


 

 

 

 

Note_21

Voir la Note 6. Voir (Milne, 1927, p. 109-110).

 


 

 

 

Note_22

Cf. (MP, vol.2, p. 156-159. J'ai considéré aussi la traduction française du Madame du Châtelet du texte correspondant dans les Principia : Cf. (Newton, 2005, p. 65-66). Voir aussi (MP, vol. 2, p. 158).

 


 

 

 

Note_23

Cf. (MP, vol. 4, p. 236).

 


 

 

 

 

Note_24

Cette démonstration nous semble plus simple que celle suggérée par Whiteside : Cf. (MP, vol. 4, p. 236, note 6).

 


 

 

 

 

Note_25

Cf. (MP, vol. 4, p. 274-283). Une analyse intéressante de ce texte est donné aussi dans (Sergio, 2006, Chapitre 7).

 


 

 

 

 

Note_26

Comme Whiteside l'observe dans la Note 12 à la page 278.

 


 

 

 

 

Note_27

Naturellement, si MN et PQ sont parallèles, nous avons le cas de la parabole. Voir (MP, vol. 4, note 17, p. 280) où Whiteside discute ce cas.

 


 

 

 

 

Note_28

Cf. (MP, vol. 4, p. 280).

 


 

 

 

 

Note_29

Voir la Note 1.

 


 

 

 

 

Note_30

Une analyse de ce texte se trouve aussi dans (Guicciardini, 2009, Chapitre 5). Une analyse des propositions correspondantes contenues dans les Principia est dans (Milne, 1927, p. 102-114).

 


 

 

 

 

Note_31

Cf. (MP, vol. 4, p. 282-284). L'énoncé est reproduit avec des différences minimales dans (Newton, 1687, p. 70). J'ai tenu compte pour ma traduction de celle de Madame du Châtelet : (Newton, 2005, p. 60).

 


 

 

 

 

Note_32

Whiteside, dans (MP, vol. 4, p. 286-287, note 6) observe à la fin de la démonstration du deuxième cas que l'égalité des rapports «... set in modern cross-ratio form yields the homographic definition of the conic (D) through A, B, C and P by C(PDdA) = (PRr∞) = (PTt∞) =  B(PDdA) ». Toutefois il ne considère pas le fait que A, B, C, P, d ne sont pas des points arbitraires, comme dans la Proposition 5.

 


 

 

 

 

Note_33

Il faut voir la Figure 11 pour comprendre ce que Newton entend par `inscrit'.

 


 

 

 

 

Note_34

Cf. (MP, vol. 4, p. 290-92) et (Newton, 1687, p. 75-76), (Newton, 2005, p. 64-65).

 


 

 

 

 

Note_35

Cf. (MP, vol. 4, p. 288-290). Voir aussi (MP, vol. 6, p. 250-252) et (Newton, 1687, p. 74-75).

 


 

 

 

 

Note_36

 

note36.png

 

 

 

 


 

 

 

 

Note_37

Cf.(MP, vol. 4, p. 294). Voir aussi (MP, vol. 6, p. 256-261) et (Newton, 1687, p. 79-81).

 


 

 

Note_38

La proportion PR : PT = Pr : Pt  peut se changer en  PR : Pr = PT : Pt, qui signifie, en termes de rapport anharmonique, que :

                                                       (PRr∞)=(PTt∞)

Les faisceaux des lignes centrés en B et C qui projettent le point variable d sont projectifs.

 


 

 

Note_39

Cf. (MP, vol. 4, p. 298-303). Voir aussi (MP, vol. 6, p. 254-57) et (Newton, 1687, p. 77-79).

 


 

 

 

 

 

Note_40

Cf. (MP, vol. 4, p. 299, note 32).

 


 

 

Note_41

Dans le manuscrit Newton utilise la même figure.

 


 

 

Note_42

On peut voir l'explication très claire de Whiteside : Cf. (MP, vol. 4, p. 298, note 30).

 


 

 

Note_43

Par un procédé semblable à celui employé dans la Section 3.

 


 

 

Note_44

Une démonstration algébrique de la construction organique est donnée dans (MP, vol. 5, p. 304-306). Une première tentative infructueuse est dans (MP, vol. 2, p. 152-55). Cf. (Guicciardini, 2009, Chapitre 5). On peut voir aussi (Whiteside, 1961).

 


 

 

Note_45

Nous avons cette information par le célèbre memorandum de Gregory (ULE. Gregory C 42). Voir (MP, vol. 7, p. 196-197), où Whiteside en donne aussi une traduction anglaise. On peut voir aussi (Guicciardini, 1999, p. 179-184) et (Di Sieno et Galuzzi, 1989).

 


 

 

Note_46

Sur ce point on peut voir l'Introduction de Whiteside à (MP, vol. 6).

 


 

 

Note_47

Mais le Scholium ajouté au Lemme XVIII (correspondant à la Proposition 2 de la Solutio) manifeste, implicitement, puisque Descartes n'est pas nommé, l'intolérance de Newton envers l'exemple du cercle de Descartes. On peut voir aussi (Di Sieno et Galuzzi 1989).

 


 

 

Note_48

Voir par exemple (MP, vol. 4, p. 294, Prop. 6) et (Newton, 1687, p. 79, Prop. XXII).

 


 

 

Note_49

C'est à dire que ces longueurs sont données par une relation bilinéaire. Voir la note 51.

 


 

 

Note_50

Cf. (MP, vol. 4, p. 308-313).

 


 

 

Note_51

Soit  PR = x, PT = y. On a donc à une relation de la forme  αxy + βx + γy + δ=0, où α,  β, γ, δ sont des constantes.

 


 

 

Note_52

Donc on doit avoir δ=0.

 


 

 

Note_53

On doit avoir α = 0.

 


 

 

 

Note_54

Cf. (Newton, 1707, p. 215) et Cf. (MP, vol. 5, p. 314). En fait dans sa solution du Problema astronomicun (Cf. (Newton, 1707, p. 182-189) et (MP, vol. 5, p. 266-279) on trouve l'utilisation de l'équation d'une section conique de la forme aa⊥bx⊥cxx = yy (où⊥ est utilisé pour ±) de façon semblable. Mais ici les outils de l'algèbre sont assimilables à l'idée de l'analyse des Anciens et n'ont pas un relief théorique autonome. Sur les différentes solutions du Problema astronomicum on peur voir l'intéressante analyse donnée dans (Maronne, 2007, Partie III).

 


 

 

Note_55

Ibid.

 


 

 

Note_56

On peut en trouver une exposition détaillée et profonde dans (Guicciardini, 2009).

 


 

 

Note_57

Ou peut être par la reconstruction dans l'Apollonius redivivus de Anderson (Paris, 1612).

 


 

 

 

Note_58

En termes de coordonnées : I = (i), K = (k), L = (l), M = (m) et, en posant P = (x) , on a

 

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