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P1 *** Solution
Publié le 14/01/2017
Résumé

P1 *** Solution

Un jeu est constitué de pièces en forme de tétraèdres réguliers d’arêtes de longueur 1.
Toutes ces pièces ont été peintes à l’aide d’une palette de $n$ couleurs. Chaque face d’un tétraèdre est peinte d’une seule couleur et on précise que les quatre faces d’un tétraèdre ne sont pas nécessairement de couleurs distinctes.

Déterminer le nombre maximum de pièces de ce jeu sachant que le jeu ne contient pas deux pièces identiques.


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Soit $n$ le nombre de couleurs.

On commence avec une face : il y a $n$ façons de la colorier.

Puis avec deux faces que l'on veut colorier avec les $n$ couleurs. On note $f(n)$ le nombre de possibilités que l'on obtient.

On a $f(n) = f(n-1)+n $ et $f(1)=1$. 

D'après la relation précédente on a donc:

$$ \sum_{k=2}^{k=n} (f(k)-f(k-1))=\sum_{k=2}^{k=n} k = \frac{n(n+1)}{2}-1$$

Mais on a aussi:

$$\sum_{k=2}^{k=n} (f(k)-f(k-1))=f(n) - f(1)$$

On en déduit l'expression $f(n)= \frac{n(n+1)}{2}$.

On passe à trois faces d'un tétraèdre. On note $g(n)$ le nombre de possibilités de coloriage.

Cette fois-ci:

$$g(n)= g(n-1) + f(n-1)+n= g(n-1)+ \frac{(n-1)n}{2}+n = g(n-1) +\frac{n(n+1)}{2}.$$

On a alors:

$$\sum_{k=2}^{k=n} (g(k)-g(k-1)) = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{k=n}(k^2+k)=\frac{1}{2}\left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1+ \frac{n(n+1)}{2}-1 \right).$$

Mais cette somme vaut d'autre aprt $g(n)-g(1)=g(n)-1$.

On en déduit l'expression

$$g(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

Pour les tétraèdres on note $h(n)$ le nombre de possibilités. On a:

$$h(n) = n + f(n-1) + g(n-1) + h(n-1).$$

En effet si l'on regarde le nombre de faces portant la première couleur:

4 fois $\rightarrow$ 1 seul tétraèdre

3 fois $\rightarrow$ $n-1$ tétraèdres

2 fois $\rightarrow$ $f(n-1)$ tétraèdres

1 fois $\rightarrow$ $g(n-1)$ tétraèdres

0 fois $\rightarrow$ $h(n-1)$ tétraèdres.

On obtient alors

$$h(n)-h(n-1) = \frac{n^3+3n^2+2n}{6}$$

Mais cette somme vaut $h(n)-h(1)$ et $h(1) = 1$;

On a donc

$$h(n)-1=\frac{1}{6} \sum_{k=2}^{k=n}(k^3+ 3 k^2 +2k)= \frac{1}{24} n ( n+1) (n+2) (n+3) = \frac{(n+3)!}{4!(n-1)!}=C^4_{n+3}$$

 

 
 
 
 
 
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