P14 *** Solution
Publié le 23/04/2017
Résumé

P14 *** Solution

On considère le nombre $x$ qui s'écrit $x=0,2499 \cdots 975$ avec 2007 chiffres $9$ consécutifs. Trouver les 2011 premières décimales de $\sqrt x$.


On a $x=\frac{1}{4}-\frac{1}{4\times 10^{2009}}<\frac{1}{4}$ et on peut donc écrire $\sqrt{x} = \frac{1}{2}-y$ où $0<y<\frac{1}{2}$.

On en déduit que $x=\left( \frac{1}{2}-y\right)^2$ ou encore

$$y^2-y+\frac{1}{4\times 10^{2009}}=0$$

Comme $y<\frac{1}{2}$ l'unique solution est $y=\frac{1-\sqrt{1-\frac{1}{10^{2009}}}}{2}$

On a donc $\sqrt{x}=\frac{1}{2}-y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4\times 10^{2009}}-y^2= 0,499\cdots 9975-y^2$ où l'on a 2008 chiffres $9$ consécutifs.

Il reste donc à estimer $y^2$. On pose $\alpha =\frac{1}{10^{2009}}$.

On a alors $y^2=\left(\frac{1-\sqrt{1-\alpha}}{2}\right)^2<\frac{\alpha}{100}=\frac{1}{10^{2011}}$. Il est en fait facile de démontrer que cette égalité est réalisée dès que $\alpha < \frac{25}{169}$.

On en déduit donc que les 2011 premières décimales de $\sqrt{x}$ sont $4, 9, 9, \cdots , 9,9,7,4$ où l'on a écrit 2008 chiffres $9$ consécutifs.


Le lecteur est bien sûr invité à proposer une solution plus courte et élégante de ce résultat sur CultureMath@dma.ens.fr ou Twitter ou FaceBook !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
Dernières publications