P15 ** Solution
Publié le 01/05/2017
Résumé

P15 ** Solution

Démontrer que pour $k$ et $n$ entiers non nuls on a

$$k\times \binom{n}{k}=n\times \binom{n-1}{k-1}$$

Il y a beaucoup de façons de le faire et on privilégiera les méthodes de combinatoire énumérative (donc sans la formule donnant $\binom{n}{k}$ en fonction de $k$ et $n$...)


Voici une solution "parlante"... il suffit de se souvenir que $\binom{n}{k}$ désigne le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. On parle aussi de "combinaisons" de $k$ éléments pris parmi $n$ et on note parfois leur nombre  $C^k_n$.

Une sélection est une équipe composée de $k$ joueurs dont un capitaine.

Deux sélections sont identiques si elles ont les mêmes joueurs (la même équipe) et le même capitaine.

Pour répondre à la question on va dénombrer de deux manières différentes le nombre de sélections que l’on peut former à partir de $n$ candidats.

• Méthode 1 : On calcule le nombre d’équipes de $k$ joueurs que l’on peut former à partir de $n$ candidats : c'est $\binom{n}{k}$.

 Pour chacune de ces équipes on a $k$ choix pour le capitaine, ce qui donne un total de $k \times \binom{n}{k}$ sélections possibles.

• Méthode 2 : On choisit d’abord le capitaine parmi tous les candidats, $n$ choix. 

Le capitaine étant choisi il reste $k − 1$ joueurs à sélectionner parmi $n − 1$ candidats, i.e. $\binom{n-1}{k-1}$ possibilités. En conclusion cela donne $n \times \binom{n-1}{k-1}$ sélections et l'égalité est établie.


Il y a bien sûr de mutltiples façons d'arriver au résultat et vous pouvez proposer vos propres solutions sur CultureMath@dma.ens.fr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
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