P2 ** Solution
Publié le 22/01/2017
Résumé

P2 ** Solution

Déterminer tous les nombres entiers naturels $n$ tels qu’il existe $n$ nombres entiers naturels $x_1, x_2, \dots , x_n$ distincts ou non, vérifiant:

$$1= \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots +\frac{1}{x_n^2}$$


Une petite remarque pour commencer: si $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2} = 1$ alors les $n+3$ entiers $$\{ x_1, \dots, x_n, 2x_n, 2x_n, 2x_n\}$$ premettent encore de résoudre le problème.

En effet :

$$\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}+\frac{1}{(2x_n)^2}+\frac{1}{(2x_n)^2}+\frac{1}{(2x_n)^2} = \sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{x_i^2}+4\times \frac{1}{4x_n^2}=1.$$

Maintenant pour $n=1$ on a une solution évidente : $x_1=1$.

Donc pour $n= 4$ le problème est aussi résolu et il y a une solution calculable explicitement par le raisonnement au-dessus.

Pour la suite on peut toujours supposer que $x_1\geq x_2 \geq \cdots \geq x_n$.

Manque de chance, pour $n=2$ il n'y a pas de solution.

En effet $1=\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}\leq \frac{2}{x_2^2}$ ce qui donne $x_2^2\leq 2$ et donc $x_2=1$ (on cherche des entiers), ce qui rend impossible de trouver une valeur pour $x_1$.

De même pour $n=5$ on obtiendrait par le même raisonnement $x_5^2\leq 5$, soit $x_5= 1$ ou $x_5=2$.

Si $x_5=1$ c'est fini comme dans le cas précédent.

Si $x_5=2$ alors on obtient $\frac{3}{4}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}+\frac{1}{x_4^2}\leq\frac{4}{x_4^2}$ d'où $x_4=1$ et c'est fini ou $x_4=2$ et on poursuit.

Si $x_4=2$ on doit avoir $\frac{1}{2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}$, ce qui donne $\frac{1}{2}\leq \frac{3}{x_3^2}$. Dans ce cas $x_3\leq 6$. Il vient $x_3=1$ et c'est fini, ou $x_3=2$.

Dans le cas $x_3=2$ on doit avoir $\frac{1}{4}= \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$ mais $x_1\geq x_2\geq x_3$ ce qui rend ca dernière égalité impossible.

Finalement les trois premières valeurs de $n$ conséccutives qui marchent sont $n=6$, $n=7$ et $n=8$.

Pour $n=6$ : $(2,2,2,3,3,6)$;

Pour $n=7$ : $(2,2,2,4,4,4,4)$;

Pour $n=8$ : $(2,2,2,3,3,7,14,21)$.

Finalement pour $n\geq 6$ il y a donc toujours une solution !

 

 

 

 
 
 
 
 
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