P4 *** Solution
Publié le 05/02/2017
Résumé

P4 *** Solution

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.

On pose $$S_{n,p}=1^p+2^p+\dots + n^p.$$

Déterminer les entiers naturels non nuls $p$ tels que, quel que soit l’entier naturel non nul $n$, $S_{n,p}$ soit le carré d'un entier naturel.


Soit $\mathcal{ Q} (p)$ la proposition $\forall n\in \mathbb{N}^*$ il existe $ m \in \mathbb{N}$, $S_{n,p}=m^2$.

On montre que $\mathcal{ Q} (p)$ est vraie si et seulement si $p=3$.

  • $\mathcal{ Q} (p) \Leftarrow p=3$

On a $1^3+2^3+\cdots + n^3=(1+2+\cdots +n)^2$

  • $\mathcal{ Q} (p) \Rightarrow p=3$

Comme on a $\mathcal{ Q} (p)$ on $S_{2,p}=m^2$, c'est-à-dire $1+2^p=m^2$. Dans ce cas $2^p=(m-1)(m+1)$ et $m-1$ et $m+1$ divisent $2^p$.

Si $m-1=1$, on a $m=2$ et $m+1=3$ ce qui est contraire à l'observation au-dessus.

Si $m+1=1$ alor $m=0$ ce qui est encore impossible.

On a donc $m-1=2^\alpha$ et $m+1=2^\beta$ avec $a$ et $b$ deux entiers non nuls.

Mais alors $2^\beta-2^\alpha=2$ ou $2^{\beta -1}=2^{\alpha  -1}+1$, ce qui donne $\alpha=1$ et $\beta =2$.

On en déduit que $m=3$ et donc $p=3$.

 
 
 
 
 
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