P5 *** Solution
Publié le 12/02/2017
Résumé

P5 *** Solution

On appelle « boîte de poids », tout ensemble de poids comprenant :

    $x_1$ poids de $d_1$ grammes chacun
    $x_2$ poids de $d_2$ grammes chacun
    etc.
    $x_k$ poids de $d_k$ grammes chacun

les  $x_i$ et les $d_i$ étant des entiers naturels non nuls et les $d_i$ formant une suite croissante $1\leq d_1 < d_2 < \dots < d_k$.

On pos $n=x_1d_1 + \cdots x_kd_k$ et on dit que $n$ est la masse totale de la boîte de poids.

On dit que la boite est parfaite si elle permet d'obtenir toutes les masses de $0$ à $n$ grammes de façon unique:

$\forall 1\leq m \leq n$ entier, il existe des entiers uniques $y_1, \dots y_k$ tels que pour tout indice $1\leq i\leq k$, on ait $0\leq y_i\leq x_i$ et $m=y_1d_1 + \cdots y_kd_k$.

Déterminer toutes les boîtes de poids parfaites de masse totale 2017 grammes.


D'abord une remarque: on peut associer à chaque k-uplet $(y_1, \dots , y_k)$, où les $y_i$ sont des eniers entre $0$ et $x_i$, la masse correpondante $y_1d_1 +\cdots + y_kd_k$.

On notera $N_i=[0;x_i]\cap \mathbb{N}$.

Si la boîte est parfaite, on a donc une bijection $(y_1, \dots , y_k) \longrightarrow y_1d_1 +\cdots + y_kd_k$ de $N_1 \times \cdots \times N_k$ dans $[0;n]\cap \mathbb{N}$.

En comparant le nombre déléments des ensembles mis en bijection on obtient donc:

$$(1+x_1) \cdots (1+x_k)= n+1.$$

 

Dans notre cas on a $n=2017$, donc $n+1=2018=2\times 1009$ Ouf, ça tombe bien:)

Boîte 1 : $n+1=2018$ ce qui donne 2017 poids de 1 gramme

Boîte 2 : $n+1=2\times 1009$ ce qui donne 1 poid de 1 gramme et 1008 poids de 2 grammes

Boîte 3 : $n+1=1009\times 2$ ce qui donne 1008 poids de 1 gramme et 1 poid de 1008 grammes.

Dans le cas général il reste à comprendre quelles sont les valeurs prises par les $d_i$ lorsque l'on a $(1+x_1) \cdots (1+x_k)= n+1$.

Pour une boîte parfaite on doit pouvoir peser 1 gramme. Donc $d_1=1$.

Puis on doit pouvoir peser tous les poids jusqu'à $x_1 d_1$ et  $x_2=x_1d_1+1$ etc.

On montre que $d_{i+1}=(x_1+1)\cdots (x_i+1)$ est la seule solution qui donne une boîte parfaite.

 
 
 
 
 
Dernières publications