P6 * Solution
Publié le 18/02/2017

Trouver toutes les fonctions $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui vérifient

$f(x+\displaystyle \frac{3}{2}) \leq 2x \leq f(x)+3$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.


Puisque les inégalités sont vraies pour tout $x$ la seconde inégalité où l'on remplace $x$ par $x+\displaystyle\frac{3}{2}$ donne:

$$ 2x+3\leq f(x+\displaystyle\frac{3}{2})+3.$$

On a donc pour tout $x$,

$$f(x+\displaystyle \frac{3}{2}) \leq 2x\leq f(x+\displaystyle \frac{3}{2}).$$

On en déduit que $f(x+\displaystyle \frac{3}{2})=2x$ et donc:

$$f(x)=2x-3.$$

 

 
 
 
 
 
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