P8 **** Solution
Publié le 05/03/2017
Résumé

P8 ****Solution

Trouver tous les polynômes $P$ tels que

$$\sin(P(X))= P(\sin(X)) \; \forall X\in\mathbb{R}.$$


On a $\sin(P(X+2\pi))=P(\sin(X+2\pi))=P(\sin(X))=\sin(P(X))$.

Pour $X\in \mathbb R$ donné il existe $k\in\mathbb Z$ tel que

$$P(X+2\pi)-P(X)= 2k\pi \mbox{ ou } P(X+2\pi)+P(X)= (2k+1)\pi.$$

Pour $k\in\mathbb Z$ on note $\displaystyle A_k=\{ x\in \mathbb{R} \mbox{ tels que } P(X+2\pi)-P(X)= 2k\pi\}$ et $\displaystyle B_k=\{ x\in \mathbb{R} \mbox{ tels que } P(X+2\pi)+P(X)= (2k+1)\pi\}$.

On a donc $\mathbb{R}=\bigcup_{k\in\mathbb Z} A_k \cup \bigcup _{k\in\mathbb Z} B_k.$

Or $\mathbb R$ est indénombrable et donc un des ensembles $A_k$ ou $B_k$ a une infinité d'éléments.

Mais alors celà implique que  $P(X+2\pi)\pm P(X)$ est constant.

  • Si le degré de $P$ est au moins 2, alors on peut trouver un intervalle de longueur $2\pi$ où la pente est suffisemment grande pour $P(X+2\pi)-P(X)=C$ soit mis en défaut.

Pour $P(X+2\pi)+P(X)=C$ une simple limite à l'infini permet d'arriver à une contradiction.

  • Si $P(X)=aX+b$ alors l'énoncé s'écrit $a\sin(X)+b=\sin(aX+b)$.  On prend alors $X=0$ qui donne $b=\sin b$ d'où $b=0$. Puis $X=\frac{\pi}{2}$ et $X=\pi$  ce qui donne $a=\sin(a\frac{\pi}{2})$ et $0=\sin(a\pi)$. On en déduit que $a=0$ ou $a=\pm 1$.

Conclusion : $P(X)=\pm X$ ou $P(X)=0$.


Il y a bien sûr beaucoup de façons de démontrer ce résultat et vous pouvez poster vos solutions à CultureMath@dma.ens.fr ou sur Twitter @CultureMath ou encore laisser un commentaire sur Facebook. Et puis même sur les réseaux sociaux vous pouvez écrire en LaTeX :)

 
 
 
 
 
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