Problèmes de partage : des cadastres à l'arithmétique
Résumé

Les plus anciens textes mathématiques connus sont des problèmes d’arpenteurs. Il s’agit de calculer des surfaces de champs, et de partager des parcelles en parts égales. Certains de ces problèmes conduisent à des problèmes arithmétiques fameux : trouver des nombres entiers vérifiant des relations telles que $a^2+ b^2= c^2$ (trouver des triplets pythagoriciens) ou $a^2 + b^2=2c^2$ (trouver des triplets babyloniens). Cet article montre le chemin qui a conduit les anciens arpenteurs de Mésopotamie du calcul des surfaces vers ces problèmes arithmétiques. Il fournit des idées d’activités en classe : Comment partager un trapèze en deux trapèzes de même aire? Comment trouver des triplets babyloniens ou pythagoriciens en base 60? Comment utiliser une figure aussi simple que deux carrés concentriques pour démontrer des résultats qui, autrement, demanderaient des calculs compliqués?

Christine Proust, Laboratoire SPHERE (CNRS & Université Paris Diderot)  -  e-mail 
Projet européen "Mathematical Sciences in Ancient World" (SAW)


Article déposé le 29/01/2012. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. 

Remerciements : cet article a bénéficié de la lecture vigilante d’Alice Morales et de Jean-Paul Guichard. Qu’ils soient chaleureusement remerciés pour les améliorations du texte initial qu’ils ont provoquées.

 


SOMMAIRE 


Introduction

1. Des exemples du 3e millénaire

2. Des exemples d’époque paléo-babylonienne

3. Equipartition du trapèze

4. Equipartition du triangle

5. Triplets du trapèze et triplets du triangle

Conclusion

Bibliographie

Encart 1 : La terminologie et la représentation des éléments géométriques

Encart 2 : Equipartition du triangle


Partager un champ en plusieurs parcelles d’aires égales est un des plus anciens problèmes mathématiques connus en Mésopotamie. Certains partages particuliers conduisent à de très jolis problèmes d’arithmétique qui semblent avoir excité la curiosité des mathématiciens mésopotamiens. Cet article se propose de montrer le lien entre des problèmes d’arpenteur et des problèmes d’arithmétique au travers de quelques exemples de tablettes mathématiques d’époque paléo-babylonienne (début du deuxième millénaire avant notre ère).

Les descriptifs des tablettes citées et commentées dans cet article sont accessibles dans la base de données en ligne du Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI ). Cliquer sur le numéro d’inventaire de la tablette pour accéder à sa fiche CDLI.

Les informations utiles pour la compréhension des mathématiques cunéiformes se trouvent dans les différents articles déjà mis en ligne sur le site CultureMATH. Pour des explications sur les systèmes de mesure et l’écriture des nombres, voir « Le calcul sexagésimal en Mésopotamie ». Pour tout ce qui concerne la chronologie et la géographie, voir « Chronologie des mathématiques en Mésopotamie ».


Toutes les dates citées sont entendues « avant notre ère ». 

1- Des exemples du 3e millénaire


Une tablette d'époque sargonique

La plus ancienne tablette portant le témoignage d’un problème de partage de champ est aussi une des plus anciennes tablettes mathématiques connues. Il s’agit d’une tablette d’époque sargonique (2340-2200) provenant de la cité de Nippur, en Mésopotamie centrale (voir carte ici). La tablette est actuellement conservée au Musée de Bagdad sous le numéro d’inventaire IM 58045 [1]. C’est une petite tablette ronde contenant une figure de trapèze sur la face, et non inscrite sur le revers.


Figure 1

Partage du trapèze d’époque sargonique (2340-2200), provenant de Nippur. Conservée au musée de Bagdad sous le numéro IM 58045


Ecriture des nombres en notation positionnelle sexagésimal

= 1                    
= 10

Exemple : 
  
   =  2.30  c'est à dire 2 × 60 + 30, ou 2 + 30/60 = etc.

Pour en savoir davantage lire sur CultureMATH
Calcul sexagésimal


Les mesures des côtés sont inscrites à l’extérieur de la figure. Le système d’unités de longueurs utilisé est le suivant (1 coudée ≈ 50 cm ; 1 canne ≈ 3 m) :

1 canne     ← × 6   1 coudée
 


Les mesures de longueur inscrites sont les suivantes : 

Grande base : 2 cannes [5?] coudées 

Petite base : 1 canne 1 coudée

Côtés : 2 coudées 

La partie supérieure de la tablette étant détériorée, la mesure de la grande base est incertaine. Cependant, cette figure évoque très fortement la configuration d’un trapèze partagé en deux bandes de même aire qu’on trouve dans de nombreux exercices de géométrie d’époque paléo-babylonienne (voir §2 et §3 ci-dessous). Par analogie, on peut penser que le chiffre abîmé était à l’origine un 5. Les bases mesureraient alors 17 coudées et 7 coudées (puisque 1 canne = 6 coudées comme l’indique le diagramme ci-dessus). Dans ce cas, la mesure de la transversale, qui n’est pas notée sur cette tablette, serait 13 coudées (pour la justification de cette valeur, voir §3). Nous aurions ainsi sous les yeux le plus ancien exemple de partage du trapèze en deux bandes de même aire, problème promis à un grand avenir dans la tradition mathématique mésopotamienne comme nous le verrons dans ce qui suit. Mais gardons à l’esprit que, pour séduisante qu’elle soit, cette interprétation repose sur une reconstitution de la mesure de la grande base, plausible mais non certaine.


Un cadastre d'époque néo-sumérienne

L’époque néo-sumérienne (troisième dynastie d’Ur, dite aussi « Ur III », 2100-2000) nous a livré une importante collection de cadastres, c’est-à-dire de représentations de parcelles de terrains accompagnées des mesures des côtés et des surfaces (voir deux cadastres provenant d’Umma, conservés au Louvre sous les numéros d’inventaire AO 6060, et AO 5677 ; ce dernier est un très bel exemplaire exposé dans les salles consacrées à l’Orient Ancien au Musée du Louvre). Les cadastres étaient réalisés par des arpenteurs, personnages importants appartenant à l’élite sociale de l’époque. Ces plans de terrains étaient probablement utilisés dans certaines procédures juridiques et, à ce titre, ils sont des documents très intéressants pour l’histoire sociale et économique de la société sumérienne. Les cadastres sont également intéressants pour l’histoire des mathématiques, car d’une part ils éclairent le lien entre les mathématiques et les activités sociales, d’autre part ils nous livrent des informations précises sur les méthodes de calcul des surfaces [2]. Un cadastre provenant d’Umma (YBC 3879) a été étudié récemment par Jöran Friberg, un des spécialistes des mathématiques cunéiformes actuels, dans un article qui montre l’importance des connaissances mathématiques dans le milieu des arpenteurs dès l’époque néo-sumérienne [3]. Ce cadastre concerne un champ de forme irrégulière, qui a été partagé en parcelles d’aires égales. Bien que le texte ne dise rien sur la méthode de partage, Friberg a montré que la procédure nécessitait la résolution d’un problème du second degré. Ce résultat remet en question l’idée selon laquelle les problèmes du second degré ne sont apparus dans les mathématiques cunéiformes que vers 1800 [4].


2- Des exemples d’époque paléo-babylonienne

De nombreux problèmes datant de l’époque paléo-babylonienne (2000-1600), c’est-à-dire de la période la plus prolifique en textes mathématiques dans l’histoire du Proche Orient cunéiforme (voir Chronologie), sont des problèmes de partage de champs en plusieurs parties de même aire, ou de même hauteur, ou de même forme, etc. Parmi ces problèmes, les partages du trapèze en bandes parallèles de même aire (que j’appellerai dans ce qui suit « problèmes d’équipartition du trapèze ») sont particulièrement intéressants car ce type de partage conduit à des problèmes de pure arithmétique, et présente des connexions inattendues avec la recherche des triplets pythagoriciens. Citons quelques exemples de problèmes d’équipartition du trapèze.


Un héritage à partager entre deux familles de neuf frères (VAT 7621)

La tablette du Vorderasiatisches Museum de Berlin portant le numéro VAT 7621 est une tablette de provenance inconnue (probablement de Mésopotamie du sud) [5]. Elle contient deux énoncés de problème, écrits en akkadien, le deuxième étant en partie détruit. Le premier problème, illustré par une figure, est un partage de trapèze en deux bandes de même aire, chaque bande devant ensuite être partagée en neuf parts (voir Encart 1 pour la terminologie et la représentation des éléments géométriques).



Figure 2 


Partage d’un trapèze entre 18 personnes - VAT 7621, copie de Neugebauer


Voici la traduction par Thureau-Dangin du problème 1 :

Ils sont deux. Chacun a 9 enfants. Partage en neuf le bur (la bande) supérieure. En outre partage en neuf le bur (la bande) inférieure. [En outre] montre à (chaque) soldat son piquet.

La formulation indique clairement qu’il s’agit d’un problème d’héritage, ce qui devait du reste être le cas dans la plupart des problèmes d’équipartition. Les piquets étaient sans doute destinés à marquer les limites des parcelles sur le terrain. On peut supposer que l’expression « montrer les piquets » signifiait « déterminer les limites des parcelles ». La procédure de résolution n’est pas donnée dans ce texte, mais les longueurs de la grande base, la petite base et la transversale sont inscrites sur la figure : ce sont 1.45, 1.15, 15. Nous reviendrons plus loin sur ces valeurs. Notons simplement pour l’instant que, si on divise chacun de ces nombres par 15, on obtient, 7, 5, et 1, valeurs que l’on va retrouver dans d’autres problèmes de ce type.

Le problème d’équipartition du trapèze revient à déterminer un triplet de nombres entiers (abc) représentant la grande base a, la transversale b, et la petite base c qui réalise le partage du trapèze en deux bandes d’aires égales. Dans la suite, nous appelons cette solution (abc) « triplet du trapèze » (dans certaines publications, ce triplet est appelé « babylonien »). Se reporter à la partie 3 de cet article pour une étude générale des triplets du trapèze.

Dans les exemples précédents, les triplets du trapèze rencontrés sont les suivants : 
Pour la tablette présargonique de Nippur conservée à Bagdad (IM 58045), les mesures des côtés et de la transversale sont (hypothétiquement) 17 coudées, 13 coudées et 7 coudées, ce qui donne le triplet (17, 13, 7).

On vient de voir que pour la tablette conservée à Berlin (VAT 7621), la grande base est 1.45, la transversale 1.15, et la petite base 15, ce qui fournit le triplet (1.45, 1.15, 15). Une fois réduit [6] (chaque élément est divisé par 15), on obtient le triplet (7, 5, 1).

Dans les exemples qui précèdent, la méthode de résolution du problème de partage du trapèze en deux bandes d’aires égales n’est pas expliquée. Les bases du trapèze étant données, comment donc était calculée la longueur de la transversale qui réalise l’équipartition ? Les textes suivants donnent quelques indications.


Un raisonnement juste sur une figure fausse (YBC 4675)

La tablette conservée à l’Université Yale (Yale Babylonian Collection) sous le numéro YBC 4675 est, comme la précédente, une tablette de provenance inconnue (probablement de Mésopotamie du sud) [7]. La tablette contient un seul problème, avec sa résolution détaillée et une figure qui ressemble beaucoup à celle de la tablette précédente.


Figure 3 


Equipartition d’un trapèze qui n’existe pas - YBC 4675, copie de Neugebauer.


Le problème porte sur le partage d’un quadrilatère en deux bandes d’aires égales. Voici sa traduction et la translittération de la figure (d’après Neugebauer et Sachs 1945, p. 44-48) :

Soit une surface, la première longueur est 5.10, la deuxième longueur est 4.50,
la largeur supérieure est 17, la largeur inférieure est 7, sa surface est 2 bùr.
J’ai divisé la surface en deux, c’est 1 bùr chaque partie. La transversale du milieu, c’est combien ?


Figure 4



Tablette YBC 4675, Neugebauer et Sachs 1945, p. 44

L’aspect du dessin et la terminologie du texte laissent penser que cette figure représente un trapèze. Dès la lecture de l’énoncé, on constate plusieurs anomalies. D’abord, le problème (trouver la transversale) ne nécessite pas la donnée des longueurs des côtés, comme on le verra plus loin. Plus grave, les données des longueurs des bases («  largeurs supérieure et inférieure ») et des côtés (« première et deuxième longueurs ») sont incompatibles : la figure obtenue est impossible comme le montre le schéma ci-dessous (voir Figure 5) où on constate que l’inégalité triangulaire n’est pas respectée. Noter que le texte cunéiforme n’indique pas les positions sexagésimales relatives des nombres représentant les différentes longueurs. Cependant, il donne des indices permettant de positionner les nombres les un par rapport aux autres. Ces positions sont les suivantes :

 
5       10
4       50
         17


Figure 5


Tablette YBC 4675, figure impossible

Mais cela ne semble pas avoir gêné le scribe, qui n’ignorait probablement pas que la longueur des côtés n’est pas utile pour résoudre le problème de partage. Ce fait montre le caractère très abstrait de certains problèmes de géométrie inventés par les scribes de Mésopotamie, sans doute adeptes du fameux adage « la géométrie est l’art de raisonner juste sur des figures fausses ». De fait, la procédure détaillée dans le texte est en grande partie correcte, et conduit à la bonne solution : la transversale est 13. L’interprétation de ce texte n’est donc pas aisée [8].

Le point qui nous intéresse dans cette tablette YBC 4675 est qu’il s’agit du partage d’un trapèze de bases 17 et 7 en deux bandes d’aires égales, ce qui rappelle la configuration rencontrée dans le problème d’époque sargonique de Nippur IM 58045 cité ci-dessus. Nous retrouvons le triplet (17, 13, 7). Examinons de plus près le calcul de la transversale (face, lignes 12-16) :


12.  […] 17 la largeur supérieure tu croises avec lui-même ensuite
13.  4.49 il te vient. Du cœur de 4.49
14.  2 tu arraches : 2.49 est le reste.
15.  sa racine carrée tu extrais
16.  13 la transversale du milieu vient à toi. 

Dans cette traduction, ainsi que dans les suivantes, je n’ai pas marqué les ordres de grandeur des nombres écrits en notation sexagésimales positionnelle, par exemple en indiquant la position des unités dans le nombre, car ces marques n’existent pas dans le texte cunéiforme. Cependant, pour aider le lecteur à suivre les calculs, j’ai placé les nombres concernés les uns sous les autres dans une petite boîte à droite de la traduction. Ce positionnement représente assez bien, à mon avis, la façon dont les nombres étaient manipulés par les scribes, probablement sur un instrument de calcul matériel. La petite boîte est une sorte de représentation de l’état de l’abaque ancien.

Le sens de ce calcul n’est pas tout à fait élucidé. En particulier, le sens du nombre 2 qui apparaît ligne 14 n’est pas clair. Pour Neugebauer et Sachs (1945, p. 47), le nombre 2 correspond à ½(17² - 7²). La transversale d serait donc calculée de la façon suivante : d² = 17² - ½(17² - 7²), c’est-à-dire d² = ½(17² + 7²). Je reviendrai sur ce résultat [9].


L’équipartition comme outil pour résoudre un problème (VAT 8512)

Le problème énoncé et résolu dans la tablette VAT 8512, qui est aussi conservée à Berlin, montre toute la subtilité des méthodes géométriques élaborées à l’époque paléo-babylonienne. Il s’agit du partage d’un triangle en deux parties d’aires différentes, qui, à un moment donné, est transformé en problème d’équipartition du trapèze de bases 51 et 21. L’ingéniosité du procédé est très bien décrit par Jens Høyrup [10], et nous ne reviendrons pas ici sur l’analyse de ce texte célèbre. Voici une photo inédite de la tablette :

 


Figure 6

VAT 8512 face et revers (Photo C. Proust, courtoisie Dr J. Marzahn)

Un passage de quelques lignes nous intéresse particulièrement car il montre clairement la méthode de résolution du problème d’équipartition du trapèze. Voici ce passage (ce sont les lignes 11-16 de la face) [11] :


11.  […] croise (multiplie) 51 
12.  avec 51 : c’est 43.21
13.  Croise 21, que ta tête retient, avec 21 : 
14.  c’est 7.21. Ajoute à 43.21 : c’est 50.42.
15.  Brise 50.42 en deux : c’est 25.21.
16.  La racine carrée de 25.21, c’est combien ? C’est 39.


Ce calcul montre que le scribe ajoute le carré de la grande base au carré de la petite base, puis prend la moitié du résultat trouvé, ce qui donne 25.21, et enfin calcule la racine carrée de ce dernier résultat, soit 39. Autrement dit, le carré de la transversale d est la moyenne des carrés des bases :

d² = ½(51² + 21²)


Le triplet trouvé est (51, 39, 21), soit, après réduction par 3, le triplet (17, 13, 7) déjà rencontré.

Un problème similaire a été trouvé sur une tablette provenant de Suse, ville de l’ouest du plateau iranien, qui date de la fin de la dynastie de Hamurabi, donc de la fin de l’époque paléo-babylonienne. Cette tablette, conservée au musée du Louvre sous le numéro TMS 26, contient un problème de partage de trapèze dont les bases sont 35 et 5; la transversale trouvée est 25. En réduisant le triplet (35, 25, 5) d’un facteur 5, nous retrouvons le triplet (7, 5, 1) déjà rencontré dans la tablette VAT 7621 du musée de Berlin.

Un autre exemple provient de la ville méridionale d’Ur (tablette UET 5, 858 [12]). Dans ce texte, écrit en sumérien, où le problème d’équipartition du trapèze est résolu en détail, les bases sont 17 et 7, et la transversale trouvée est 13.


Résumé 

En résumé, les tablettes d’époque paléo-babylonienne citées dans cette partie, qui portent sur le partage d’un trapèze en deux bandes d’aires égales, conduisent à l’une ou l’autre des deux solutions suivantes : (7, 5, 1) et (17, 13, 7).


Numéro Provenance Contenu Triplet obtenu Triplet réduit
VAT 7621 Inconnue (sud, Uruk ?) Partage égal d'un trapèze entre deux fois 9 frères (1.45, 1.15, 15) (7, 5, 1)
VAT 8512 Inconnue (sud, Larsa?) Partage de trapèze en deux bandes d'aires égales (intervient comme séquence d'une procédure plus vaste) (51, 39, 21) (17, 13, 7)
YBC 4675 Inconnue (sud, Larsa ?) Partage d'un quadrilatère (ou d'un trapèze impossible) en deux bandes d'aires égales (17, 13, 7) (17, 13, 7)
UET5-858 Ur Partage d'un trapèze en deux bandes d'aires égales (17, 13, 7) (17, 13, 7)
TMS 26 Suse Problèmes relatifs au partage d'un champ entre deux frères; partage de trapèze (35, 25, 5) (7, 5, 1)

Comment la valeur de la transversale a-t-elle été déterminée ? Comme on vient de le voir, les tablettes YBC 4675 et VAT 8512 apportent quelques éclaircissements sur ce point. Il reste maintenant à justifier cette méthode.


3- Equipartition du trapèze

On ne connaît pas de texte où cette règle est justifiée. Cependant, dans les cas où elle est quelque peu explicitée, le calcul fait apparaître des différences ou des demi-sommes de carrés.


Dans YBC 4675, on a : d² = 17² - ½(17² - 7²). Dans VAT 8512, on a : d² = ½(51² + 21²) 

Cette remarque nous conduit à nous intéresser à une configuration qui joue un grand rôle dans les mathématiques cunéiformes : la figure des carrés concentriques. Insérons donc notre problème dans cette configuration :



Figure 7

Trapèzes dans la configuration des carrés concentriques


Considérons le trapèze de bases a et c, et la transversale b. Les aires des deux trapèzes de bases a et b d’une part, b et c d’autre part, sont égales si les aires entre les carrés concentriques sont égales :

a² - b² = b² - c², c'est à dire 2b² = a² + c² ou b² = ½(a² + c²)

Autrement dit, le carré de la transversale est égale à la moyenne des carrés des deux bases du trapèze. La règle est ainsi établie très simplement pour le cas de ces trapèzes isocèles particuliers (troncatures de triangles rectangles isocèles), d'une façon fidèle à l'esprit des mathématiques de l'époque. Reste maintenant à montrer que cette règle est valide pour tous les cas. Pour cela, il suffit de remarquer deux choses. Tout d'abord, le résultat reste le même dans le cas de rectangles concentriques, donc pour tous les trapèzes isocèles. En effet, au lieu d'avoir 3 carrés de côtés respectivement ab et c, on a 3 rectangles de largeurs respectivement abc et de longueurs respectivementkakb et kc. L'égalité des aires donne : ka² - kb² = kb² - kc², et il suffit de simplifier par k
Ensuite, l’aire des trapèzes ne dépend que des bases et des hauteurs, pas des côtés, ce que les mathématiciens de Mésopotamie savaient sans aucun doute. Dans les trois figures ci-dessous, où les trapèzes ont les mêmes bases et les mêmes hauteurs, les déformations affectent la forme des trapèzes, mais pas leurs aires. 


Figure 8


Déformations qui conservent l’égalité des aires

En résumé, un trapèze quelconque partagé en deux bandes peut être transformé en trapèze isocèle partagé en deux bandes en conservant l’égalité des aires comme dans la figure 8. Le trapèze isocèle obtenu est inscrit dans des rectangles concentriques. Dans cette configuration, on montre facilement le résultat ci-dessus, à savoir que les deux bandes ont la même aire si le carré de la transversale est la moyenne arithmétique des carrés des deux bases.

C’est exactement la méthode qui est utilisée dans VAT 8512. Il est facile de vérifier que la méthode utilisée dans YBC 4675 n’est qu’une variante de la précédente.


Extensions du problème : les triplets du trapèze

Les « triplets du trapèze » ne sont autres que les solutions entières [13] de l’équation indéterminée :

2b² = a² + c².

Quels sont les « triplets du trapèze » qui étaient connus à l’époque paléo-babylonienne ? Nous avons déjà un début de réponse en observant les textes présentés dans la partie 2. Une fois réduits, ces triplets sont : (7, 5, 1) et (17, 13, 7). D’autres triplets étaient-ils connus ? Une tablette donne partiellement la réponse.


Figure 9


Partages du trapèze en série – Tablette Erm 15189, Musée de l’Hermitage, St Petersburg

La tablette Erm 15189, conservée au Musée de l’Hermitage à St Petersburg [14], montre un arrangement de 10 trapèzes, chacun est partagé en 4 bandes; les données suivantes sont inscrites: bases, transversales, hauteurs et aires des bandes. Les bandes sont de même aire deux à deux. La tablette affiche donc une liste de 20 triplets du trapèze. Le colophon (notice inscrite sur la tranche) donne les mesures d’un trapèze supplémentaire :


Colophon : 


Voici les triplets du trapèze de la tablette, ainsi que les triplets réduits correspondants :

 
Figure 10

Figure de base de la série de Erm 15189


Triplets donnés par tablette   Triplets réduits  
1 2.16   1.44   56 56   40   8 17   13   7 7   5   1
2 1.42   1.18  42 42   30  6 17   13  7 7   5  1
3 2.43.12   2.4.48   1.7.12 1.7.12   48   9.36 17   13   7 7   5   1
4 1.53.20   1.26.40   46.40 46.40   33.20   6.40 17   13   7 7   5   1
5 56.40   43.20   33.20sic 
                        23.20!
33.20sic   16.40   3.20
23.20!
17   13   7 7   5   1
6 1.8   52   29sic
               28!
29sic   20   4
28
17   13   7 7   5   1
7 2.7.30   1.37.30   52.30 52.30   37.30   7.30 17   13   7 7   5   1
8 2.2.24   1.33.34sic   50.24
             1.33.36!
50.24     36     7.12 17   13   7 7   5   1
9 2.50   2.10   1.10 1.10   50   10 17   13   7 7   5   1
10 1.25   1.5   35 35   25   5 17   13   7 7   5   1
sic : nombre écrit sur la tablette, avec une erreur -  le nombre correct est indiqué en dessous du nombre erroné avec !


On le voit, après réductions, ces triplets se ramènent tous aux deux triplets déjà rencontrés (17, 13, 7) et (7, 5, 1). Les 10 trapèzes sont construits à partir de l’agrandissement (ou réduction) d’une même figure de base. Les deux triplets sont indiqués dans le colophon : 17, 13, 7 et  7, 5, 1.

Cette tablette donne un panorama assez complet des exemples connus à l’époque paléo-babylonienne concernant l’équipartition du trapèze. Mais son intérêt principal réside dans un rapprochement avec un autre texte. Il s’agit d’une tablette tout à fait analogue, mais qui porte sur des partages de triangles.


4- Equipartition du triangle


Figure 11

Partages du triangle en série – Tablette MAH 16055,  Musée d’Art et d’Histoire de Genève

La tablette MAH 16055, conservée au Musée d’Art et d’Histoire de Genève [15], montre un arrangement de 10 triangles, chacun étant partagé en 3 parties : un trapèze « supérieur », pour employer la terminologie ancienne, un trapèze central, et un triangle « inférieur ». Les données suivantes sont inscrites sur les figures : bases, hauteurs, aires. Le trapèze supérieur et le triangle inférieur sont de même aire. La base et les deux transversales forment des triplets. Voici ces triplets, ainsi que les triplets réduits correspondants :


Triplets donnés par la tabeltte Triplets réduits
1 27.46.40    22.13.20    16.40 5    4    3
2 55.33.40    44.26.40    33.20 5    4    3
3 1.23.20    1.6.40    50 5    4    3
4 1.51.6.40    1.28.53.20    1.6.40 5    4    3
5 2.18.53.20    1.41.6.40    1.23.20 5    4    3
6 2.46.40    2.13.20    1.40 5    4    3
7 3.14.26.40    2.35.33.20    1.56.40 5    4    3
8 3.42.13.20    2.57.46.40    2.13.20 5    4    3
9 41.10    3.20    2.30 5    4    3
10 4.37.46.40    2.42.33.20    2.41.13.20 5    4    3

On constate un résultat surprenant : les triplets de ces triangles ne sont autres que des triplets Pythagoriciens, tous proportionnels au triplet (5, 4, 3). Comment expliquer ce phénomène ?


Partage du triangle et triplets pythagoriciens

Nous ne disposons pas, comme dans le cas du trapèze, de textes explicitant la méthode de calcul des transversales du triangle qui réalisent l’égalité des aires «  supérieure » et « inférieure  ». Cependant, la similarité des textes laisse penser que la démarche est analogue pour le trapèze et pour le triangle. Tournons nous donc, une fois de plus, vers la configuration des carrés concentriques.


Figure 12

Triangles dans la configuration des carrés concentriques


L’aire du trapèze « supérieur » (de bases a et b) est égal à l’aire du triangle « inférieur » (de base c) si : 

a² - b² = c², c’est-à-dire

a² = b² + c²

La généralisation du résultat à tous les triangles est immédiate lorsqu’on a constaté, comme dans le cas des trapèzes, que l’égalité des aires dépend seulement des bases et des transversales.

Ce sont donc des triplets pythagoriciens qui réalisent l’égalité des aires du trapèze « supérieur » et du triangle « inférieur », ce qui explique les données de la tablette MAH 16055. Notons que l’équipartition stricte du triangle n’a pas de solution en nombres entiers (voir Encart 2 et Høyrup 2010, p. 89).


5- Triplets du trapèze et triplets du triangle

Les tablettes Erm 15189 et MAH 16055 montrent que, dans l’esprit de leurs auteurs (ou de leur auteur car il est tout à fait concevable que les deux textes aient été écrits par la même personne), les problèmes d’équipartition du trapèze et du triangle sont parallèles. Les connections entre ces problèmes sont résumées ci-dessous [16].


Figure 13



Triplets du trapèze et triplets du triangle

Ce schéma montre de plus comment les problèmes géométriques et arithmétiques sont intimement liés. Sur le plan du calcul, les triplets babyloniens et pythagoriciens se déduisent facilement l’un de l’autre :

Triplet du triangle (abc) → triplet du trapèze (b-cab+c)


Exemple des tablettes précédentes :

Triplets du triangles (pythagoriciens) Triplets du trapèze (babyloniens)
5    4    3 7    5    1
13    12    5 17    13    7

Conclusion

Les tablettes de l’Hermitage et de Genève (Erm 15189 et MAH 16055), bien que de provenance inconnue et de datation incertaine, ont des présentations très similaires, et semblent indiquer que la forte affinité entre les problèmes de partage du trapèze et de partage du triangle, ainsi que la relation arithmétique entre triplets du trapèze et triplets du triangle, étaient connues par le ou les auteurs de ces tablettes. Ces relations ont-elle été largement connues et exploitées à l’époque paléo-babylonienne ? Dans quelle mesure, et éventuellement dans quel ordre, ces quatre types de problèmes (résumés dans la figure 13) ont-ils été abordés en Mésopotamie ? La documentation ne permet pas de le dire. On peut penser que le problème du partage du trapèze est le plus ancien car il semble attesté dès l’époque de Sargon dans IM 58045 à Nippur comme on l’a vu au début de cet article. Il est en tous cas le plus répandu dans les traditions mathématiques paléo-babyloniennes, sans doute en raison du fait qu’il se rattache aux problèmes posés aux arpenteurs dans l’exercice de leur profession (cadastres, partage de terres). Une approche des triplets pythagoriciens beaucoup plus théorique et abstraite que ce qu’on a vu dans les textes cités ici est développée dans la fameuse tablette dite « Plimpton 322 ». Il n’est pas impossible que le travail impressionnant sur les triplets pythagoriciens qu’on trouve dans cette tablette ait été réalisé également pour les triplets babyloniens [17].



Bibliographie

Britton, J.P., Proust, C. and Shnider, S. (2011) Plimpton 322: a review and a different perspective, Archive for History of Exact Sciences.

Bruins, E. et Rutten, M. (1961) Textes mathématiques de Suse, Paris: Geuthner. 

Friberg, J. (1987-90) Mathematik, Reallexikon der Assyriologie, 7, pp. 531-585.

Friberg, J. (2000) Mathematics at Ur in the Old Babylonian period, Revue d'Assyriologie, 94, pp. 98-188.

Friberg, J. (2007) A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts (New York, Springer).

Friberg, J. (2009) A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma, CDLJ, 2009-3. En ligne

Høyrup, J. (2002) Lengths, Widths, Surfaces. A Portrait of Old Babylonian Algebra and its Kin (Berlin & Londres, Springer).

Høyrup, J. (2010) L'algèbre au temps de Babylone - Quand les mathématiques s'écrivaient sur de l'argile (Paris, Vuibert).

Neugebauer, O. (1935-7) Mathematische Keilschrifttexte I-III (Berlin, Springer).

Neugebauer, O. and Sachs, A.J. (1945) Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, American Oriental Series & American Schools of Oriental Research).

Quillien, J. (2003) Deux cadastres de l'époque d'Ur III, Revue d'histoire des mathématiques, 9, pp. 9-31.

Thureau-Dangin, F. (1938) Textes Mathématiques Babyloniens (Leiden, Ex Oriente Lux).

Vaiman, A.A. (1961) Sumero-babylonian Mathematics in the third to first millennia b.o.e. (Shumero-vavivonskaya matematika III-I tysyacheletiya do n.e.) (Moscou, Izdatel'stvo Vostocnoj Literatury).




Notes

[1] Elle a été publiée et commentée par Friberg dans plusieurs publications (Friberg 1987-90, p. 541 ; 2007, §11.3a;  2009).

[2] Voir Quillien 2003.

[3] Voir Friberg 2009.

[4] Voir Høyrup 2010, chapitre 6. Profitons de l’occasion pour inciter les lecteurs à découvrir l’algèbre ancienne au travers de ce merveilleux petit livre, écrit en français pour les lycéens et les étudiants. Une présentation du livre a été publiée sur CultureMATH : Une invitation à entrer dans un monde mathematique ancien, Karine Chemla

[5] La tablette a été publiée par Otto Neugebauer en 1935 (1935-7, vol. I, p. 289), et traduite en français par François Thureau-Dangin (1938, p. 99).

[6] Nous appelons triplet réduit un triplet de nombres qui n’ont pas de facteur commun.

[7] Elle a été publiée par Neugebauer and Sachs (1945, p. 44-48).

[8] Pour une analyse détaillée, on se reportera à Neugebauer et Sachs 1945, p. 46-47, à Høyrup 2002, p. 244-249, et à Bruins et Rutten 1961 qui donnent trois interprétations différentes.

[9] L’interprétation du sens de « 2 » par Høyrup est différente (2002,  p. 247). Pour lui, 2 représente la surface du trapèze réduite d’un rapport 2/60. Ce rapport est calculé dans le texte lignes 7-11 de la face : il est égal à la différence des bases divisée par la hauteur (17 - 7)/5, la hauteur 5 étant la moyenne des deux longueurs latérales, 5.10 et 4.50. Ensuite, selon Høyrup, ce rapport 2 (en fait, 2/60) est multiplié par la surface totale (1 soixantaine de soixantaine) pour obtenir la surface réduite. Cette interprétation astucieuse lui fournit une clé d’interprétation du texte, qui, selon lui, est basé sur une réduction des dimensions linéaires dans la direction de la hauteur (voir Høyrup 2002, p. 247, fig. 63). Cependant, cette interprétation ne repose pas sur les données du texte, et Høyrup est conduit à ajouter une phrase qui ne figure pas dans le texte cunéiforme.

[10] Høyrup 2010, p. 90.

[11] Traduction d’après Thureau-Dangin (1938, p. 101) et Høyrup (2010, p. 88). 

[12] Vaiman 1961, p. 251 et Friberg 2000, p. 142. 

[13] En fait, dans l’arithmétique très particulière des mathématiciens babyloniens, ce ne sont pas seulement les solutions entières qui sont recherchées, mais tous les nombres, entiers ou non, qui admettent un développement sexagésimal fini. On trouvera plus de détails sur cette question dans Britton et al. 2011. 

[14] Elle a été publiée par Vaiman 1961.

[15] Vaiman 1961. 

[16] Cette synthèse est inspirée de Vaiman 1961. 

[17] Cette hypothèse hardie mais excitante est formulée de façon prudente à la fin de l’article le plus récent sur la tablette Plimpton 322 (Britton et al. 2011).

 

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