Géométrie

Question du jeudi #63 :

  1. On pose un monomino sur une des cases d'un échiquier $8\times 8$. Peut-on paver les $63$ cases restantes par 21 triominos « coudés » ?
  2. Même question avec $21$ triominos « droits ».

 

Question du jeudi #62 : Quel est le rapport entre le volume d'un octaèdre régulier et celui d'un tétraèdre régulier de même côté ?

Question du jeudi #50 : Il est possible de placer trois polygones réguliers (convexes) dans le plan pour qu'ils s'agencent parfaitement autour d'un sommet commun.

Quel est le plus grand nombre de côtés qu'un polygone présent dans un tel agencement peut avoir ?

Question du jeudi #49 : On place $2016$ points dans le plan. Montrer que l'on peut trouver une droite qui sépare le plan en deux régions contenant $1008$ points chacune.

Question du jeudi #45 : Montrer que l'on ne peut pas recouvrir le plan par un nombre fini d'intérieurs de paraboles.

On voit facilement qu'il est possible de recouvrir un carré par quatre triangles équilatéraux de même côté. Est-il possible de n'en utiliser que trois ?

Auteur : Jean-Yves Labouche, École franco-américaine du Puget Sound (Mercer Island, Washington, États-Unis)

Mots-clefs : Construction géométrique, Pavage, Hexagone, Travail collectif

Description des étapes menant les élèves d’une classe de 6e à la réalisation d’un pavage hexagonal de très grandes dimensions en dehors de la classe et avec des outils peu ordinaires pour un exercice de géométrie.

Question du jeudi #39 : On place n points sur un cercle et l'on trace toutes les cordes reliant ces deux points. On suppose en outre que les cordes sont en position générale, c'est-à-dire que trois cordes ne sont jamais concourantes. Combien de points d'intersection y aura-t-il à l'intérieur du disque ?

Question du jeudi #36 : On se donne $n$ vecteurs $\vec v_1, \ldots, \vec v_n$ du plan dont la somme des longueurs vaut $1$. Montrer qu'il est possible de trouver une partie $S \subset \{1, 2, \ldots, n\}$ telle que la somme correspondante \[ \sum_{i \in S} \vec v_i\] ait une longueur au moins égale à $\frac 16$.

Question du jeudi #34 : On rappelle qu'un triangle est dit acutangle si tous ses angles sont aigus, c'est-à-dire strictement inférieurs à 90°.

Est-il toujours possible de décomposer un triangle en triangles acutangles ? Si oui, quel est le nombre minimum de triangles dans la décomposition ?