Géométrie

Question du jeudi #33 : On considère le pavage du plan par des triangles équilatéraux. Parmi les sommets des triangles, est-il possible de trouver quatre points formant un carré ?

Question du jeudi #29 : Sept points sont placés dans un disque (y compris sur le bord), de telle sorte que la distance entre deux d'entre eux est toujours au moins égale au rayon du cercle. Montrer que l'un d'eux est au centre du cercle.

Question du jeudi #25 : Vous êtes au centre d'une piscine circulaire, au bord de laquelle se trouve un lion. Est-il possible de sortir de la piscine en toute sécurité (c'est-à-dire d'arriver à un point du bord de la piscine où ne se trouve pas le lion), sachant que le lion se déplace quatre fois plus vite que vous ?

Question du jeudi #22 : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes et le découpent donc en six petits triangles.

Question du jeudi #17 : La fédération française de Calvinball cherche à organiser le championnat de France 2015. Pour la commodité de tous, ils décident de minimiser la distance totale parcourue par les participants. Or, plus de la moitié de ces participants vit à Lille et ceux-ci affirment que le tournoi devrait donc se tenir dans leur ville. Au contraire, les non-Lillois maintiennent que le choix d'une ville plus centrale serait une meilleure idée. Qui a raison ?

Question du jeudi #10 : Tout polygone à $n$ côtés $P$ définit un autre polygone $P'$, dont les sommets sont les milieux des côtés du polygone initial et que l'on appellera le polygone des milieux de $P$.

Étant donné un polygone $P'$ à $n$ côtés, comment construire un polygone $P$ dont $P'$ soit le polygone des milieux (ou montrer qu'un tel polygone n'existe pas) ?

Question du jeudi #5 : Étant donné trois droites parallèles $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$, construire à la règle et au compas un triangle équilatéral $A_1A_2A_3$ tel que $A_1 \in \Delta_1$, $A_2 \in \Delta_2$ et $A_3 \in \Delta_3$.

Question du jeudi #1 : On se donne un ensemble E constitué de $n \geq 3$ points dans le plan. On suppose qu'étant donné deux points différents $A$ et $B$ de $E$, la médiatrice du segment $[AB]$ est un axe de symétrie de $E$. Montrer qu'alors E est un polygone régulier.