Nombres complexes | CultureMath
Nombres complexes
Publié le 08/01/2003
Résumé

Reste encore un pas à franchir dans nos extensions d'ensembles de nombres. Certaines équations algébriques extrêmement simples, à coefficients réels, restent sans solution réelle (par exemple, les réels négatifs ne sont pas les carrés de réels). D'où la nécessité d'étendre encore une fois notre ensemble de nombres, en formant un sur-corps du corps des réels, dont les éléments seront appelés nombres complexes. Ce sur-corps se révélera algébriquement clos, c'est-à-dire que cette fois toute équation algébrique (à coefficients complexes) aura des solutions (complexes).


Le premier texte défini l'ensemble des complexes, et motive cette construction en montrant par des moyens élémentaires que l'on a des solutions à toute équation de degré deux. Le deuxième, assez technique, introduit la notion d'argument, nécessaire au troisième et dernier texte, dont l'objet est de montrer la clôture algébrique de C.

Par Jean Gounon, professeur au lycée Camille Sée, et Thomas Chomette, ENS


Prérequis :

  • Premier texte : structure de corps.
  • Deuxième texte : propriétés des séries entières, manipulation de séries. Fonction d'une variable complexe, dérivation.
  • Troisième texte : notion de compacité. Développements limités. Écriture trigonométrique d'un complexe.


Nombres complexes (ps ou pdf), argument d'un nombre complexe (ps ou pdf), clôture algébrique de C (ps ou pdf).

 
 
 
 
 
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