La généralisation de la condition R2

Jean-Philippe Villeneuve, Cégep de Rimouski

 

Nous proposons de présenter la précision et la généralisation faites par Du Bois-Reymond et par Lebesgue de la condition d’intégrabilité R2. 

 

- Définition : Oscillation d'une fonction sur un intervalle
- Définition : Oscillation d'une fonction en un point
- Un théorème de Du Bois-Reymond :  Précision de la condition R2
- Un théorème de Lebesgue : Généralisation de la condition R2

 

Pour ce faire, rappelons d’abord la définition de Riemann de l’oscillation d’une fonction sur un intervalle.

 

Définition (L’oscillation d’une fonction sur un intervalle)

Soit f une fonction bornée définie sur un intervalle I = [a, b].  Alors l’oscillation de f sur l’intervalle I est :

 

Exemple : Prenons le graphe de la fonction tel que représenté sur la figure ci-contre :

 

Alors, nous avons les oscillations sur les intervalles suivants :

 

 

Du Bois-Reymond précisa la définition de Riemann en introduisant la notion suivante :


Définition (L’oscillation d’une fonction en un point)

Soit une fonction f définie sur un ensemble E de nombres réels et soit a un point limite de E. Soit une suite {Ii} d’intervalles qui contiennent a et qui converge vers a.  Alors

 

 

Exemple : En reprenant le graphe de la fonction précédente, nous avons :
             

            

 Notons que cette notion lui permit de définir la limite à gauche et la limite à droite en un point et aussi de classer les types de discontinuité.
 

Du Bois-Reymond précisa la condition R2 en remplaçant la notion d’oscillation sur un intervalle par la notion d’oscillation en un point. 


 

Théorème (Précision de R2)

Soit f, une fonction bornée.  Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :
 

R2 : La somme des longueurs des intervalles où l’oscillation de la fonction est supérieure à σ peut être rendue aussi petite que l’on veut. Autrement dit :

       

 

R2’ : L’ensemble G(σ) des points où l’oscillation est plus grande que σ est un groupe intégrable, c’est-à-dire qu’il peut être enfermé dans un nombre fini d’intervalles dont la longueur peut être rendue aussi petite que l’on veut.

 

Pour les détails de la preuve, consulter les pages 27 à 29 de [Lebesgue, 1904].   

Consulter ce texte  (pdf, 4479 ko).

 

Finalement, Lebesgue a montré que l’intégrabilité au sens de Riemann se ramenait à des considérations sur les points de discontinuité de la fonction.  En fait, une fonction est discontinue en un point si l’oscillation en ce point n’est pas nulle.  De plus, il généralisa la notion de groupe intégrable en remarquant qu’un groupe intégrable est un cas particulier d’un ensemble de mesure nulle.  Voici donc sa généralisation de la condition R2.

 

 Théorème (Généralisation de R2)

Une fonction bornée satisfait la condition R2, si l’ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle, c’est-à-dire qu’il peut être enfermé dans un nombre fini ou dénombrable d’intervalles dont la longueur peut être rendue aussi petite que l’on veut.

 

Pour les détails de la preuve, consulter la page 29 et 109 de [Lebesgue, 1904].

Consulter ce texte  (pdf, 4.479 Mo).    
 

L’analyse de la preuve de Lebesgue nous permet d’affirmer que Lebesgue a trouvé une façon d’utiliser le résultat de Du Bois-Reymond pour faire cette généralisation; il a donc fait une généralisation conservative.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
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