Les matrices : formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930).
Résumé

De même que, dans les mathématiques contemporaines, les matrices sont susceptibles de représenter une diversité d’objets algébriques, leur histoire se joue sur une longue période, dans des contextes divers et s’enrichit de la rencontre entre différents champs de recherche. Dans cet article nous rentrons dans le détail de textes publiés entre 1850 et 1890 par des auteurs comme Arthur Cayley, James Joseph Sylvester et Eduard Weyr. En mettant un avant les contextes culturels dans lesquels s'inscrivent ces différents auteurs, nous observerons des pratiques différentes dont la rencontre provoquera un enrichissement du champ des significations associées à la notion de matrice. Nous verrons que poser la question de l'histoire de la notion de matrice permet d'observer des aspects culturels des mathématiques antérieurs aux théories structurelles et unificatrices comme l'algèbre linéaire des années trente du XXe siècle.

 

Cet article s'appuie sur de nombreux extraits de textes originaux placés dans le corps du texte et sous forme d'encarts, la lecture n'en est cependant jamais obligatoire et l'ensemble de l'article peut être parcouru en laissant à une seconde lecture l'étude des citations.

 

 

Utilisation dans l'enseignement

Plusieurs problèmes mathématiques présentés dans cet article peuvent être abordés avec des étudiants. Selon le niveau de généralité choisi (matrices symétriques, diagonalisables ou quelconques, à coefficient dans un corps algébriquement clos ou dans un anneau principal) les problèmes proposés peuvent être exploités à des niveaux très différents, des premières années d'université à la préparation de l'agrégation.

Le problème des types d'intersections des coniques étudié par Sylvester entre 1850 et 1851 peut donner lieu à un travail sur les difficultés posées par la multiplicitédes valeurs propres d'une matrice. Les différents types d'intersections de coniques permettent de représenter dans un cadre géométrique les différentes décompositions du polynôme caractéristique ou minimal et les différentes formes canoniques associées.

Le problème de la détermination des "racines" des fonctions homographiques posé par Cayley en 1858 fournit une situation dont l'étude peut déboucher, de manière constructive, à l'introduction des "lois" du calcul matriciel et des pratiques polynomiales associées (théorème de Cayley-Hamilton). Le problème des matrices périodiques permet d'aborder les difficultés propres au calcul matriciel (anneau non intègre et non commutatif). L'ambigüité de la notion de "single quantity" de Cayley et l'efficacité des pratiques polynomiales qui l'accompagnent peuvent donner lieu à un travail sur les quantités multiples (algèbres associatives).

Les travaux menés par Sylvester entre 1880 et 1885 permettent de travailler sur le problème de la définition des fonctions de matrices. Un travail peut également être mené sur les quaternions et les nonions afin d'introduire les méthodes élaborées pour la détermination des matrices qui commutent avec une matrice donnée (polynôme minimal, matrices dérogatoires, nullité d'une matrice).

Les procédés opératoires sur la forme matricielle élaborés par Eduard Weyr entre 1885 et 1890 permettent d'introduire ou d'approfondir la principale méthode de démonstration du théorème de Jordan (décomposition de l'espace en sous espaces caractéristiques invariants pour un opérateur donné).

Enfin, la présentation, dans la première partie de cet article, de la synthèse théorique élaborée dans les années trente permet de mettre en évidence les enjeux pédagogiques portés par la forme matricielle. En même temps que s'élabore une synthèse qui donne à la théorie des matrices un caractère universel, les traités des années 1930 adoptent une organisation didactique basée sur le caractère opératoire de la représentation imagée des matrices, représentation présentée comme simple, efficace et permettant d'assimiler des théorèmes généraux.

Frédéric Brechenmacher, Centre Alexandre Koyré


Article déposé le 20 décembre 2006. Editrice Christine Proust. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.


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SOMMAIRE 

Introduction.

I. La théorie des matrices canoniques des années trente du XXe siècle.

  1. La nouveauté de la théorie des matrices des années 1920-1930.
  2. Les problématiques liées à l'histoire des procédés matriciels.
  3. La méthodologie des réseaux de textes.

II. Une première origine : les travaux de Sylvester et Cayley des années 1850.

  1. Origine des matrices comme mères des mineurs :  les travaux de Sylvester [1850-1851] sur les intersections de deux coniques.
  2. La théorie des matrices de Cayley.

III. Evolutions de la notion de matrice entre 1850 et 1890.

  1. Héritages de la théorie des matrices de Cayley dans les travaux de Sylvester de la période 1882-1885
  2. La formation des "espèces de matrices" d'Eduard Weyr.
  3. La rencontre de la théorie des formes bilinéaires et de la théorie des matrices.

Conclusion.

Bibliographie.

Notes.

Encarts

  1. An introduction to the theory of canonical matrices. Turnbul et Aitken , 1932.
  2. Le théorème de décomposition matricielle dans le traité de Mac Duffee de 1943.
  3. Extraits de la démonstration du théorème de Jordan dans le traité de Mac Duffee de 1943.
  4. Un exemple de représentation de réseaux de recherches (1880-1907).
  5. Les types d’intersections des coniques et la décomposition polynomiale du déterminant. (en version pdf)
  6. Les types d’intersection des quadriques
  7. Les perceptions du mémoire de Cayley (1858) à la fin du XIX e siècle et l’écriture d’une histoire.
  8. Quelques éléments biographiques sur Eduard Weyr.
  9. Plan d’une démonstration contemporaine du théorème de Jordan.
  10. Le rôle de la représentation matricielle dans la formulation contemporaine de la relation mathématique entre diviseurs élémentaires et forme de Jordan.
  11. Comparaison du calcul des matrices de Weyr et de la théorie des matrices de Cayley.
  12. Comparaison des définitions des matrices chez Weyr et Cayley.
  13. La forme canonique de Jordan en 1870.
  14. Pincherle et la recherche de sous variétés d'un espace vectoriel invariantes par rapport à une homographie A.
  15. Extraits de différents théorèmes énoncés dans des réseaux de recherches distincts.

     

Introduction.

Un jeu de couleurs porté sur un texte mathématique contemporain sollicite différents moments de l'histoire sur une  période longue et fait apparaître une interrogation historique.

La matrice suivante

peut non seulement représenter un tableau de nombres, mais aussi un déterminant, une famille de vecteurs,  une application linéaire E→ F,  un endomorphisme E→ E, un système d'équations différentielles linéaires, une forme bilinéaire. D'une part, le mathématicien contemporain peut interpréter de différentes manières une même représentation matricielle. D'autre part un même objet peut se représenter par des matrices différentes. Par exemple, la matrice A et la matrice B ci-dessous représentent une même application linéaire E→ E dans des bases différentes :

·        Matrice.

Sylvester, 1851. Géométrie. "I have in a previous paper defined a « Matrix » as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered, as from the womb of a common parent [']." 

Cayley, 1858. Théorie des matrices. " ['] a set of quantities arranged in the form of a square, e.g.

is said to be a matrix [']."

Weyr, 1890. Théorie des formes bilinéaires. 'Eine Matrix nter Ordnung {ahk} oder A auf ein System von n Werten x1,...,xn oder kürzer (x) applicieren, heiβt ein Werthsystem y1,...,yn mittelst der n linearen Gleichungen

yh = ah1x1+...+ahnxn, (h=1,2,...,n)

ableiten. Diese n Gleichungen mögen durch die symbolische Gleichung

(y) = A(x)

ausgedrückt werden. »

·        Tableau.

Poincaré. 1884. Groupes de Lie. "Ecrivons le Tableau à double entrée des coefficients d'une substitution quelconque de ce groupe ['].  Dans ce Tableau, séparons par des traits verticaux les α premières colonnes, puis les β suivantes etc., puis les x dernières. Séparons de même par des traits horizontaux les α premières lignes, puis les β suivantes, etc., puis les x dernières. Nous avons partagé nos coefficients en p2 systèmes. Si l'on choisit convenablement les n paramètres arbitraires en fonction desquels tous les coefficients du groupe s'expriment linéairement, un quelconque d'entre eux ne pourra entrer que dans les coefficients d'un seul des p2 systèmes. »

Châtelet, 1911. Théorie des nombres. « ['], il m'a semblé commode d'introduire la notion de tableaux ou systèmes linéaires. De tels symboles ont en effet l'avantage de représenter des êtres mathématiques assez divers : systèmes de formes linéaires, forme bilinéaire, forme décomposable, substitution linéaire [']. »

·        Application linéaire.

 Jordan, 1870, Théorie des substitutions. "Réduction d'une substitution linéaire à sa forme canonique simple. »

Pincherle, 1899, Equations différentielles. "Décomposition d'un espace vectoriel en sous variétés invariantes par l'opération d'une homographie A."

·        Etc'

Que l'on s'attache au terme de tableau, de forme bilinéaire, d'endomorphisme, d'équation différentielle, différents auteurs, différentes époques, différents contextes culturels sont mobilisés par la lecture d'un même texte. L'histoire de la notion de matrice débute-t-elle en 1858, date de parution d'un célèbre mémoire de Cayley' Doit-on s'attacher au calcul des Tableaux très employé en France, au XIXe siècle, de Cauchy à Poincaré' Faut-il remonter plus loin dans le temps et étudier les systèmes linéaires d'équations différentielles résolus par des savants du XVIIIe siècle comme d'Alembert, Lagrange et Laplace ' Y a-t-il une ou plusieurs notions de matrice dans l'histoire ' La question de l'identité du concept de matrice donne à cet article sa trame principale [1].

Au cours des années trente du XXe siècle, la notion de matrice est devenue un élément de base dans l'architecture du savoir algébrique. L'acquisition de ce statut élémentaire au sein d'une théorie, l'algèbre linéaire, a donné aux matrices une identité forte et, dans le même temps, a écrasé la pluralité de leur histoire. Porter un regard sur des périodes antérieures à l'algèbre linéaire des années 1930 nécessitera de distinguer, dans l'histoire d'une même notion, des concepts et des pratiques différentes qui ne sont pas étrangères à la variété de représentations qu'offre au mathématicien la notion de matrice. Nous verrons toutes les différences entre la notion originelle de James Joseph Sylvester (1851) d'une matrice comme mère des mineurs d'un déterminant, les lois du calcul des matrices d'Arthur Cayley (1858) ou encore les procédés de décomposition matricielle d'Eduard Weyr (1885). 

L'histoire de la notion de matrice ne peut pas se réduire à l'histoire d'une théorie avant l'algèbre linéaire des années trente du XXe siècle, elle doit plutôt s'envisager comme le filage en une tresse de fils reliant des époques et des contextes variés [2]. Plutôt que de proposer une vision schématique de la longue histoire séparant 1850 et 1930, cet article développe quelques moments particuliers afin de faire apparaître des implicites du savoir mathématique qui tiennent à des modes de pensées et à des pratiques indissociables d'un contexte culturel daté. Nous verrons que l'histoire des matrices permet de dévoiler des aspects culturels des mathématiques antérieurs aux théories structurelles et unificatrices comme l'algèbre linéaire des années 1930 [3]. La richesse de l'histoire des matrices provient souvent de ce qui échappe à une description mathématique contemporaine et, pour cette raison, des extraits de textes originaux accompagnent le texte principal sous forme d'encarts [4].

I. La théorie des matrices canoniques des années trente du XXe siècle.

Dans un premier temps, porter notre regard sur la période qui voit la notion de matrice acquérir un caractère universel au sein d'une théorie internationale va nous permettre de dégager les principales problématiques et la méthodologie de cet article.

1. La nouveauté de la théorie des matrices des années 1920-1930.

On publie beaucoup sur les matrices dans les années 1920-1930. Des formes de représentations imagées envahissent des textes mathématiques publiés dans toutes les langues, dans le domaine de la recherche comme dans celui de l'enseignement. Comment une notion, dont Cayley présentait déjà une théorie en 1858, peut-elle porter une nouveauté dans les années folles ' Regardons les arguments développés dans un ouvrage publié en 1932 par H.W. Turnbull et A.C. Aitken, An Introduction to the Theory of Canonical Matrices (encart 1). Selon l'introduction du traité, la nouveauté de la théorie des "matrices canoniques" est dans  l'utilisation des "propriétés" de l'"idiome matriciel" par opposition à une théorie classique, la théorie des formes bilinéaires, attachée à de grands noms de la fin du XIXe siècle comme Weierstrass, Kronecker et surtout Frobenius.

Notation matricielle : 

Notation des formes bilinéaires :

Selon Turnbull et Aitken (T&A), le recours à la notation matricielle marque une rupture par rapport à une pratique traditionnelle des traités d'algèbre des générations précédentes [5]. Deux arguments sont développés pour justifier cette évolution. D'abord, la notation matricielle est présentée comme efficace car permettant des énoncés de "théorèmes généraux" en un "minimum de place". Surtout, et comme tous les auteurs des années 1920-1930, T&A mettent en avant les valeurs pédagogiques d'une représentation présentée comme "simple". Dans l'introduction de son traité sur la théorie des groupes publié en 1916, Blichfeldt encourageait déjà l'étudiant à bénéficier des "avantages" procurés par l'"image mentale"  de la "forme matricielle" par opposition à la "représentation linéaire".

From the outset the student is urged to work with the matrix form of a linear representation. The practice thus gained is of great advantage [']; in particular the more difficult sections of Chapter XIII [group representation] will be mastered readily if the student has a clear mental image of the matrix form of the regular groups [']. [Blichfeldt, 1916, vii].

Traduction, F.B. :

Nous encourageons l'étudiant à travailler dès le départ avec la forme matricielle d'une représentation linéaire. Il y gagnera une pratique très avantageuse et les parties plus difficiles du chapitre XIII (sur la représentation des groupes) seront maitrisées rapidement si l'étudiant a une image mentale de la forme matricielle des groupes classiques.

Si, au début du siècle, les partisans de la représentation en tableau, comme Autonne et Chatelet en France, Cullis en Grande Bretagne, étaient encore rares, l'idée selon laquelle la maîtrise de la représentation matricielle permettrait d'assimiler plus "simplement" des "théorèmes généraux" de différentes théories est à la base des organisations didactiques de nombreux traités d'algèbre publiés dans les années 1930. Comme le montre l'introduction de l'ouvrage de T&A, la représentation matricielle ne peut être dissociée de l'objet même de la nouvelle organisation théorique développée dans le traité :

La théorie des matrices canoniques a pour objet l'investigation systématique des types de transformations qui réduisent les matrices à leur forme la plus simple et la plus pratique. [Turnbull et Aitken, 1932, 2, traduction F.B.].

La théorie porte sur les formes de représentation des matrices : il s'agit de réduire les matrices à leurs formes les plus simples ou formes canoniques, c'est-à-dire d'élaborer des pratiques de "transformations", de "réductions" des "formes", normées par un critère de "simplicité". Les résultats principaux énoncent des formes canoniques pour les relations d'équivalence, de similitude ou de congruence des matrices. Pour la relation de similitude, deux formes canoniques sont associées à un unique théorème de décomposition matricielle dont un énoncé est donné en encart 2 (dans la citation suivante, le symbole « . » représente la valeur 0) :

A =
B =
(13)

 

we may prove in the following manner that there exists a matrix H such that

HAH-1=B.

[Turnbull et Aitken, 1932, 2].

D'une part la matrice A, "forme de Jordan", est la forme la plus simple et donne une décomposition maximale ; d'autre part la matrice B, qualifiée de "forme rationnelle", est obtenue par des procédés effectif [6]. L'identité d'un unique théorème de décomposition en deux formes canoniques se décline sous une forme mathématique : on passe d'une forme canonique à l'autre par une méthode spécifique qui se caractérise comme une  combinatoire sur la représentation, sur la forme des matrices. Les premiers chapitres du traité de T&A développent une pratique algébrique de décomposition basée sur un caractère opératoire donné aux "sous-matrices" que l'on combine les unes avec les autres comme on le voit dans les extraits suivants :   

Matrices partitioned into Submatrices.

It is convenient to extend the use of the fundamental laws of combination for matrices to the case where a matrix is regarded as constructed not so much from elements as from submatrices, or minor matrices, of elements. For example, the matrix

can be written

A=

 

,

where

P =
Q=
R = [7, 8], S = [9].

Comme l'illustrent les extraits suivants et la démonstration du théorème de Jordan donnée en encart 3, un caractère opératoire est conféré à la représentation matricielle que l'on décompose en cultivant l'analogie avec les figures de la géométrie (on parle ainsi de rectangle, triangle, diagonale). La méthode matricielle se construit en articulant des pratiques combinatoires d'extractions de sous matrices, des décompositions polynomiales, un calcul symbolique des puissances de matrices, une arithmétique des lignes et des colonnes et le point de vue vectoriel de décomposition d'un espace en sous espaces stables par l'action d'une transformation linéaire.

Here the diagonal submatrices P and S are square, and the partitioning is diagonally symmetrical. In the general case there may evidently be n or fewer partitions row-wise or column-wise. Let B be a second square matrix of the third order similarly partitioned:

=

then by addition and multiplication we have

A+B =

AB =

as may readily be verified. In each case the resulting matrix is of the same order, and is partitioned in the same way, as the original matrix factors. For example, in AB the first element, PP1+QR1, stands for a square submatrix of two rows and columns: and this is possible, since, by definition, both products PP1 and QR1 consist of two rows and two columns. [']. Thus

PQ1 + QR1 =

giving the proper rectangular shape for the upper right hand minor. [Turnbull et Aiken, 5-6]

Les différentes démonstrations du théorème de Jordan, les applications à différents problèmes comme la recherche des matrices commutant avec une matrice donnée sont autant d'exemples de l'efficacité d'une pratique algébrique recourant à des formes, des images que Picard désignait encore en 1910 comme des "dessins" et qui, dans les années trente, envahissent les textes mathématiques comme dans les extraits ci-dessous du traité de T&A.  

 

=

[...] It is a help to form a staircase graphs of these chains as follows:

 

     
C=
 

   
     

 
       

β

Dans les années 1920-1930, les procédés opératoires portés sur la représentation matricielle sont l'objet de communications dans les congrès et de publications dans toutes les langues. Ces procédés fondent le caractère unificateur de la représentation matricielle à partir de pratiques algébriques auparavant distinctes, ils font de la théorie des matrices une théorie internationale qui participe à la réorganisation du savoir algébrique menée à cette époque avec l'élaboration de l'algèbre linéaire.

2. Les problématiques liées à l'histoire des procédés matriciels.

Les valeurs pédagogiques et les procédés pratiques mis en avant par des auteurs comme T&A peuvent surprendre venant d'une époque qui voit l'émergence de structures basées sur des nouvelles notions souvent qualifiées d'abstraites et unificatrices comme les groupes, les modules ou les vecteurs. Comme nous l'avons vu au paragraphe précédent, le caractère unificateur de la théorie des matrices dans les années trente est pourtant fondé sur des pratiques opératoires, qui, loin d'être abstraites, sont associées à une forme de représentation imagée. Pour cette raison, le problème de l'histoire des procédés matriciels est souvent passé inaperçu de travaux historiques focalisés sur les notions abstraites et structurelles de l'algèbre linéaire [7]. La représentation matricielle a d'ailleurs souvent été utilisée au sein des discours historiques comme une représentation inoffensive, naturelle, dénuée d'histoire [8]. Son histoire n'en pose pas moins une véritable problématique. Comment comprendre que la théorie des matrices canoniques s'unifie en 1930 autour de procédés opératoires alors que de tels procédés étaient déjà présents dans un mémoire de Cayley en 1858 ' Pourquoi cet écart de 80 ans ' Si l'on peut soupçonner que la notion de matrice du XXe siècle n'est pas la même que celle de Cayley, il faut alors poser la question des évolutions dans l'identité de la notion de matrice en portant notre attention sur les pratiques opératoires élaborées entre 1858 et 1930. Mais comment choisir les textes et les auteurs, sur lesquels porter notre étude ' Avant les années trente, le caractère opératoire de la représentation en tableau n'était pas identifié comme un problème mathématique. Au début du siècle, par exemple, le rapport de Picard sur la thèse de Chatelet (1910), consacrée à expliciter les pratiques du « calcul des tableaux », manifestait un grand scepticisme sur l'intérêt mathématique d'un travail de doctorat consacré à des « dessins ». Si le calcul des tableaux renvoyait déjà au temps de Chatelet à une tradition ancienne, forte des contributions de Cauchy, Hermite, Jordan ou Poincaré, les procédés associés restaient implicites [9]. Comment aborder l'histoire des procédés opératoires associés aux matrices alors que la représentation qui les sous-tend n'est pas identifiée comme problématique avant la théorie des matrices canoniques des années trente '

3. La méthodologie des réseaux de textes.

La méthodologie qui a été mise en 'uvre au sein de la thèse de doctorat dont cet article est issu repose sur l'établissement de réseaux de textes. Après avoir choisi un moment de référence, les années trente, une recherche bibliographique a été menée sur toutes les références des traités parus dans les années 1920-1930 [10] Ce premier corpus de textes a ensuite été complété par épuisement systématique des références bibliographiques. L'examen du corpus général obtenu a permis de fixer une périodisation, allant de 1850 à 1930, dont un découpage plus précis a nécessité d'étudier la manière dont les textes et acteurs des périodes considérées s'organisent en réseaux. L'analyse des références bibliographiques permet de distinguer des réseaux cohérents de textes, essentiellement distincts les uns des autres et ne correspondant pas globalement à des théories. Des graphes comme celui de l'encart 4 permettent de représenter les liens entretenus par les différents textes d'un même réseau, ils  montrent notamment l'existence de points de convergence, de n'uds, dans l'entremêlement des références bibliographiques. La méthodologie des réseaux permet de préciser la métaphore de la tresse appliquée à la notion contemporaine de matrice en introduction : les différentes pratiques qui s'entrelacent dans les procédés matriciels des années 1930 comme nous le voyons par exemple dans l'encart 3 (analogies géométriques, pratiques combinatoires, décompositions polynomiales, calcul symbolique, arithmétique, point de vue vectoriel etc.) sont élaborées souvent indépendamment les unes des autres et dans de réseaux distincts. Il faut donc décrire les conditions de ces élaborations avant de poser la question des communications, des convergences, c'est-à-dire de la manière dont des cultures locales se tressent et participent d'une histoire plurielle.

La seconde partie de cet article propose de suivre quelques fils de la tresse que constitue la représentation matricielle des années trente. Nous nous attacherons à l'examen d'un réseau particulier représenté en encart 4 et dont les points de convergence mettent en avant les noms de Sylvester, Cayley, Weyr ou Frobenius.

II. Une première origine : les travaux de Sylvester et Cayley des années 1850.

Les termes « matrice » et « mineurs » sont introduits par Sylvester en 1851 dans le cadre de travaux géométriques. Entre 1850 et 1851, Sylvester publie quatre mémoires consacrés au problème des intersections de deux coniques ou quadriques [11]. Ces publications successives permettent de suivre l’élaboration progressive d’une méthode qui se caractérise par une traduction de propriétés géométriques ou analytiques dans le cadre du calcul des déterminants. Les notions de « matrices » et « mineurs » apparaissent d’abord, pour reprendre les termes de l’auteur, comme des « résultats collatéraux » avant de devenir les principaux objets d’étude de Sylvester.

1. Origine des matrices comme mères des mineurs :
 les travaux de Sylvester [1850-1851] sur les intersections de deux coniques.

Le mémoire intitulé "On the intersections, contacts and other correlations of two conics expressed by indeterminate coordinates" [Sylvester, 1850a], publié en novembre 1850 dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, porte sur l’étude des différents types d’intersection de deux coniques. La caractérisation des intersections de coniques avait déjà a été traitée par Plücker en 1828 et l’originalité du travail de Sylvester réside surtout dans le recours au calcul des déterminants par opposition à la méthode analytique développée par les savants français de l’Ecole Polytechnique comme Hachette et Poisson (1802), Cauchy ou Biot (1826). Pour Sylvester, la méthode analytique traditionnelle est encombrée de la considération d’équations "arbitraires", au contraire du caractère intrinsèque du calcul des déterminants. Nous verrons que la nature des types de contacts de deux coniques U et V, « traduite dans le langage des déterminants », est liée à l'étude de la multiplicité des trois racines de l'équation |U+mV|=0 [12]. Mais il existe cinq cas d'intersections et seulement trois types de multiplicités des racines (3 racines simples, 1 double, 1 triple), les occurrences de racines doubles et triples nécessitent donc chacune l’examen de deux sous cas comme le détaille l’encart 5 (en version pdf). Afin de caractériser les cinq types d’intersection, Sylvester va comparer les décompositions algébriques du polynôme |U+mV| aux décompositions du déterminant |U+mV| en "mineurs" extraits d’une matrice [13].

  • Le problème des intersections de deux coniques U et V et la multiplicité des racines de l'équation |U+mV|=0.

Dans son premier article de 1850, Sylvester reprend à son compte la caractérisation faite par Cayley de l'intersection de deux coniques U et V comme formant un « quadrangle » comportant trois paires de cotés et quatre « sommets» [14].

 

 

Caractériser l'intersection des coniques revient alors à étudier la nature des sommets ou des paires de côtés du « quadrangle » (réels-imaginaires, distincts-confondus) :

If all the points of the quadrangle of intersection are real, the three vertices and the three pairs of sides are all real. If only two points of the quadrangle are real, one vertex and one of the three pairs of sides will be real; the other two vertices and two pairs of sides being imaginary. If all four points of the quadrangle are unreal, one pair of sides will be real and the other two pairs imaginary, as in the last case; but all the three vertices will remain real, as in the first case. [Sylvester, 1850a, 263].

Traduction, F.B.

Si tous les points du quadrangle d'intersection sont réels, les trois sommets et les trois paires de côtés sont tous réels. Si seulement deux points du quadrangle sont réels, l'un des sommets et l'une des trois paires de côtés seront réels ; les deux autres sommets et paires de côtés étant imaginaires. Si tous les quatre points du quadrangle sont non réels, une paire de côtés sera réelle et les deux autres paires imaginaires comme dans le cas précédent et, comme dans le premier cas, les trois sommets seront réels.

Toutes les coniques représentées par U+mV, avec m variable, se coupent en un même quadrangle. Le quadrangle lui-même correspond aux valeurs de m pour lesquelles la conique U+mV est une paire de droites, c'est-à-dire, en termes contemporains, une conique dégénérée du faisceau U+mV [15]:

Hence we have a direct and simple criterion for distinguishing the case of mixed intersection from intersection wholly real or wholly imaginary; namely, that the cubic equation of the roots of which coordinates of the vertices are real linear functions shall have a pair of imaginary roots. This is the sole and unequivocal condition recquired. The equation in question is, or ought to be, well k own to belass="normal1 prat ini ;es par U_i1038" width="66" />

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V" Symbol/span>
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VAB Si tous les poinfor distinguishing Ts du quad.anglep class="normal10"> Si tous les poin forme /cultuuortant no1or distinguishing/span>detd/div>r(U+1or distinguishing/span>Ih y lencart 5 (en version -ttp://culturemath.ens.fr/nodeimages/images/http://culturemath.ens.fr/nodeimages/images/http://culturemath.ens.fr/nodeimages/images/http://culturemath.ens.fr/nodeimages/images/http://culturemath.ens.fr/nodeimages/images/encart5.pdf" target="_blank">pdf). Afin de caractériser les cinq types d’intersectionmet de ">moniques. La caractéU+mV| aux décompossymboliquemand scepticismte;jà a ationa multiple quadraf=μVlyn&es de Apr&ebrente.rre &e>mVnc cpe intricalcul des détermina/sub>ae deux .

< class="tl ons danracines de l'&eac1. Origine C la théc de &laqaire faite parute;om&eatiques op&eacuaved_href="#13" href s d’une matric |U+1or dispan>ee Jordacuute;e ma dref="#7"ux&nbi> etgrave| aux d&eit Symbol; ">m matrice&eacu x coniquesacute;mommets ou (iques te;e d&or dispan>detd/div>r(U+1or dispan>ute;ratto beU+t, hxtl be wat ne d&e. Thx">abtuess="noe, w Aftdlettes=ll havserveheole lte;jcrizes="noe, fmet39;untradu&ar p;t50a TIn:#FF66way hxtbecrsuoca luieti sear p;tradu.ass="idtpyierU_i1038hiblnc chacuotoqhimrs of ry rofor the ussue "color:ot; [Sylvesev"cy"> produc ies deduc kinuot ver/culde mult;betwe;r&estyocirletioféecaption" stsltues graphl or ore lte;jcriren0a,lby l&dtyle="textr:ot; [Syltoes treed_h&estyo lte;jcriren0a,lf&ea the estyo lte;jcriren0atsoeabtues d,ecaption" "cologeome |=0.div>rsfIf aliv>rsfIf ]: V" Symbol dthi sear p;tradutbetwe;r&estyloci=ll hav de anglensist oV div>rsfIf aliv>rsfIf ]: http://culturemath.ens.fr/n"">l" Symbol/span> V" Symbol dthi sear p;tradutefle=itreaf&eacestyo lte;jcriren0at:redi>| detd/div>rsfIf alivr="0" ishing (U+10"> V" Symbol/span> )" Symbol rs aliv>rsfIf ]: http://culturemath.ens.fr/n"">l" Symbol/span> . Suhava e and unqf thl conter,e equ,tle=uoca">[1tions norml::#FF66wculdeoeemdiv le tase. ter, dthi sear p;tradu,=llnbs. Fweth="66" />he verticrpairs note;m Foranll bes> dthi sear p;tradut> produc betwe;r&eer, 1850a. Acca paiglyeh= sh willinuthe ve,lassres asiv caption" "colo#hé tao lte;jcrslvesen st dthi sear p;tradu,=l= mustylook beyothe throcirletiocaption" st,lf&eate; n" "uteo in tquot; [Sylvestestiev"colosye pmsimaginte;ecaption" stslt ver/anlbolnt teea the di>|=0.div>rsfIf aliv>rsfIf ]: V" Symbold> | l" Symbol/span> V" Symbol Si tous les points du quad.angle d'intersection sont r&eacuD qui, dansr stysouo;unbsp(n de deux coniques U

[14]. encart 5 (en version pdf). Afin de caractériser les cinq types d’intersectionIlve| aux d'n&es de laatiqueer&eacutcalcul dee, t&eacngnt test-, w Afce &rae9;untns abstraith.ens.fr/coe;tudn du iblont

rsquoultipl des rressenteqla rechde ochy, Herm paire deseacu4"p;tradu.aIlvent/v&ifoaires de tre atteation de < clus le voyons par exeacn du th Pl&uuenant dle est issmmoniques. s praduiteasommets ou producitauteurlt.ens.fr/contion" stytues graphes cpar les savanmte;jà a ation3 racisur les iniogrcu4"p;treed questionmte;jà a ationiti Syens.fr/contion" &lfns lem matricielle à pacalcul des détermi l gr;se de Cho; traduultues graphes etend nnmte;jà a ationit50 &ag > mg le recours tauteurltyle=" s d’une matricy> f="#15" href="#15">[15grave;-direl" SymboVn stydnoute;stues graphri l gr;se de Cho;&p://cultur [1850-1851] es praduitauteurmêd nnmte;jà a recours itspan styangleute;quations typesarticfterse que l[1850 ees /spuisarticsupot; es mg le recours tauteurltyle=" w Roman&quoue l gr;se de Cho&p://cultur [1850-181] es pradu éet (1910), consionmte;jà a ationit des racines de l'équation sistoire ll ines (3estersavel;unbs;oriesdetd/div>r(U+1or dispan>: http://culturemath.ens.fr/n"">l" Symbot Caylt&eac=ll ines Vp> sioe;es s racoumg l ca>. equadranglpas idenn du th ntembientes nrdenn du th ;renceyottp:rendre qds int gr;se de Cho; traduul> producion, Syens.fr/contion" &lricielle à pa#héf hima v gr;se de Cho tradu,sarticdevth.ens.f&quosommets qet39;untclulaqain du th ntemdont les textns, unU+mqugaes asau-del#39;[15grave;-direl" SymboVelaqu seros. L&> et la ble, 1 les in/cultuusucute;e &squo;Ecolne matricy> f="#15" href="#15">[15]: onique U+Sylvester va comparer les La caractérseacute;s des racines (3tues graphes cpar les s de proTimes NeV| aux décompssymbolique|=0.[15]: onique U+ller >[14]. [14]. et la ble, 1 les i d’abordem>Ue sitn reacute;ues s&# /sup> silaie;es -4-2506" href="http://culturemath.ens.fr/content/encart-4-2506">encart 5 (en version pdf). Afin de caractériser les cinq types d’intersection faite par qui l ochy, Hermphima vaquoitrois paires de c&olamV| aux décompse_saved_h/s. L&> et la ble, 1 les i " href 9'entrpublian>V|=λV1or dispan style="nod| " Symbol H6"efor distinguFR-BE">[16]" Symbol a/b h.elaquLeeseacu4">[14]. |=0.div>rsfIf aliv>rsfIf ]: http://culturemath.ens.fr/n"">m" Symbol/span> V" Symbol rsfIf aliv>rsfIf ]: onique U+,=ll havmakesp[Sylvesse rmal10inte;slzero,; buatquestirsrs alivspan style="8">detd/div>rsfIf alivr="0" ishing (U+10"> V" Symbold> produc res asshacutmagubsmatrolunass=def&eacesveriu,terey0ieeu&inll be &quoecule trc;t&ea Traduction, F.B.1 Si tous les poinfor distinguishing Ts du quad.anglep class="normal10"> Si tous les poin de Chsquo;Ecolne matricy> f="#15" href="#15">[15grave;-direm" SymboV e=" ">mg l cie;mommets ou sNex"uchhiqueon frm ma,cas, les troio&uy, Hermth iersaved_href=" ">mg l cie;mommets ou cute; dp;tradu&eacer latique rescutelocales se tressent et plamot;Times New urbnbs50. sne paire desix tyle="lsur les insf="#7" nrohiqueon traration desommesyurplamot;Times Ne>m pour lesquellgrave;-direm" Symbo, point de vue detd/div>r(U+1or dispan> e alurn&es de nbspd_href sous can stp;tradu&eamommets ou sNrn&es de termr latique rescuqain du th ntem> produc nicationt

te;r&deh de tertroio&uy, Herm&eacngsNrnit39es pll th cie;mommets ou sNeacunn'es lecailleat iôt&eac&quosommets sulef .="normal10"> Si yle="2p://culturemath.enrave;-dire&middr/nulturemath.enll t:7src= http://culturemath.ens.fr/nasnce, dnce, dnce, dnce, dnce, dnce, d="normal10">G="Symbol; ">mmtion lref="nsist ontion rgeumnuation ilase;neqlassitselfr Cayl, comaocaption" st,lse. iu,t clatpw bs,t diffriacout shall havl= maThflema luirticsye pmsimagcaption" stslbydontl orupe al nuth" Sep>n styles a.nce, draduction, F.B.1 Si tous les points du quad.angle d'intersection sont r&eacu
mtion lrgns;oriesforme squo;Ecolnurere du alytique dévdu le p<&ep>e" Sep>n stylesre.nce, draduction, F.B.1 mr [1850-181] er1 les in;&eae; dsquo;Ecolne matricytormal10"> H7">[17e have a direct and simple criterion for distinguishing I" Symbold> Vrc;mnu é="text-,gembrecaption" stslbcl orbydno0ieute;ismaa.0p:ute="tirtr:ot; [Syltoey, a tee ve,lse. &ebjcin toesertuession frolawsimagiutrmlhdects.cunevsection trarertihdectriquad.aT"noe, w Aftdl Cayl, cot; [S areanyi uhavrntrox, ccca paig toemich uesitdlVqueermaphlanues te;e , case; bt" style="text-align:center"> &0" height="170" src="http://cuimages/images/2466/imag433.jpg" v:shapes="_x0000_i1043" width="422" />
<5ub> Rer rer rs A#00CCFF">vectoriels nics exe1rm ma. ThTatocpmsimagDaption" s uffirmthe verticeSeptersrutytyleon if&eacyoes te;e d dtihll haven-m&esauyltoes mbi, a theettet&eacs exqug trnimagulgebraulo bspy aby indear&estyirs Si tous les points du quad.angle d'intersection sont r&eacuJf="#7"iacéfiniet &eacuelaboration pis sommets seront r&eacueacuelf="#7iffricecute;r/cremacuelsli&eaescht et la ble, nalytique dévpeuute;sp forme e, avec forme ismare du s, less inr:ot; [Sylésdes trois racindent intulsnes su"> chy, Hermpertuesdeci2.0pt et trle, nalytiquects.-nho&iutrédf="#7" nrot; [S si1 traration de< d&ea"wnous attacherons &ag-, w Afce &ve;els t&eac=rntrodu,r Cayle&trentees te;e dairejf="#7"iacée Polytechnique inctes, ils fonc distLeaVqueermaphidtsNrne="text-align:center">
<6ub>e s, lessyi> Rer rer rs A#00CCFF">vectoriels rqehde oxrautcalcul dee, Spottiswoth=, poiThalcul desrL&> et la blsommets lation desomm autreacute;mo9;étude de lul m
e et l Symbol; vte;rsipl dearhde ochy, Hermaqu&epacute;om&eorutcalcul dee, ntees te;e dre
desa caractéieleacute;res. L&> et la cke_snlux;e sytormal10"> H8odehttp://cultuques U dess d’une matricysieonacuelition> et lbrquo;te;els&ition> et lbrq,e; dpnm> de&eacpquo;ucu4"p;Ibn" &letge sommets e;es ss="qalcul des tratiee;&nbsopacute;om&acompositions du détc=rnni. Nous verrioniotilaqchy, Herme;els&ition> et lbrq &eac=rux valeurs disarticdisp Afeteasyapacute;om&acomposp://cultur [1850-1851] ee;els&i#00CCFF">vectorielye="text-alilass="StyleNotedebasdepage12pts s&# untcluian>Vp://c&eac,tarticsyuvth.ean> rqecrVaicui> iques op&eacurntrodu U+t, de l'intet danse r rz Sduction, Fnglenqui lrecours e ad n&ation deid&easyre
dess d’une matricyttger lap://cultur [1850-18sommede l' le cuela"Str de spacute;omciftionVaii ://culti l ut g&ecutble, 1 les inpar les s de V| aux décompssymboliqueSyqalcul desoudeurlt.V et la mutecalcul decomme&eacunc chacunevestquo;examnmte;jà a ationit1 triplelul Sylvester va comparer les aquo;&nte;s des racines (3er lano6.fr/8 5 (en version . et V et la mtisation, allant de 1ess d’uno et la bnce, dee, 1 les in ut g&ecde dece; unp;dsquo;Ecolne matricysud&inteate;r&du qud="sat5, lub>:smagt;&isat5, lte;s desallant dee foree, comsyurplames op&eacurntrodu. " St1:me
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