Le principe de la méthode par "exhaustion"
Publié le 15/12/2008
Article principal: Archimède

Bernard Vitrac (CNRS - EPHE)



Les démonstrations dites par exhaustion ont une structure logique forte. Elles visent à établir l'égalité de deux figures, F1 = F2 ou l'identité de deux rapports, F1 : F2 :: F3 : F4. Pour ce faire, on fait l'hypothèse que l'on a par exemple F1 > F2 (ou F1 : F2 :: F3 : F avec F > F4) et l'on montre qu'on aboutit à une contradiction.


On procède de la même manière à partir de l'hypothèse F1 < F2 (ou F1 : F2 :: F3 : F avec F < F4).
On en déduit le résultat cherché au terme d'une double réduction à l'impossible.
Bien entendu il faut être capable de produire des contradictions incontestables. Dans les résultats de quadrature et de cubature, il s'agit souvent d'une conjonction de type A > B et  A < B. C'est pour obtenir ce genre d'inégalités qu'Archimède fait usage d'un lemme, selon lui comparable à celui qu'utilisait Eudoxe.


Dans la Sphère et le cylindre,  il l'énonce comme suit : « Parmi les lignes inégales, les surfaces inégales et les figures solides inégales, l'excès dont la plus grande dépasse la plus petite, ajouté à lui-même, est capable de dépasser toute grandeur proposée parmi celles qui sont comparables entre elles ».


Nous ignorons comment s'exprimait Eudoxe. Nous pouvons simplement relever que dans les preuves par exhaustion du Livre XII des Éléments,  Euclide utilise le résultat suivant :
« Deux grandeurs inégales étant proposées, si de la plus grande est retranchée une grandeur plus grande que sa moitié, puis du reste une grandeur plus grande que sa moitié, et que ceci soit toujours poursuivi, une certaine grandeur restera, laquelle sera plus petite que la plus petite grandeur proposée »,


établi dans la Proposition X. 1 à partir de la Définition V. 4 :
« Des grandeurs sont dites avoir un rapport l'une relativement à l'autre quand elles sont capables, étant multipliées, de se dépasser l'une l'autre ».
En simplifiant on peut dire que ces trois énoncés ont substantiellement le même contenu mathématique. En termes modernes, il s'agit d'affirmer que les grandeurs géométriques d'un même genre (lignes, surfaces, volumes) constituent des ensembles ordonnés archimédiens.

 
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