Nombres des polyèdres réguliers

 

 

Bernard Vitrac (CNRS - EPHE)

 

 

Pour déterminer les différentes possibilités de construction d'un solide régulier il suffit d'examiner comment constituer ses angles solides. Ceux-ci sont composés par des angles plans appartenant aux faces des polyèdres, donc, si ceux-ci sont réguliers, à des figures planes régulières. De plus, pour avoir un angle solide, deux conditions sont requises :

• il faut que la somme des angles plans constituant l'angle solide soit strictement inférieure à quatre angles droits (360°), c'est-à-dire le total des angles que l'on peut former dans le plan autour d'un point donné. En effet si on veut faire un "patron" d'angle solide, il faut obtenir par recollement quelque chose de "creux" dans l'espace et non pas un plan.

• pour avoir un angle, c'est-à-dire un "coin" (et pas seulement une pliure du plan ou dièdre) il faut au moins trois figures planes.

Ces deux conditions limitent sévèrement les possibilités. Supposons que nous choisissions l'hexagone régulier comme figure plane de base. Son angle vaut 1 droit et un tiers (120°). Puisqu'il en faut au moins trois pour avoir un angle solide, on aura une somme égale à au moins 3 fois 1 droit et un tiers, soit quatre droits. On ne peut donc pas construire un angle solide composé à partir d'hexagones réguliers. Clairement le même raisonnement sera a fortiori valide pour des heptagones, octogones … Il ne reste donc que trois possibilités de figures planes régulières :

1- le pentagone. Son angle vaut 1 droit et un cinquième (108°). En en prenant trois nous aurons une somme de trois droits et trois cinquièmes (soit 324°), inférieure à quatre droits. Mais on voit qu'on ne peut pas en prendre 4.

 

2- le carré. Son angle vaut exactement 1 droit; là encore on peut en prendre trois mais pas 4 (on aurait une somme égale à 4 droits).

 

3- le triangle équilatéral. Son angle vaut 2/3 de droit. On peut donc en prendre 3, 4 ou 5 mais pas 6 (car 6 fois 2/3 de droit vaut exactement quatre droits).

 

 

 

Il y a donc au plus cinq polyèdres réguliers : un dont l'angle solide est composé de (3) pentagones, un dont l'angle solide est composé de (3) carrés, trois un dont les angles solides sont composés de 3, 4 ou 5 triangles équilatéraux.

 
 
 
 
 
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