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De nos jours, nous sommes entourés d'ordinateurs : des ordinateurs dont tout le monde est d'accord pour dire que ce sont des ordinateurs, mais aussi les smartphones, par exemple. Cela pourrait choquer les personnes qui ne se sont pas intéressées au problème de définition de ce qu'est un ordinateur. Mais un ordinateur est simplement un objet physique capable d'implémenter tout ce qui est calculable, et la question mathématique de savoir ce qui est calculable a précédé et même alimenté le développement de ces ordinateurs physiques. En cherchant à répondre à ces questions, les mathématiciens ont découvert des propriétés étonnantes vérifiées par ces ordinateurs théoriques et donc aussi leurs implémentations physiques, alors même que ces dernières n'existaient pas encore ou commençaient à paraître.
Un résultat fondamental de ce domaine de recherche, appelé théorie de la calculabilité ou encore théorie de la récursion, est le théorème de récursion de Kleene et ses variantes.
Le but de ce texte est d'expliquer, dans un premier temps de manière intuitive, la signification de ce théorème et quelques-unes de ses applications.
Théorème de récursion de Kleene
Auteure : Ghazal Kachigar
Ghazal Kachigar est doctorante en mathématiques-informatique à l'université de Bordeaux et membre du comité éditorial de CultureMath
Éditeur : Frédéric Jaëck.
Sommaire :
1. Introduction
2. Comprendre le théorème de récursion de Kleene
2.1 De quoi est fait un ordinateur
2.2 Théorème de récursion de Kleene
2.3 Deux conséquences
3. Formulation mathématique
3.1 Une définition de la calculabilité
3.2 Vers une preuve des théorèmes de récursion de Kleene
...
Stephen Cole Kleene est un mathématicien et logicien américain, né le 5 janvier 1909 à Hartford (Connecticut) et mort le 25 janvier 1994 à Madison (Wisconsin).
Kleene est connu pour avoir fondé la branche de la logique mathématique qui porte le nom de théorie de la récursion, en collaboration avec notamment Alonzo Church, Kurt Gödel, Emil Post et Alan Turing, et aussi le lambda-calcul avec Alonzo Church et John Barkley Rosser. Il est également connu pour avoir inventé le concept d’expression régulière et de langage régulier.
Stephen Cole Kleene
(1909-1994)
Auteur: Frédéric Jaëck
Cette note accompagne un article principal de Ghazal Kachigar sur le fameux théorème de récursion de Kleene.
Stephen Cole Kleene est un mathématicien et logicien américain, né le 5 janvier 1909 à Hartford (Connecticut) et mort le 25 janvier 1994 à Madison (Wisconsin).
Kleene est connu pour avoir fondé la branche de la logique mathématique qui porte le nom de théorie de la récursion, en collaboration avec notamment Alonzo Church, Kurt Gödel, Emil Post et Alan Turing, et aussi le lambda-calcul avec Alonzo Church et John Barkley Rosser. Il est également connu pour avoir...
Une enquête pour mieux connaitre nos lecteurs/utilisateurs
Vous êtes nombreux à utiliser notre site et il est important pour nous de connaitre vos usages et attentes, que vous soyez enseignants ou non. Nous avons donc volontiers accepté la proposition du programme de recherche ReVEA de mener une enquête anonyme pour mieux appréhender vos usages effectifs et recueillir votre avis.
Le programme de recherche ReVEA s'intéresse à la manière dont les enseignants cherchent, trouvent, s'approprient, exploitent, transforment, mutualisent, créent sans cesse des ressources. Ce projet associe des équipes de plusieurs établissements, dont l'ENS de Lyon. Un questionnaire anonyme sur l'utilisation de...
La théorie des nœuds présentée
Eva BAYER-FLUCKIGER
Nous vous proposons une conférence de l'Université de tous les savoirs sur la théorie des nœuds. On peut aussi lire le texte de la conférence en cliquant sur le lien.
Résumé de l'auteur : Le but de cette conférence est de présenter l'évolution d'une discipline mathématique, la théorie des noeuds, depuis le milieu du XIXe siècle jusqu'à nos jours. À travers l'exemple de la théorie des noeuds, j'aimerais aussi faire découvrir au grand public certains aspects de la recherche en mathématiques. Les questions fondamentales sont souvent simples...
Conférence 2
Littérature et mathématiques
par Stefan Neuwirth
Un cycle de conférences données à Lyon dans le cadre du Forum mathématiques vivantes en Mars 2017.
Les vidéos ont été réalisées par la Maison des mathématiques et de l'informatique à Lyon. Vous pouvez retrouver de nombreuses autres vidéos sur leur site ainsi qu'une riche collection de contenus et d'activités pour tous les niveaux. N'hésitez pas à leur rendre visite !
Cette vidéo fait partie d'un cycle qui en comportera 5 que vous pourrez retrouver sur CultureMath.
Dans quelle mesure les mathématiques utilisent-elles les...
L’avènement du premier empereur chrétien, Constantin — fondateur de Constantinople dans la première moitié du IVe siècle — marque une rupture dans l’histoire, consommée dans les années 390 avec la partition de l’Empire en deux : Orient et Occident. Si les intellectuels chrétiens s’absorbent dans la définition du dogme et la chasse aux hérésies, quelques rares mathématicien(ne)s — païen(ne)s pour la plupart — continuent de cultiver leurs spécialités. Les contributions mathématiques originales se font rares, mais le mérite de ses érudits est d’avoir assuré la sauvegarde (d’une partie) du patrimoine antique et permis sa transmission ultérieure aux mondes médiévaux byzantins, arabes puis latins …. Rééditant et annotant les écrits classiques, infatigables commentateurs, ils ont cherché à les rendre accessible à un public d’étudiants parfois mal préparés. Ils ont posé les premières pierres de la démarche scholastique. Dans ce monde troublé, quelques contributions — celle de Proclus (410-485), en ce qui concerne la philosophie de la géométrie, ou celle des mathématiciens-architectes de l’époque de Justinien (2e quart du VIe s.) — méritent notre respect.
Mathématiques et traditions lettrées dans l'Antiquité tardive
Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)
Editeur : Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH)
SOMMAIRE
Introduction
Les derniers mathématiciens alexandrins
Les mathématiques comme pratique lettrée
Les apports de l'Antiquité tardive
Figures
Figure 1 : Lécythe attique (vers 430 avant J.C.)
Figure 2 : Manuscrit du commentaire de Proclus au premier Livre des Éléments
Figure 3 : Manuscrit de la Collection mathématique de Pappus et frontispice de l'édition de Commandino
Figure 4 :...
On illustre ici comment faire des tableaux de signes ou de variations en LaTeX.
Comme dans tous ces articles il ne s'agit que de donner des exemples élémentaires et on trouve sur Internet mille façons d'adapter les choses pour qu'elles ressemblent précisément à ce que vous désirez.
Ici, mais ce n'est pas la seule solution, on utilise TikZ :
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ / 1 , $\cos(x)$ / 1, $\sin(x)$ / 1.5}{$0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$}
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/ 0, +/ 1, -/ 0}
\end{tikzpicture}
\tkzTabInit définit dans la première accolade la première colonne et les hauteurs des lignes en cm :
{libellé / hauteur , etc.}
La seconde accolade définit les...
Conférence 1
Les machines sont-elles analphabètes ?
par Julien Velcin
Un cycle de conférences données à Lyon dans le cadre du Forum mathématiques vivantes en Mars 2017.
Les vidéos ont été réalisées par la Maison des mathématiques et de l'informatique à Lyon. Vous pouvez retrouver de nombreuses autres vidéos sur leur site ainsi qu'une riche collection de contenus et d'activités pour tous les niveaux. N'hésitez pas à leur rendre visite !
Cette vidéo est la première d'un cycle qui en comportera 5 que vous pourrez retrouver sur CultureMath.
Les modèles mathématiques et les...
Yves Meyer s’est vu attribuer mardi 21 mars le prix Abel de mathématiques (on trouvera une liste de lauréats à la fin de cet article). M. Meyer, 77 ans, est récompensé « pour son rôle majeur dans le développement de la théorie mathématique des ondelettes », a annoncé l’Académie norvégienne des sciences et des lettres.
Yves Meyer, lauréat du prix Abel
Récompense internationale pour le chercheur français
Yves Meyer s’est vu attribuer mardi 21 mars le prix Abel de mathématiques (on trouvera une liste de lauréats à la fin de cet article). M. Meyer, 77 ans, est récompensé « pour son rôle majeur dans le développement de la théorie mathématique des ondelettes », a annoncé l’Académie norvégienne des sciences et des lettres.
Yves Meyer est un ancien élève du lycée Carnot de Tunis ; il a obtenu le premier prix au concours général de grec et de mathématiques. Ancien élève de l'École normale...
Résumé. L’objet de cet article est le problème posé par l’évaluation aux entiers naturels de la fonction zêta et de cinq autres fonctions qui lui sont naturellement associées. Une approche relativement élémentaire est présentée, qui met ce problème encore partiellement ouvert en relation étroite avec quatre thèmes de parité : les notions de parité d’une fonction et de parité du degré d’un polynôme rejoignent ici les distinctions de parité concernant tant l’argument entier des six fonctions considérées que les entiers dont certaines puissances inverses sont sommées.
Auteur : David Pouvreau1
Editeur : Arnaud Begyn. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm) et l'auteur. Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.
L'auteur tient à remercier Rémy Eupherte pour sa relecture attentive et les échanges autour de ce travail.
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