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Le problème de la quadrature du cercle, à savoir, le problème de construire un carré ayant même aire que celle d'un cercle donné, restait un problème ouvert parmi les mathématiciens du début du XVIIème siècle. René Descartes (1596-1650) en donna une solution dans les années 1625-1628 dont il déclara lui-même qu'elle n'était pas acceptable. Cet article examine cette solution, en s'appuyant sur une analyse donnée un siècle plus tard par Euler ainsi que sur une solution connue depuis l'antiquité et rapportée par Pappus. On s'interrogera ensuite sur les raisons qui ont amené Descartes à exclure les deux constructions en tant que non acceptables, par rapport à l'idéal d'exactitude explicité dans La Géométrie (1637).
Utilisation en classe – Une lecture commentée de certains passages de cet article peut certainement être envisagée dans une classe des cycles S ou L (option « maths »). La seconde partie offre une ressource qu’il serait  possible d’utiliser comme base pour une activité faisant intervenir la somme des termes d’une suite géométrique, ceci autour d’une configuration géométrique visant à  rechercher une solution au problème de la quadrature du cercle.  La discussion de la troisième partie concernant la recevabilité et l’exactitude de la construction géométrique d’une courbe offre un thème qui pourrait faire l...
Bien que ses développements l’aient conduit au-delà de ces premières intentions, la théorie de la récursion a pour but d'étudier les fonctions (mécaniquement) calculables..
La Thèse de Church-Turing   Auteure : Lény Oumraou, Docteur agrégé de philosophie Bien que ses développements l’aient conduit au-delà de ces premières intentions, la théorie de la récursion a pour but d'étudier les fonctions (mécaniquement) calculables. Bien que ses développements l’aient conduit au-delà de ces premières intentions, la théorie de la récursion a pour but d'étudier les fonctions (mécaniquement) calculables. Les fonctions (partielles) calculables sont, d’un point de vue informel, des fonctions définies sur une partie de Nk (k ∈ N ), et dont les valeurs (dans N) peuvent être d...
Après la floraison des IIIe-IIe siècles, les institutions savantes alexandrines, confrontées aux incertitudes politiques et aux querelles dynastiques, connaissent une éclipse. Les recherches mathématiques se poursuivent sans doute ailleurs, notamment à Rhodes, mais, semble-t-il grâce à l’intervention puis la protection des Romains, l’ancienne capitale des Ptolémées va connaître un nouvel âge d’or mathématique. Trois grandes figures dominent les deux premiers siècles de notre ère : Ménéalos, Ptolémée et Héron. Leurs travaux reprennent, corrigent et développent ceux de leurs prédécesseurs de la première période alexandrine, notamment dans les domaines où la géométrie trouve ses applications les plus efficientes : astronomie, optique, mécanique.
Le renouveau d'Alexandrie à l'époque impériale Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)   Editeur :  Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH) SOMMAIRE Introduction Ménélaos d'Alexandrie L'astronome Ptolémée et la table des cordes Héron le mécanicien Encarts Encart 1: "Calculer" les cordes Encart 2: L'algorithmique géométrique   Figures Figure 1: La bibliothèque de Pantainos à Athènes Figure 2: Alexandrie : vestiges d’une salle de conférences Figure 3: Longueur d'une corde...
Les Coniques d’Apollonius de Perge constituent l’un des sommets de la géométrie grecque ancienne. Rédigé, après un premier essai, en huit Livres, leur destinée fut cependant moins heureuse que celle des Éléments d’Euclide. Seuls les quatre premiers Livres — selon l’auteur ils exposent les “éléments” de la théorie — ont été conservés en grec, dans la réédition qu’en procura, à la charnière des Ve et VIe siècles de notre ère, Eutocius d’Ascalon. Les Livres V-VII furent préservés grâce à la traduction arabe qu’en fit Thâbit ibn Qurra mais ils restèrent inaccessibles et excitèrent l’imagination des mathématiciens d’Occident pendant plusieurs siècles. Dès l’Antiquité, la rigueur et la généralité du traitement apollinien avait été reconnues et avait fait disparaître les écrits antérieurs. Seules quelques bribes d’information, quelques conjectures hasardeuses concernant la découverte des coniques nous ont été transmises par Pappus et Eutocius.
Apollonius et la tradition des coniques Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)   Editeur : Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH)   SOMMAIRE Introduction Une querelle de priorité Archimède et Apollonius Les premiers Eléments des coniques Ménechme, l'inventeur des sections coniques? La génération des coniques selon Aristée L'approche d'Apollonius Encarts Encart 1: Le corpus dit « du lieu analysé » Encart 2: De l'analyse à la synthèse Encart 3: Les symptomata des sections de cônes selon Aristée (?) Encart 4...
Archimède de Syracuse est incontestablement le mathématicien grec le plus célèbre et le plus admiré. Il est le seul des géomètres non philosophes à qui l’on ait consacré, dès l’Antiquité, une biographie. Mais ce sont ses prouesses techniques qui furent célébrées, plutôt que ses écrits géométriques. Plusieurs d’entre eux résolvent des problèmes non triviaux de quadrature (segment de parabole, cercle et spirale) et de cubature (sphère et cylindre, sphéroïdes et conoïdes). Ils complètent les travaux d’Eudoxe de Cnide qu’Archimède s’était choisi comme précurseur. Le Syracusain va plus loin lorsqu’il combine mécanique (théorie des centres de gravité) et géométrie mais sa célèbre Méthode, peu diffusée dans l’Antiquité, faillit disparaître.
Archimède Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)   Editeur : Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH)   SOMMAIRE Archimède Ingénieur ou géomètre? Archimède à Alexandrie? Le disciple d'Eudoxe Le cercle et la spirale Encarts Encart 1: Le principe de la méthode par "exhaustion" Encart 2: Exemple de preuve par "exhaustion" Encart 3 : "Ce qui fait défaut, c'est la méthode !"   Archimède             En 264 avant J.C., sous un prétexte futile,...
La grandeur (ou taille) n’est qu’une des caractéristiques de la figure, que la mesure s’efforce de déterminer. L’autre est la forme avec ses problèmes de similitude et de construction de figures considérées comme “régulières”. Celles des cinq solides inscriptibles dans une sphère qui clôturent les Éléments en est l’exemple le plus célèbre. Le chapitre VI leur est consacré. Toute proportion gardée, les sources anciennes sur ce thème ne sont pas rares, même si nous ne connaissons pas vraiment les circonstances détaillées qui sont à l’origine de cette étude associée à beaucoup des noms célèbres de la géométrie et de la philosophie grecques : Platon, Théétète, Euclide, Pythagore, Archimède, Zénodore, Apollonius, Hypsiclès, Ptolémée Pappus … C’est en vue de la construction et de la comparaison de ces polyèdres qu’Euclide introduit sa monumentale classification des irrationnels et la non moins célèbre « section en extrême et moyenne raison » (dit “nombre d’or”).
Construire et comparer: les solides réguliers Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust Nicolaus Neufchâtel (1527-1590) Leçon de Johannnes Neudörfer à son fils sur les polyèdres réguliers. Dans sa main gauche un dodécaèdre.       SOMMAIRE Pythagore ou Théétète ? Les solides réguliers : un thème classique La notion de régularité Encarts Encart 1: Nombres des polyèdres réguliers Encart 2: Deux manières de construire l'icosaèdre : Euclide versus Pappus Encart 3: Platon et les polyè...
La mesure des figures ou la détermination de points inaccessibles à la mesure directe étaient souvent considérées par les Anciens eux-mêmes comme l’origine de la géométrie. Tout naturellement les noms des (hypothétiques) pères fondateurs, Thalès et Pythagore, leur étaient associés. Les Éléments d’Euclide représentent déjà une élaboration sophistiquée des théorèmes susceptibles de justifier de telles procédures. Dans cette optique,  le chapitre V propose une lecture du premier Livre du traité euclidien: établir les fondements de la mesure des figures rectilignes. L’analyse régressive du théorème de l’hypoténuse (dit de Pythagore, I. 47-48 chez Euclide) fournit une justification de l’insertion des principaux constituants de l’axiomatique euclidienne.
Mesurer et démontrer Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Arpentage et géométrie De la quadrature des aires rectilignes au théorème de l'hypoténuse La démonstration euclidienne du théorème de l'hypoténuse La preuve de la Proposition I. 35 Géométrie de la mesure et fondation logique Figures Fig. 1: Ostrakon d'arpentage Fig. 2: Procédure des arpenteurs Fig. 3: Tunnel d'Eupalinos Fig. 4: Agrimenseurs Fig. 5-6: Quadrature de figures rectilignes Fig. 7 : Tablette cunéiforme Plimpton 322 Fig. 8 : Euclide, Él...
En France, l’enseignement mathématique dispensé à l’école primaire est l’objet d’un fort renouvellement en 1970, avec l’introduction des «mathématiques modernes». La démocratisation de l’accès à l’enseignement secondaire, qui modifie en profondeur la fonction même de l’école primaire, d’une part, et la volonté de rénovation de la discipline elle-même, depuis la maternelle jusqu’à l’université, d’autre part, conduisent à reconfigurer un champ disciplinaire jusqu’alors principalement centré sur des pratiques opératoires renvoyant à la vie quotidienne ou professionnelle. Cette contribution se propose d’examiner les raisons qui ont motivé l’introduction des « mathématiques modernes » dans l’enseignement primaire en 1970. On y détaille ensuite le processus d’élaboration de la réforme au cours de la décennie 1960, en précisant le rôle des différents acteurs, collectifs ou individuels, qui s’y sont impliqués.  
Du calcul aux mathématiques ? L’introduction des «mathématique modernes» dans l’enseignement primaire français, 1960-1970 Auteur : Renaud d ’Enfert, IUFM de l’académie de Versailles, Groupe d’histoire et diffusion des sciences d’Orsay, France - renaud.denfert@u-psud.fr Cette contribution s'inscrit dans la recherche collective «Réformer les disciplines scolaires : acteurs, contenus, enjeux, dynamiques (années 1950-années 1980)» (REDISCOL) soutenue par l'Agence nationale de la recherche (ANR). Elle doit paraître dans les Actes de l'Université d'été de Prague de juillet 2007 (ESU 5). Nous remercions les éditeurs, E. Barbin...
Ce texte est issu d'une conférence à deux voix sur l’enseignement des mathématiques en France et en Allemagne donnée en anglais par H. Gispert et G. Schubring à Prague en juillet 2007. Son but est de montrer combien l’enseignement mathématique – son organisation, ses contenus, ses fonctions - dépend du temps et du pays où il est donné. Nous présenterons ici, assez succinctement, ce qu’il en a été en France de l’enseignement moyen et long des mathématiques dans les trois premiers quarts du XXe siècle.  
L’enseignement des mathématiques au XXe siècle dans le contexte français     La version anglaise à deux voix sera publiée dans les actes de la 5e Université d'été européenne sur l'histoire et l'épistémologie des mathématiques dans l'enseignement (ESU-5)   Auteure : Hélène GISPERT Université Paris Sud - helene.gispert@u-psud.fr   I. Une réforme en 1902 A la fin du 19e siècle, un problème structurel majeur conditionne l’enseignement des mathématiques. Il existe trois types différents de cursus scolaires qui renvoient tout à la fois à des couches sociales diff...
Le chapitre IV présente le premier texte grec complet conservé consacré à la géométrie, les Éléments d’Euclide. Comme les érudits de l’Antiquité eux-mêmes , nous ne savons à peu près rien de la vie de l’auteur : contraste saisissant avec le succès, l’influence, mais aussi les critiques, que l’ouvrage connaîtra durant près de deux millénaires. Le projet et le style impressionnent ; le plan du traité fut perçu comme singulier dès le Moyen-Âge.
Euclide le Stoichéiôtês Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Euclide à Alexandrie L"encyclopédie" mathématique d'Euclide Les Éléments : un bon titre Les Éléments : un plan singulier Les deux théories des proportions Encarts Encart 1: Le problème à trois ou quatre droites Encart 2: la structure des treize Livres des Éléments d'Euclide Encart 3: Histoire du livre grec ancien et transmission du texte d’Euclide Figures Fig. 1: Frontispice de l'édition H. Billingley (1570) Fig. 2:...
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