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Archimède de Syracuse est incontestablement le mathématicien grec le plus célèbre et le plus admiré. Il est le seul des géomètres non philosophes à qui l’on ait consacré, dès l’Antiquité, une biographie. Mais ce sont ses prouesses techniques qui furent célébrées, plutôt que ses écrits géométriques. Plusieurs d’entre eux résolvent des problèmes non triviaux de quadrature (segment de parabole, cercle et spirale) et de cubature (sphère et cylindre, sphéroïdes et conoïdes). Ils complètent les travaux d’Eudoxe de Cnide qu’Archimède s’était choisi comme précurseur. Le Syracusain va plus loin lorsqu’il combine mécanique (théorie des centres de gravité) et géométrie mais sa célèbre Méthode, peu diffusée dans l’Antiquité, faillit disparaître.
Archimède Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)   Editeur : Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH)   SOMMAIRE Archimède Ingénieur ou géomètre? Archimède à Alexandrie? Le disciple d'Eudoxe Le cercle et la spirale Encarts Encart 1: Le principe de la méthode par "exhaustion" Encart 2: Exemple de preuve par "exhaustion" Encart 3 : "Ce qui fait défaut, c'est la méthode !"   Archimède             En 264 avant J.C., sous un prétexte futile,...
La grandeur (ou taille) n’est qu’une des caractéristiques de la figure, que la mesure s’efforce de déterminer. L’autre est la forme avec ses problèmes de similitude et de construction de figures considérées comme “régulières”. Celles des cinq solides inscriptibles dans une sphère qui clôturent les Éléments en est l’exemple le plus célèbre. Le chapitre VI leur est consacré. Toute proportion gardée, les sources anciennes sur ce thème ne sont pas rares, même si nous ne connaissons pas vraiment les circonstances détaillées qui sont à l’origine de cette étude associée à beaucoup des noms célèbres de la géométrie et de la philosophie grecques : Platon, Théétète, Euclide, Pythagore, Archimède, Zénodore, Apollonius, Hypsiclès, Ptolémée Pappus … C’est en vue de la construction et de la comparaison de ces polyèdres qu’Euclide introduit sa monumentale classification des irrationnels et la non moins célèbre « section en extrême et moyenne raison » (dit “nombre d’or”).
Construire et comparer: les solides réguliers Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust Nicolaus Neufchâtel (1527-1590) Leçon de Johannnes Neudörfer à son fils sur les polyèdres réguliers. Dans sa main gauche un dodécaèdre.       SOMMAIRE Pythagore ou Théétète ? Les solides réguliers : un thème classique La notion de régularité Encarts Encart 1: Nombres des polyèdres réguliers Encart 2: Deux manières de construire l'icosaèdre : Euclide versus Pappus Encart 3: Platon et les polyè...
La mesure des figures ou la détermination de points inaccessibles à la mesure directe étaient souvent considérées par les Anciens eux-mêmes comme l’origine de la géométrie. Tout naturellement les noms des (hypothétiques) pères fondateurs, Thalès et Pythagore, leur étaient associés. Les Éléments d’Euclide représentent déjà une élaboration sophistiquée des théorèmes susceptibles de justifier de telles procédures. Dans cette optique,  le chapitre V propose une lecture du premier Livre du traité euclidien: établir les fondements de la mesure des figures rectilignes. L’analyse régressive du théorème de l’hypoténuse (dit de Pythagore, I. 47-48 chez Euclide) fournit une justification de l’insertion des principaux constituants de l’axiomatique euclidienne.
Mesurer et démontrer Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Arpentage et géométrie De la quadrature des aires rectilignes au théorème de l'hypoténuse La démonstration euclidienne du théorème de l'hypoténuse La preuve de la Proposition I. 35 Géométrie de la mesure et fondation logique Figures Fig. 1: Ostrakon d'arpentage Fig. 2: Procédure des arpenteurs Fig. 3: Tunnel d'Eupalinos Fig. 4: Agrimenseurs Fig. 5-6: Quadrature de figures rectilignes Fig. 7 : Tablette cunéiforme Plimpton 322 Fig. 8 : Euclide, Él...
En France, l’enseignement mathématique dispensé à l’école primaire est l’objet d’un fort renouvellement en 1970, avec l’introduction des «mathématiques modernes». La démocratisation de l’accès à l’enseignement secondaire, qui modifie en profondeur la fonction même de l’école primaire, d’une part, et la volonté de rénovation de la discipline elle-même, depuis la maternelle jusqu’à l’université, d’autre part, conduisent à reconfigurer un champ disciplinaire jusqu’alors principalement centré sur des pratiques opératoires renvoyant à la vie quotidienne ou professionnelle. Cette contribution se propose d’examiner les raisons qui ont motivé l’introduction des « mathématiques modernes » dans l’enseignement primaire en 1970. On y détaille ensuite le processus d’élaboration de la réforme au cours de la décennie 1960, en précisant le rôle des différents acteurs, collectifs ou individuels, qui s’y sont impliqués.  
Du calcul aux mathématiques ? L’introduction des «mathématique modernes» dans l’enseignement primaire français, 1960-1970 Auteur : Renaud d ’Enfert, IUFM de l’académie de Versailles, Groupe d’histoire et diffusion des sciences d’Orsay, France - renaud.denfert@u-psud.fr Cette contribution s'inscrit dans la recherche collective «Réformer les disciplines scolaires : acteurs, contenus, enjeux, dynamiques (années 1950-années 1980)» (REDISCOL) soutenue par l'Agence nationale de la recherche (ANR). Elle doit paraître dans les Actes de l'Université d'été de Prague de juillet 2007 (ESU 5). Nous remercions les éditeurs, E. Barbin...
Ce texte est issu d'une conférence à deux voix sur l’enseignement des mathématiques en France et en Allemagne donnée en anglais par H. Gispert et G. Schubring à Prague en juillet 2007. Son but est de montrer combien l’enseignement mathématique – son organisation, ses contenus, ses fonctions - dépend du temps et du pays où il est donné. Nous présenterons ici, assez succinctement, ce qu’il en a été en France de l’enseignement moyen et long des mathématiques dans les trois premiers quarts du XXe siècle.  
L’enseignement des mathématiques au XXe siècle dans le contexte français     La version anglaise à deux voix sera publiée dans les actes de la 5e Université d'été européenne sur l'histoire et l'épistémologie des mathématiques dans l'enseignement (ESU-5)   Auteure : Hélène GISPERT Université Paris Sud - helene.gispert@u-psud.fr   I. Une réforme en 1902 A la fin du 19e siècle, un problème structurel majeur conditionne l’enseignement des mathématiques. Il existe trois types différents de cursus scolaires qui renvoient tout à la fois à des couches sociales diff...
Le chapitre IV présente le premier texte grec complet conservé consacré à la géométrie, les Éléments d’Euclide. Comme les érudits de l’Antiquité eux-mêmes , nous ne savons à peu près rien de la vie de l’auteur : contraste saisissant avec le succès, l’influence, mais aussi les critiques, que l’ouvrage connaîtra durant près de deux millénaires. Le projet et le style impressionnent ; le plan du traité fut perçu comme singulier dès le Moyen-Âge.
Euclide le Stoichéiôtês Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Euclide à Alexandrie L"encyclopédie" mathématique d'Euclide Les Éléments : un bon titre Les Éléments : un plan singulier Les deux théories des proportions Encarts Encart 1: Le problème à trois ou quatre droites Encart 2: la structure des treize Livres des Éléments d'Euclide Encart 3: Histoire du livre grec ancien et transmission du texte d’Euclide Figures Fig. 1: Frontispice de l'édition H. Billingley (1570) Fig. 2:...
Les IIIe-IIe siècles avant notre ère voient la fondation puis le développement des institutions savantes d’Alexandrie, ville fondée par le conquérant macédonien «aux portes de l’Égypte». La nouvelle capitale économique et intellectuelle du Monde Est méditerranéen apparaît aussi comme le centre d’une communauté de mathématiciens qu’un nouveau type de texte nous permet d’entrevoir : les préfaces que les géomètres rédigent quand ils décident de faire circuler leurs écrits.
La tradition mathématique Alexandrine Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Eratosthène La dynastie des Lagides La fondation du Musée et de la Bibliothèque Les préfaces des mathématiciens Encarts Encart 1: Le crible d'Erathostène Encart 2: La mesure de la circonférence terrestre par Ératosthène Figures Fig. 1: La carte du Monde selon Ératosthène Fig. 2: Le plan d'Alexandrie et ses deux ports Fig. 3: Fragment de papyrus grâce auquel on connaît la liste des premiers bibliothécaires d'Alexandrie Fig...
Aucun texte géométrique antérieur aux Éléments d’Euclide (IIIe s. avant notre ère) ne nous est parvenu. Pour les mathématiques des époques archaïque et classique (VIe-IVe s.), nous devons nous contenter de témoignages et de quelques fragments. Le dossier le moins mal documenté concerne Hippocrate de Chio (deuxième moitié du Ve s.). Son activité, contemporaine de celle de son célébrissime homonyme, le médecin Hippocrate (de Cos), correspond à l’âge d’or de la Grèce des cités, à la mise en place des institutions démocratiques, au développement de nouveaux moyens de communication et de « publication » (au sens premier de « rendre public »), notamment l’apparition d’une littérature technique en prose qui coïncide avec des formes rudimentaires de « spécialisation » : histoire, philosophie, mathématiques … Dans la cité d’Athènes — la moins mal connue —, dès le début du IVe s. avant notre ère, un débat divise les spécialistes de l’éducation sur la place qu’il faut accorder à la géométrie.
Arycanda - Turquie - Photo C. Proust Utilisation en classe - En insistant sur le contexte historique et intellectuel du développement des mathématiques en Grèce ancienne, ce dossier intéressera aussi bien les enseignants de mathématiques que ceux d'histoire, de lettres ou de philosophie. Par leur style clair et accessible, les textes s'adressent aussi à un public de lycéens, notamment à ceux qui voudraient s'engager dans des travaux personnels encadrés en histoire des mathématiques. Des encarts contenant des démonstrations mathématiques détaillées peuvent être exploités en classe au niveau du collège ou au niveau du lycée.   Bernard...
Ce chapitre revient sur le cas « Hippocrate », cette fois du point de vue des techniques géométriques. La tradition ancienne attribue, à tort ou à raison, trois contributions majeures au géomètre de Chio, lesquelles esquissent les principales articulations à venir de la géométrie grecque : Il aurait été le premier à rédiger des Éléments de géométrie. Il aurait introduit la procédure de réduction d’un problème — en l’occurrence celui de la duplication du cube — à un autre, celui de l’insertion de deux moyennes proportionnelles entre deux segments de droite (problème paradigmatique de la géométrie dite ultérieurement « solide »). Enfin son nom est attaché à la quadrature de certaines portions de cercle (appelées « lunules »), possiblement mobilisées pour une tentative de résolution du célébrissime problème de la quadrature du cercle. Cette contribution nous est connue grâce à un précieux témoignage d’Eudème de Rhodes (IVe s. avant notre ère) — historien de la géométrie et disciple d’Aristote — transmis par le commentateur Simplicius (VIe s.). On y rencontre un style géométrique localement déductif, utilisant des diagrammes, déjà assez proche de celui que l’on trouvera chez Euclide. La conservation de ce témoignage ne relève par du pur hasard : le Maître (i.e. Aristote) avait parlé d’Hippocrate et sa tentative de quadrature fut tôt interprétée comme un paralogisme. Le premier géomètre grec tant soit peu connu de nous était-il un filou ?
Le cas Hippocrate: un premier scandale en géométrie? Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice: Christine Proust SOMMAIRE Des quadratures La critique d’Aristote La réduction d’un problème Une géométrie des figures La «boite à outils» du géomètre Encarts Encart 1: les segments de cercle Encart 2: les lunules d'Hippocrate Encart 3: la duplication du cube Au concours des Dyonisies de 414, juste après la catastrophique expédition de Sicile qui allait peser lourd dans la défaite d'Athènes face à Sparte, Aristophane présente...
Ce dossier propose une documentation sur l’histoire des nombres aussi complète que possible, dans l’esprit des nouveaux programmes de première et terminale littéraire. Une page d’accueil oriente le lecteur vers différents types de documents : articles, fiches techniques, entretiens filmés. Elle propose en outre une bibliographie et d’une liste de liens vers des ressources externes. Le dossier s'adresse aux professeurs de mathématiques, d’histoire et de lettres, et s'efforce de favoriser une approche interdisciplinaire de l’histoire des nombres.
Ce dossier propose une documentation sur l’histoire des nombres aussi complète que possible, dans l’esprit des nouveaux programmes de première et terminale littéraire. Ceux-ci précisent : Quoique faisant partie du patrimoine de l’humanité, il s’avère que la culture scientifique n’a pas actuellement la place qui lui revient dans la culture générale. Pour ce qui concerne les mathématiques, elles ont d’une part une histoire qui est liée à l’évolution des civilisations qui les ont engendrées et qui se continue encore aujourd’hui, et d’autre part des liens avec d’autres champs d’étude importants pour les él...
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