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Le théorème de Bolzano-Weierstrass est bien connu des étudiants de licence et de classes préparatoires. Dans une première partie, nous en donnerons l'historique, dans la problématique de la définition des nombres réels de Cauchy à Dedekind et Cantor. Dans une deuxième partie, nous donnerons plusieurs démonstrations du théorème et dans une troisième son extension à la notion de compacité dans les espaces métriques. Mots-clefs. Analyse, Nombres réels, Bolzano, Weierstrass.
\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \) Le Théorème de Bolzano-Weierstrass Auteur : Xavier Oudot Éditeur : Mathieu Mansuy L'article en PDF en suivant ce lien. Articles connexes :  La construction des Réels par les coupures de Dedekind par Jean Gounon   Nombres réels par Jean Gounon Sommaire A. Historique 1. Bernhard Bolzano. 1781-1848 1.1. Mathématicien, philosophe et logicien 1.2. Les nombres réels selon Bolzano 1.3. Le théorème de Bolzano 1.4. La rigueur selon Bolzano 1.5. Et le théorème de Bolzano-Weierstrass ? 2. Karl Weierstrass. 1815-1897...
Vade-mecum du prof de maths1  Vous retrouverez ici des renseignements utiles pour les professeurs de mathématiques, des outils et des ressources importants. Les informations ne sont pas figées : les sites étoffent leurs publications et vous pouvez suggérer des idées qui vous semblent pertinentes pour les profs de maths, et en particulier pour les nouveaux collègues qui ont parfois du mal à repérer où l'on peut trouver de l'inspiration...   Le point de vue institutionnel   0. Les vacances ! Il suffit de suivre le lien… Il faut y rajouter les jours fériés. 1. Le site EDUSCOL et le Portail mathématique On le trouve à l'adresse ...
Mathématiques et architecture À la recherche de l'harmonie Hors-Série Numéro 60 ; Editions POLE, Paris, Juillet 2017 ISSN 2263-4908 Voir la note de lecture en ligne en suivant le lien et dessous un texte extrait du livre   Les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture ne sont pas uniquement de nature géométrique. Si l’utilité des théorèmes de Thalès et de Pythagore vient immédiatement à l’esprit, de nombreux autres domaines sont concernés. Les nombres et les proportions (où l’on retrouve le fameux nombre d’or), l’algorithmique (dans le cadre de l’informatique) sont les principaux d’entre eux. Mais la réalisation d’outils de mesure précis, la...
La mathématicienne Maryam Mirzakhani est décédée samedi 15 juillet 2017. Née à Téhéran (Iran) elle commence ses études supérieures à l’université Sharif dans sa ville natale avant de faire un doctorat à l’université Harvard sous la direction du médaillé Fields 1998 Curtis McMullen. Elle devient professeur à Stanford en Californie, en 2008. En 2014 elle obtient à son tour la médaille Fields et devient ainsi la première femme de l’histoire à recevoir la prestigieuse récompense, attribuée tous les quatre ans jusque-là à 52 hommes. Les travaux de Mirzakhani se situent dans le domaine de...
Petit traité de hasardologie Entretien avec Hubert Krivine Hubert Krivine et Frédéric Jaêck | Durée : 60:51 minutes Vidéo utilisable par tous à des fins non commerciales Petit traité de hasardologie, 256 pages, Cassini, 2016. Le Petit traité de hasardologie de Hubert Krivine présente un vaste panorama des utilisations des probabilités, à la fois dans la vie courante et dans les sciences. Comme à son habitude l’auteur, qui n'en n'est pas à son coup d'essai, traite le sujet avec précision, simplicité et humour. Il nous offre un livre dans lequel on peut s’embarquer sans connaissances particulières en mathématiques et dont on...
Les nombres complexes Tangente hors série 63 Dans le cadre de sa collaboration avec CultureMath le magazine Tangente offre à nos lecteurs un article tiré d'un numéro spécial dédié aux nombres complexes. Vous pouvez retrouver le numéro HS63 de Tangente sous forme numérique ou papier en cliquant sur ce lien ou en kiosque. Dessous un descriptif des 3 dossiers principaux de ce numéro et en cliquant sur le lien vous pouvez lire l'artilce "Accélérer les multiplications d'entiers". Les complexes sont issus de la volonté d'accéder à une résolution des équations algébriques. Il a fallu une audace incroyable pour imaginer dans un...
Les nombres complexes semblent très éloignés des questions de rentabilité du monde moderne. Pourtant, ils sont à l'origine de méthodes utilisées pour accélérer les multiplications de grands nombres entiers. Ils permettent de gagner du temps, beaucoup de temps… et donc de l'argent !
Accélérer les multiplications d'entiers Auteur : Hervé Lehning Une collaboration de CultureMath et du Magazine Tangente ; Cet article est extrait d'un dossier complet et passionnant sur les nombres complexes publié dans le numéro HS 63 du Magazine Tangente. Le numéo complet et bien plus encore en suivant ce lien : Les nombres complexes   En base 10, un nombre s’écrit sous la forme d’une somme de puissances de 10. Ainsi, 307 s’écrit 7 x 1 + 0 x 10 + 3 x 102. De la même manière, dans une base N (que l’on suppose «grande»), un entier A s’écrit A = a + b x N + c x N2 + ... où a, b, c...
Vingt et un ? ou un-et-vingt ? Auteurs : Jérôme Gavin et Alain Schärlig Éditeur : F. Jaëck Cet article est aussi téléchargeable en version pdf en suivant ce lien.   Dans les langues qui se parlent autour de nous, ce qui se passe après que l’on a dit « vingt » est étrange. En français nous disons « vingt et un », « vingt deux », et ainsi de suite. Il en va de même en anglais, où l’on dit « vingt un », « vingt deux » (twenty one, twenty two). Et en italien, où l’on dit aussi « vingt un », « vingt deux » (...
Jean-Pierre Kahane est décédé le 21 juin 2017. Ancien élève de l’École normale supérieure (1946) Jean-Pierre Kahane est une figure incontournable de la communauté mathématique. Il était professeur émérite à l'université Paris-Sud Orsay, dont il a été président, et membre de l'Académie des sciences. Jean-Pierre Kahane était un mathématicien reconnu mondialement pour ses travaux portant notamment sur la théorie de Fourier. Sa carrière, très riche et diversifiée, a été honorée de nombreuses fois par des prix et des distinctions. Il fut, notamment, lauréat du prix Maurice...
Les mathématiques de l'information Le théorème d'échantillonage Agnès Desolneux, CNRS, ENS Cachan 11 mai 2017 Le théorème d’échantillonnage est un résultat fondamental qui permet de dire à quelle condition une fonction peut être retrouvée à partir de ses échantillons pris suivant une grille régulière. Je parlerai de l’énoncé précis de ce théorème, de sa démonstration ainsi que de ses nombreuses applications en traitement du signal ou de l’image.   Les vidéos de ce cycle peuvent être retrouvée en cliquant sur ce lien        ...
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