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Un dossier complet sur la magie et les mathématiques présenté par Dominique Souder.
Auteur : Dominique Souder Editeur : Frédéric Jaëck.  Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. Sommaire: 1) Qu’est-ce que la mathémagie ?   2) La mathémagie en club   3) Utilisation de la...
On doit à Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777, Göttingen 1855) des contributions considérables en physique (électricité, magnétisme), en astronomie (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, ou Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du soleil, 1809) et en métrologie (théorie des erreurs, méthode des moindres carrés). Mais si, un an après sa mort, il eut droit à une médaille commémorative avec l’inscription Mathematicorum Principi (prince des mathématiciens), c’est en raison de ses travaux qui devaient jouer un rôle déterminant dans les mathématiques du 19e siècle : première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre dans sa thèse en 1797, théorie des nombres (Disquisitiones Arithmeticæ, ou Recherches arithmétiques, 1801), théorie des surfaces (Disquisitiones generales circa superficies curvas, ou Recherches générales sur les surfaces courbes, 1827), entre autres. On sait qu’il avait découvert une géométrie non-euclidienne avant Lobatchevsky et abordé l’étude des fonctions analytiques avant Cauchy ; mais il ne publiait rien qui ne fût complètement élaboré à ses yeux. Avec ses Disquisitiones Arithmeticæ de 1801 s’ouvre un univers théorique nouveau, l’arithmétique des congruences, où notre problème des restes chinois occupe la place relativement modeste de problème du premier degré. Nous donnons ici quelques extraits± des avant-propos (dédicace et préface) de l’auteur et des sections I et II de l’ouvrage, qui montrent les conceptions générales de Gauss, sa position par rapport aux travaux antérieurs et surtout le visage nouveau qu’il entend donner à l’arithmétique élémentaire, rigoureusement reconstruite± et reformulée en science des classes de nombres entiers. Avec les extraits des sections I et II, nous nous limitons à la partie élémentaire du traité qui correspond au programme d’arithmétique de la classe de terminale S, avec le problème des restes chinois en point d’orgue.
Auteurs : D. Daumas, M. Guillemot, O. Keller, R. Mizrahi, M. Spiesser Editeurs : Frédéric Jaëck et Éric Vandendriessche.  Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.    SOMMAIRE...
Auteur : Alexandre Marino, Lycée Joffre (Montpellier) Mots-clefs : Probabilités, Chaîne de Markov, Cinétique des gaz Cet article a pour but de souligner l'intérêt des résultats sur les chaînes de Markov dans le contexte de la cinétique des gaz. Les notions seront abordées progressivement dans un souci  d'apporter un maximum d'intuition tout en évitant un excès de formalisme. L'étude que je propose repose sur la question inhabituelle suivante : vous êtes en train de cuisiner et vous mettez au four la tarte que vous venez de préparer. Un moment d'inattention et quelques événements imprévus... vous oubliez votre préparation. Le drame se produit ! Déjà, trop tard ! votre œuvre est carbonisée et votre logement est enfumé. Comme vous le faites habituellement, vous vous précipitez et vous ouvrez toutes les fenêtres. En pensant bien faire, vous vous dites : « pour aérer, il suffit que je laisse mes fenêtres ouvertes le plus longtemps possible. » Est-ce une erreur ? Prenez-vous le risque que la fumée revienne en laissant vos fenêtres ouvertes trop longtemps ? Dans cet article nous allons essayer de répondre à cette question. Pour y parvenir, nous essayerons d'analyser avec un maximum d'intuition les phénomènes liés au temps d'attente. La plupart des notions abordées pourront être réutilisées dans l'introduction des probabilités au collège, au lycée et faire l'objet de sujets détaillés dans l'enseignement supérieur. Ce thème pourrait également faire l'objet d'une approche pluridisciplinaire. La dernière partie propose une activité pour le collège, un sujet détaillé niveau lycée et un sujet niveau supérieur reprenant pas à pas la démonstration d'un des principaux théorèmes.
Cet article est disponible au format pdf.   Sommaire A. Utilisation en classe et liens B. Attendre pour estimer une probabilité 1. Introduction 2. Un exemple fondamental C. Vers les chaînes de Markov 1. Introduction 2. Formalisation du problème 3. Une hypothèse sur les transitions D. Un peu de théorie 1. Existence et unicité d'une loi limite 2. La distribution stationnaire E. Les Ehrenfest viennent en aide à Boltzmann F. Des sujets détaillés A. Utilisation en classe et liens Cet article a pour objectif de découvrir des phénomènes lié...
Léonard Euler (1707-1783) est le premier à faire la synthèse mathématique du problème : trouver un nombre qui, divisé par des nombres donnés, donne des restes donnés. Ses outils étant la division euclidienne et l'algorithme qui en procède, le texte, dont nous donnons une traduction du latin et des commentaires, peut servir de base à des activités destinées à des élèves de lycée. De plus, son style, sa méthode d'exposition et sa démarche inductive (qui dans un cas particulier montre ses limites) sont d'un intérêt certain sur le plan historique et épistémologique.
Article rédigé par D. Daumas, M. Guillemot, O. Keller, R. Mizrahi, M. Spiesser (IREM de Toulouse) Editeur : Eric Vandendriessche (responsable éditorial de CultureMATH) SOMMAIRE Introduction Paragraphes 1 à 3 Paragraphes 4 à 7 Paragraphes 8 et 9 Paragraphes 10 et 11 Paragraphes 12 à 14 Paragraphe 15 Paragraphe 16 Paragraphes 17 à 19 Paragraphe 20 Paragraphes 21à 23 Paragraphes 24 à 27 Paragraphe 28 Paragraphe 29 Encart : Un problème de deux restes simultanés étudié en classe   Leonhard (ou, en français, Léonard) Euler, né à Bâle le 15 avril 1707, mort à Saint-Pétersbourg le 18 septembre 1783,...
Le théorème des restes chinois. Textes, commentaires et activités pour l’arithmétique au lycée Les problèmes de congruences simultanées sont connus dans l'histoire des mathématiques comme « problèmes des restes » ou « des restes chinois ». C'est un sujet qui a donné lieu, depuis des siècles, à de riches développements mathématiques et dont l'origine reste hypothétique puisqu'il est très difficile de démêler les motivations premières qui en ont suscité l’intérêt ...
Denis Daumas -  e-mail Michel Guillemot -  e-mail Olivier Keller -  e-mail Raphaël Mizrahi -  e-mail Maryvonne Spiesser - e-mail Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie du dossier, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie du dossier, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. CultureMATH remercie l'IREM de...
La fonction zêta de Riemann, définie par $\displaystyle{\zeta ( s) = \sum_{ n=1}^{ + \infty} \frac{ 1}{ n^s}}$ (pour ${Re}~ s > 1$), intéresse les mathématiciens depuis longtemps, et elle est encore à l'heure actuelle très étudiée, car cette fonction est fortement liée aux propriétés des nombres premiers. Dans ce texte issu d'un Mémoire de M1, nous étudions quelques propriétés arithmétiques et algébriques des valeurs de $\zeta (s)$ aux points entiers $s \in \mathbb{N}$, $s \geqslant 2$, telles que l'irrationalité ou la transcendance. Notamment, nous fournissons une démonstration complète et élémentaire, due à Beukers, du théorème d'Apéry (1978) selon lequel $\zeta(3)$ est irrationnel; cette démonstration est tout à fait accessible à un étudiant de Licence ou de classes préparatoires.
Auteurs : Sandro Franceschi, Fangzhou Jin et Joël Merker Article déposé le 15/03/2011. Validation scientifique: Joël Merker. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. Version [pdf] (137 ko,...
Encart de l'article : $\sum_{n \geqslant 1}\, \frac{1}{n^3}$ est irrationnel.
Une propriété de la fonction $\huge \theta$   Auteurs : Sandro Franceschi, Fangzhou Jin  et Joël Merker À lire aussi sur CultureMath : La fonction zêta et cinq fonctions apparentées de David Pouvreau   On rappelle que la fonction $\theta$ est définie pour un réel $t>0$ par : $$\displaystyle{\theta(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}~e^{-\pi tn^2}, }$$ série qui est absolument convergente. On se propose de montrer l'équation fonctionnelle suivante : Proposition. Pour tout réel $t >0$, la fonction $\theta$ vérifie l'équation fonctionnelle : $$\displaystyle{ \theta(t) = {\textstyle{\frac{1}{\sqrt{t}}}}\, \theta \big({\textstyle{\...
Le problème de la quadrature du cercle, à savoir, le problème de construire un carré ayant même aire que celle d'un cercle donné, restait un problème ouvert parmi les mathématiciens du début du XVIIème siècle. René Descartes (1596-1650) en donna une solution dans les années 1625-1628 dont il déclara lui-même qu'elle n'était pas acceptable. Cet article examine cette solution, en s'appuyant sur une analyse donnée un siècle plus tard par Euler ainsi que sur une solution connue depuis l'antiquité et rapportée par Pappus. On s'interrogera ensuite sur les raisons qui ont amené Descartes à exclure les deux constructions en tant que non acceptables, par rapport à l'idéal d'exactitude explicité dans La Géométrie (1637).
Utilisation en classe – Une lecture commentée de certains passages de cet article peut certainement être envisagée dans une classe des cycles S ou L (option « maths »). La seconde partie offre une ressource qu’il serait  possible d’utiliser comme base pour une activité faisant intervenir la somme des termes d’une suite géométrique, ceci autour d’une configuration géométrique visant à  rechercher une solution au problème de la quadrature du cercle.  La discussion de la troisième partie concernant la recevabilité et l’exactitude de la construction géométrique d’une courbe offre un thème qui pourrait faire l...
Ce dossier propose quatre exemples simples d'application des mathématiques aux sciences sociales, à travers des jeux à organiser en classe, et ouvre ainsi à quelques réflexions profondes sur la coopération entre les humains, l'intuition en probabilités, les équilibres économiques, le libre arbitre.
On y trouvera un texte sur le dilemme du prisonnier, présentant le livre et proposant une utilisation (peut-être un peu surprenante) du jeu en classe. Trois autres petits textes concernent des cas qui passent très bien en classe et qui peuvent alimenter de belles discussions dans différents types de cours (mathématiques, SES, philosophie). Nicolas Eber, Université Robert Schuman – Strasbourg 3 nicolas.eber@urs.u-strasbg.fr . SOMMAIRE Le dilemme du prisonnier Les jugements de probabilité Le concours de beauté Le paradoxe de Newcomb
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