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Le théorème des restes chinois. Textes, commentaires et activités pour l’arithmétique au lycée Les problèmes de congruences simultanées sont connus dans l'histoire des mathématiques comme « problèmes des restes » ou « des restes chinois ». C'est un sujet qui a donné lieu, depuis des siècles, à de riches développements mathématiques et dont l'origine reste hypothétique puisqu'il est très difficile de démêler les motivations premières qui en ont suscité l’intérêt ...
Denis Daumas -  e-mail Michel Guillemot -  e-mail Olivier Keller -  e-mail Raphaël Mizrahi -  e-mail Maryvonne Spiesser - e-mail Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie du dossier, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie du dossier, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. CultureMATH remercie l'IREM de...
Les conditions économiques et sociales en Angleterre au début du XIX° siècle induisent des tensions dans les milieux universitaires jusqu'alors très fermés. Cette agitation se traduit, pour ce qui nous intéresse, à travers la manière d'insérer la logique dans un enseignement en pleine mutation. Des avancées conceptuelles d'apparences mineures voient alors le jour et c'est sur Boole, mathématicien autodidacte, que tout se cristallise : il réussit à construire un système de type algébrique pour résoudre les problèmes de logique. Son 'algèbre de la logique', qui est vraiment opérationnelle par delà ses réelles insuffisances, sera critiquée, contestée. Mais l'élan a été donné, la logique va devenir une branche des mathématiques.
La percée due à Boole     Auteur : Alain Le Mignot   Article déposé le 20/04/2011. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.  Version [...
La fonction zêta de Riemann, définie par $\displaystyle{\zeta ( s) = \sum_{ n=1}^{ + \infty} \frac{ 1}{ n^s}}$ (pour ${Re}~ s > 1$), intéresse les mathématiciens depuis longtemps, et elle est encore à l'heure actuelle très étudiée, car cette fonction est fortement liée aux propriétés des nombres premiers. Dans ce texte issu d'un Mémoire de M1, nous étudions quelques propriétés arithmétiques et algébriques des valeurs de $\zeta (s)$ aux points entiers $s \in \mathbb{N}$, $s \geqslant 2$, telles que l'irrationalité ou la transcendance. Notamment, nous fournissons une démonstration complète et élémentaire, due à Beukers, du théorème d'Apéry (1978) selon lequel $\zeta(3)$ est irrationnel; cette démonstration est tout à fait accessible à un étudiant de Licence ou de classes préparatoires.
Auteurs : Sandro Franceschi, Fangzhou Jin et Joël Merker Article déposé le 15/03/2011. Validation scientifique: Joël Merker. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. Version [pdf] (137 ko,...
Encart de l'article : $\sum_{n \geqslant 1}\, \frac{1}{n^3}$ est irrationnel.
Une propriété de la fonction $\huge \theta$   Auteurs : Sandro Franceschi, Fangzhou Jin  et Joël Merker À lire aussi sur CultureMath : La fonction zêta et cinq fonctions apparentées de David Pouvreau   On rappelle que la fonction $\theta$ est définie pour un réel $t>0$ par : $$\displaystyle{\theta(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}~e^{-\pi tn^2}, }$$ série qui est absolument convergente. On se propose de montrer l'équation fonctionnelle suivante : Proposition. Pour tout réel $t >0$, la fonction $\theta$ vérifie l'équation fonctionnelle : $$\displaystyle{ \theta(t) = {\textstyle{\frac{1}{\sqrt{t}}}}\, \theta \big({\textstyle{\...
Le problème de la quadrature du cercle, à savoir, le problème de construire un carré ayant même aire que celle d'un cercle donné, restait un problème ouvert parmi les mathématiciens du début du XVIIème siècle. René Descartes (1596-1650) en donna une solution dans les années 1625-1628 dont il déclara lui-même qu'elle n'était pas acceptable. Cet article examine cette solution, en s'appuyant sur une analyse donnée un siècle plus tard par Euler ainsi que sur une solution connue depuis l'antiquité et rapportée par Pappus. On s'interrogera ensuite sur les raisons qui ont amené Descartes à exclure les deux constructions en tant que non acceptables, par rapport à l'idéal d'exactitude explicité dans La Géométrie (1637).
Utilisation en classe – Une lecture commentée de certains passages de cet article peut certainement être envisagée dans une classe des cycles S ou L (option « maths »). La seconde partie offre une ressource qu’il serait  possible d’utiliser comme base pour une activité faisant intervenir la somme des termes d’une suite géométrique, ceci autour d’une configuration géométrique visant à  rechercher une solution au problème de la quadrature du cercle.  La discussion de la troisième partie concernant la recevabilité et l’exactitude de la construction géométrique d’une courbe offre un thème qui pourrait faire l...
Bien que ses développements l’aient conduit au-delà de ces premières intentions, la théorie de la récursion a pour but d'étudier les fonctions (mécaniquement) calculables..
La Thèse de Church-Turing   Auteure : Lény Oumraou, Docteur agrégé de philosophie Bien que ses développements l’aient conduit au-delà de ces premières intentions, la théorie de la récursion a pour but d'étudier les fonctions (mécaniquement) calculables. Bien que ses développements l’aient conduit au-delà de ces premières intentions, la théorie de la récursion a pour but d'étudier les fonctions (mécaniquement) calculables. Les fonctions (partielles) calculables sont, d’un point de vue informel, des fonctions définies sur une partie de Nk (k ∈ N ), et dont les valeurs (dans N) peuvent être d...
Après la floraison des IIIe-IIe siècles, les institutions savantes alexandrines, confrontées aux incertitudes politiques et aux querelles dynastiques, connaissent une éclipse. Les recherches mathématiques se poursuivent sans doute ailleurs, notamment à Rhodes, mais, semble-t-il grâce à l’intervention puis la protection des Romains, l’ancienne capitale des Ptolémées va connaître un nouvel âge d’or mathématique. Trois grandes figures dominent les deux premiers siècles de notre ère : Ménéalos, Ptolémée et Héron. Leurs travaux reprennent, corrigent et développent ceux de leurs prédécesseurs de la première période alexandrine, notamment dans les domaines où la géométrie trouve ses applications les plus efficientes : astronomie, optique, mécanique.
Le renouveau d'Alexandrie à l'époque impériale Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)   Editeur :  Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH) SOMMAIRE Introduction Ménélaos d'Alexandrie L'astronome Ptolémée et la table des cordes Héron le mécanicien Encarts Encart 1: "Calculer" les cordes Encart 2: L'algorithmique géométrique   Figures Figure 1: La bibliothèque de Pantainos à Athènes Figure 2: Alexandrie : vestiges d’une salle de conférences Figure 3: Longueur d'une corde...
Les Coniques d’Apollonius de Perge constituent l’un des sommets de la géométrie grecque ancienne. Rédigé, après un premier essai, en huit Livres, leur destinée fut cependant moins heureuse que celle des Éléments d’Euclide. Seuls les quatre premiers Livres — selon l’auteur ils exposent les “éléments” de la théorie — ont été conservés en grec, dans la réédition qu’en procura, à la charnière des Ve et VIe siècles de notre ère, Eutocius d’Ascalon. Les Livres V-VII furent préservés grâce à la traduction arabe qu’en fit Thâbit ibn Qurra mais ils restèrent inaccessibles et excitèrent l’imagination des mathématiciens d’Occident pendant plusieurs siècles. Dès l’Antiquité, la rigueur et la généralité du traitement apollinien avait été reconnues et avait fait disparaître les écrits antérieurs. Seules quelques bribes d’information, quelques conjectures hasardeuses concernant la découverte des coniques nous ont été transmises par Pappus et Eutocius.
Apollonius et la tradition des coniques Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)   Editeur : Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH)   SOMMAIRE Introduction Une querelle de priorité Archimède et Apollonius Les premiers Eléments des coniques Ménechme, l'inventeur des sections coniques? La génération des coniques selon Aristée L'approche d'Apollonius Encarts Encart 1: Le corpus dit « du lieu analysé » Encart 2: De l'analyse à la synthèse Encart 3: Les symptomata des sections de cônes selon Aristée (?) Encart 4...
Archimède de Syracuse est incontestablement le mathématicien grec le plus célèbre et le plus admiré. Il est le seul des géomètres non philosophes à qui l’on ait consacré, dès l’Antiquité, une biographie. Mais ce sont ses prouesses techniques qui furent célébrées, plutôt que ses écrits géométriques. Plusieurs d’entre eux résolvent des problèmes non triviaux de quadrature (segment de parabole, cercle et spirale) et de cubature (sphère et cylindre, sphéroïdes et conoïdes). Ils complètent les travaux d’Eudoxe de Cnide qu’Archimède s’était choisi comme précurseur. Le Syracusain va plus loin lorsqu’il combine mécanique (théorie des centres de gravité) et géométrie mais sa célèbre Méthode, peu diffusée dans l’Antiquité, faillit disparaître.
Archimède Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes)   Editeur : Eric Vandendriessche (Responsable éditorial de CultureMATH)   SOMMAIRE Archimède Ingénieur ou géomètre? Archimède à Alexandrie? Le disciple d'Eudoxe Le cercle et la spirale Encarts Encart 1: Le principe de la méthode par "exhaustion" Encart 2: Exemple de preuve par "exhaustion" Encart 3 : "Ce qui fait défaut, c'est la méthode !"   Archimède             En 264 avant J.C., sous un prétexte futile,...
La grandeur (ou taille) n’est qu’une des caractéristiques de la figure, que la mesure s’efforce de déterminer. L’autre est la forme avec ses problèmes de similitude et de construction de figures considérées comme “régulières”. Celles des cinq solides inscriptibles dans une sphère qui clôturent les Éléments en est l’exemple le plus célèbre. Le chapitre VI leur est consacré. Toute proportion gardée, les sources anciennes sur ce thème ne sont pas rares, même si nous ne connaissons pas vraiment les circonstances détaillées qui sont à l’origine de cette étude associée à beaucoup des noms célèbres de la géométrie et de la philosophie grecques : Platon, Théétète, Euclide, Pythagore, Archimède, Zénodore, Apollonius, Hypsiclès, Ptolémée Pappus … C’est en vue de la construction et de la comparaison de ces polyèdres qu’Euclide introduit sa monumentale classification des irrationnels et la non moins célèbre « section en extrême et moyenne raison » (dit “nombre d’or”).
Construire et comparer: les solides réguliers Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust Nicolaus Neufchâtel (1527-1590) Leçon de Johannnes Neudörfer à son fils sur les polyèdres réguliers. Dans sa main gauche un dodécaèdre.       SOMMAIRE Pythagore ou Théétète ? Les solides réguliers : un thème classique La notion de régularité Encarts Encart 1: Nombres des polyèdres réguliers Encart 2: Deux manières de construire l'icosaèdre : Euclide versus Pappus Encart 3: Platon et les polyè...
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