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La mesure des figures ou la détermination de points inaccessibles à la mesure directe étaient souvent considérées par les Anciens eux-mêmes comme l’origine de la géométrie. Tout naturellement les noms des (hypothétiques) pères fondateurs, Thalès et Pythagore, leur étaient associés. Les Éléments d’Euclide représentent déjà une élaboration sophistiquée des théorèmes susceptibles de justifier de telles procédures. Dans cette optique,  le chapitre V propose une lecture du premier Livre du traité euclidien: établir les fondements de la mesure des figures rectilignes. L’analyse régressive du théorème de l’hypoténuse (dit de Pythagore, I. 47-48 chez Euclide) fournit une justification de l’insertion des principaux constituants de l’axiomatique euclidienne.
Mesurer et démontrer Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Arpentage et géométrie De la quadrature des aires rectilignes au théorème de l'hypoténuse La démonstration euclidienne du théorème de l'hypoténuse La preuve de la Proposition I. 35 Géométrie de la mesure et fondation logique Figures Fig. 1: Ostrakon d'arpentage Fig. 2: Procédure des arpenteurs Fig. 3: Tunnel d'Eupalinos Fig. 4: Agrimenseurs Fig. 5-6: Quadrature de figures rectilignes Fig. 7 : Tablette cunéiforme Plimpton 322 Fig. 8 : Euclide, Él...
En France, l’enseignement mathématique dispensé à l’école primaire est l’objet d’un fort renouvellement en 1970, avec l’introduction des «mathématiques modernes». La démocratisation de l’accès à l’enseignement secondaire, qui modifie en profondeur la fonction même de l’école primaire, d’une part, et la volonté de rénovation de la discipline elle-même, depuis la maternelle jusqu’à l’université, d’autre part, conduisent à reconfigurer un champ disciplinaire jusqu’alors principalement centré sur des pratiques opératoires renvoyant à la vie quotidienne ou professionnelle. Cette contribution se propose d’examiner les raisons qui ont motivé l’introduction des « mathématiques modernes » dans l’enseignement primaire en 1970. On y détaille ensuite le processus d’élaboration de la réforme au cours de la décennie 1960, en précisant le rôle des différents acteurs, collectifs ou individuels, qui s’y sont impliqués.  
Du calcul aux mathématiques ? L’introduction des «mathématique modernes» dans l’enseignement primaire français, 1960-1970 Auteur : Renaud d ’Enfert, IUFM de l’académie de Versailles, Groupe d’histoire et diffusion des sciences d’Orsay, France - renaud.denfert@u-psud.fr Cette contribution s'inscrit dans la recherche collective «Réformer les disciplines scolaires : acteurs, contenus, enjeux, dynamiques (années 1950-années 1980)» (REDISCOL) soutenue par l'Agence nationale de la recherche (ANR). Elle doit paraître dans les Actes de l'Université d'été de Prague de juillet 2007 (ESU 5). Nous remercions les éditeurs, E. Barbin...
Ce texte est issu d'une conférence à deux voix sur l’enseignement des mathématiques en France et en Allemagne donnée en anglais par H. Gispert et G. Schubring à Prague en juillet 2007. Son but est de montrer combien l’enseignement mathématique – son organisation, ses contenus, ses fonctions - dépend du temps et du pays où il est donné. Nous présenterons ici, assez succinctement, ce qu’il en a été en France de l’enseignement moyen et long des mathématiques dans les trois premiers quarts du XXe siècle.  
L’enseignement des mathématiques au XXe siècle dans le contexte français     La version anglaise à deux voix sera publiée dans les actes de la 5e Université d'été européenne sur l'histoire et l'épistémologie des mathématiques dans l'enseignement (ESU-5)   Auteure : Hélène GISPERT Université Paris Sud - helene.gispert@u-psud.fr   I. Une réforme en 1902 A la fin du 19e siècle, un problème structurel majeur conditionne l’enseignement des mathématiques. Il existe trois types différents de cursus scolaires qui renvoient tout à la fois à des couches sociales diff...
Le chapitre IV présente le premier texte grec complet conservé consacré à la géométrie, les Éléments d’Euclide. Comme les érudits de l’Antiquité eux-mêmes , nous ne savons à peu près rien de la vie de l’auteur : contraste saisissant avec le succès, l’influence, mais aussi les critiques, que l’ouvrage connaîtra durant près de deux millénaires. Le projet et le style impressionnent ; le plan du traité fut perçu comme singulier dès le Moyen-Âge.
Euclide le Stoichéiôtês Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Euclide à Alexandrie L"encyclopédie" mathématique d'Euclide Les Éléments : un bon titre Les Éléments : un plan singulier Les deux théories des proportions Encarts Encart 1: Le problème à trois ou quatre droites Encart 2: la structure des treize Livres des Éléments d'Euclide Encart 3: Histoire du livre grec ancien et transmission du texte d’Euclide Figures Fig. 1: Frontispice de l'édition H. Billingley (1570) Fig. 2:...
Les IIIe-IIe siècles avant notre ère voient la fondation puis le développement des institutions savantes d’Alexandrie, ville fondée par le conquérant macédonien «aux portes de l’Égypte». La nouvelle capitale économique et intellectuelle du Monde Est méditerranéen apparaît aussi comme le centre d’une communauté de mathématiciens qu’un nouveau type de texte nous permet d’entrevoir : les préfaces que les géomètres rédigent quand ils décident de faire circuler leurs écrits.
La tradition mathématique Alexandrine Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice : Christine Proust SOMMAIRE Eratosthène La dynastie des Lagides La fondation du Musée et de la Bibliothèque Les préfaces des mathématiciens Encarts Encart 1: Le crible d'Erathostène Encart 2: La mesure de la circonférence terrestre par Ératosthène Figures Fig. 1: La carte du Monde selon Ératosthène Fig. 2: Le plan d'Alexandrie et ses deux ports Fig. 3: Fragment de papyrus grâce auquel on connaît la liste des premiers bibliothécaires d'Alexandrie Fig...
Aucun texte géométrique antérieur aux Éléments d’Euclide (IIIe s. avant notre ère) ne nous est parvenu. Pour les mathématiques des époques archaïque et classique (VIe-IVe s.), nous devons nous contenter de témoignages et de quelques fragments. Le dossier le moins mal documenté concerne Hippocrate de Chio (deuxième moitié du Ve s.). Son activité, contemporaine de celle de son célébrissime homonyme, le médecin Hippocrate (de Cos), correspond à l’âge d’or de la Grèce des cités, à la mise en place des institutions démocratiques, au développement de nouveaux moyens de communication et de « publication » (au sens premier de « rendre public »), notamment l’apparition d’une littérature technique en prose qui coïncide avec des formes rudimentaires de « spécialisation » : histoire, philosophie, mathématiques … Dans la cité d’Athènes — la moins mal connue —, dès le début du IVe s. avant notre ère, un débat divise les spécialistes de l’éducation sur la place qu’il faut accorder à la géométrie.
Arycanda - Turquie - Photo C. Proust Utilisation en classe - En insistant sur le contexte historique et intellectuel du développement des mathématiques en Grèce ancienne, ce dossier intéressera aussi bien les enseignants de mathématiques que ceux d'histoire, de lettres ou de philosophie. Par leur style clair et accessible, les textes s'adressent aussi à un public de lycéens, notamment à ceux qui voudraient s'engager dans des travaux personnels encadrés en histoire des mathématiques. Des encarts contenant des démonstrations mathématiques détaillées peuvent être exploités en classe au niveau du collège ou au niveau du lycée.   Bernard...
Ce chapitre revient sur le cas « Hippocrate », cette fois du point de vue des techniques géométriques. La tradition ancienne attribue, à tort ou à raison, trois contributions majeures au géomètre de Chio, lesquelles esquissent les principales articulations à venir de la géométrie grecque : Il aurait été le premier à rédiger des Éléments de géométrie. Il aurait introduit la procédure de réduction d’un problème — en l’occurrence celui de la duplication du cube — à un autre, celui de l’insertion de deux moyennes proportionnelles entre deux segments de droite (problème paradigmatique de la géométrie dite ultérieurement « solide »). Enfin son nom est attaché à la quadrature de certaines portions de cercle (appelées « lunules »), possiblement mobilisées pour une tentative de résolution du célébrissime problème de la quadrature du cercle. Cette contribution nous est connue grâce à un précieux témoignage d’Eudème de Rhodes (IVe s. avant notre ère) — historien de la géométrie et disciple d’Aristote — transmis par le commentateur Simplicius (VIe s.). On y rencontre un style géométrique localement déductif, utilisant des diagrammes, déjà assez proche de celui que l’on trouvera chez Euclide. La conservation de ce témoignage ne relève par du pur hasard : le Maître (i.e. Aristote) avait parlé d’Hippocrate et sa tentative de quadrature fut tôt interprétée comme un paralogisme. Le premier géomètre grec tant soit peu connu de nous était-il un filou ?
Le cas Hippocrate: un premier scandale en géométrie? Auteur : Bernard Vitrac, Centre Louis Gernet (CNRS - Ecole Pratique des Hautes Etudes) Editrice: Christine Proust SOMMAIRE Des quadratures La critique d’Aristote La réduction d’un problème Une géométrie des figures La «boite à outils» du géomètre Encarts Encart 1: les segments de cercle Encart 2: les lunules d'Hippocrate Encart 3: la duplication du cube Au concours des Dyonisies de 414, juste après la catastrophique expédition de Sicile qui allait peser lourd dans la défaite d'Athènes face à Sparte, Aristophane présente...
Ce dossier propose quatre exemples simples d'application des mathématiques aux sciences sociales, à travers des jeux à organiser en classe, et ouvre ainsi à quelques réflexions profondes sur la coopération entre les humains, l'intuition en probabilités, les équilibres économiques, le libre arbitre.
On y trouvera un texte sur le dilemme du prisonnier, présentant le livre et proposant une utilisation (peut-être un peu surprenante) du jeu en classe. Trois autres petits textes concernent des cas qui passent très bien en classe et qui peuvent alimenter de belles discussions dans différents types de cours (mathématiques, SES, philosophie). Nicolas Eber, Université Robert Schuman – Strasbourg 3 nicolas.eber@urs.u-strasbg.fr . SOMMAIRE Le dilemme du prisonnier Les jugements de probabilité Le concours de beauté Le paradoxe de Newcomb
Quelques résultats profonds de l'arithmétique supérieure ont une interprétation simple, visuelle et particulièrement élégante dans les mathématiques textiles. Ainsi en est-il d'un théorème de C. F. Gauss concernant la suite des restes (modulo p) des multiples d'un nombre a premier avec p. Ou d'un théorème énoncé par Pierre de Fermat sur les propriétés des nombres premiers de la forme 4n+1.Cet article est consacrée aux travaux originaux d'un mathématicien français du XIXe siècle en ce domaine. Il s'agit de l'arithméticien Edouard Lucas, connu par ailleurs pour les études de très grands nombres premiers qu'il effectue grâce à des tests puissants et rapides.
Mathématiques textiles : La géométrie des tissus d'Edouard Lucas   Auteure : Anne Marie Décaillot, Université Paris 5, Equipe REHSEIS   Utilisation en classe - Quelques uns des résultats d'Edouard Lucas présentés dans cet article pourraient donner matière à d'intéressants problèmes à proposer en terminale scientifique. On peut par exemple faire le lien avec la belle activité proposée par Jean-Pierre Kahane dans "Le nombre, cet inconnu", p. 11. Dès le collège, la disposition des points de liage sur un damier peut donner l'occasion de découvrir le calcul modulaire expérimentalement, de façon tr...
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