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Un nouveau nombre premier vient d'être découvert ! La nouvelle n'est peut-être pas aussi sensationnelle que l'annonce de l'officialisation de quatre nouveaux éléments chimiques ou que la découverte potentielle d'une nouvelle planète dans le système solaire, mais elle a quand même été relayée par la presse générale. Revenons brièvement sur $2^{74\,207\,281} - 1$.
Cette brève est disponible au format pdf. Un nouveau très grand nombre premier vient d'être découvert ! La nouvelle n'est peut-être pas aussi sensationnelle que l'annonce de l'officialisation de quatre nouveaux éléments chimiques ou que la découverte potentielle d'une nouvelle planète dans le système solaire, mais elle a quand même été relayée par la presse générale. En général, ces articles évoquent le nombre de chiffres du fameux nombre premier, et donnent parfois les premiers ou les derniers. Il arrive même qu'ils se trompent ! Revenons brièvement sur $2^{74\,207\,281} - 1$. Quelques mots sur le projet...
Cet article a pour but de souligner l'intérêt des résultats sur les chaînes de Markov dans le contexte de la cinétique des gaz. Les notions seront abordées progressivement dans un souci d'apporter un maximum d'intuition tout en évitant un excès de formalisme. L'étude que je propose repose sur la question inhabituelle suivante : vous êtes en train de cuisiner et vous mettez au four la tarte que vous venez de préparer. Un moment d'inattention et quelques événements imprévus... vous oubliez votre préparation. Le drame se produit ! Déjà, trop tard ! votre œuvre est carbonisée et votre logement est enfumé. Comme vous le faites habituellement, vous vous précipitez et vous ouvrez toutes les fenêtres. En pensant bien faire, vous vous dites : « pour aérer, il suffit que je laisse mes fenêtres ouvertes le plus longtemps possible. » Est-ce une erreur ? Prenez-vous le risque que la fumée revienne en laissant vos fenêtres ouvertes trop longtemps ? Dans cet article nous allons essayer de répondre à cette question. Pour y parvenir, nous essayerons d'analyser avec un maximum d'intuition les phénomènes liés au temps d'attente. La plupart des notions abordées pourront être réutilisées dans l'introduction des probabilités au collège, au lycée et faire l'objet de sujets détaillés dans l'enseignement supérieur. Ce thème pourrait également faire l'objet d'une approche pluridisciplinaire. La dernière partie propose une activité pour le collège, un sujet détaillé niveau lycée et un sujet niveau supérieur reprenant pas à pas la démonstration d'un des principaux théorèmes.
Les Ehrenfest viennent en aide à Boltzmann   Auteur : Alexandre Marino, Lycée Joffre (Montpellier) Mots-clefs : Probabilités, Chaîne de Markov, Cinétique des gaz Cet article est disponible au format pdf. Sommaire A. Utilisation en classe et liens B. Attendre pour estimer une probabilité 1. Introduction 2. Un exemple fondamental C. Vers les chaînes de Markov 1. Introduction 2. Formalisation du problème 3. Une hypothèse sur les transitions D. Un peu de théorie 1. Existence et unicité d'une loi...
Un des exercices du Google Code Jam de 2008 demandait de calculer les trois derniers chiffres avant la virgule du nombre $(3+\surd 5)^n$. On explique ici comment calculer ces chiffres presque instantanément en exploitant une jolie propriété arithmétique de $3+\surd 5$.
Article écrit par Maxime Bourrigan, responsable éditorial de Culture Math. Télécharger la version pdf de l'article. Sommaire I. (3+√5)n est presque entier II. Suites linéaires récurrentes du deuxième ordre III. Calcul des derniers chiffres de Rn Le Google Code Jam est un concours de programmation organisé par Google. Les candidats doivent résoudre, en temps limité, quelques problèmes spécialement concoctés pour cette occasion, à l'aide du langage, voire des langages de programmation de leur choix. Les sélections se font en plusieurs tours, du Qualification Round (en 2013 : 25 heures pour 4 exercices, 21 273 candidats, 17 054 qualifi...
Le compas de proportion, dont Galilée a offert le premier modèle-type, était l’instrument de calcul privilégié des ingénieurs de l’époque moderne. Son histoire éclaire, et permet d’aborder par un biais instrumental et concret, l’histoire du calcul de la règle de trois et de l’évolution des mathématiques vers l’élaboration de la géométrie algébrique.
Le compas de proportion de Galilée et les mathématiques des ingénieurs de l'époque moderne   Auteure : Camille Frémontier-Murphy, Centre Maurice Halbwachs (ÉNS). Éditeurs : Éric Vandendriessche et Maxime Bourrigan, responsables éditoriaux de Culture Math. Une autre version de cet article a été publiée en langue anglaise dans le bulletin de la Scientific Instrument Society. La référence en est : C. Frémontier-Murphy, « A New Mathematical Vision for an Innovative Calculating Instrument: Galileo's Sector », Bulletin of the Scientific Instrument Society, n° 118 (2013), p. 35-43. SOMMAIRE 1. Les nouvelles exigences du m...
Léonard Euler (1707-1783) est le premier à faire la synthèse mathématique du problème : trouver un nombre qui, divisé par des nombres donnés, donne des restes donnés. Ses outils étant la division euclidienne et l'algorithme qui en procède, le texte, dont nous donnons une traduction du latin et des commentaires, peut servir de base à des activités destinées à des élèves de lycée. De plus, son style, sa méthode d'exposition et sa démarche inductive (qui dans un cas particulier montre ses limites) sont d'un intérêt certain sur le plan historique et épistémologique.
Article rédigé par D. Daumas, M. Guillemot, O. Keller, R. Mizrahi, M. Spiesser (IREM de Toulouse) Editeur : Eric Vandendriessche (responsable éditorial de CultureMATH) SOMMAIRE Introduction Paragraphes 1 à 3 Paragraphes 4 à 7 Paragraphes 8 et 9 Paragraphes 10 et 11 Paragraphes 12 à 14 Paragraphe 15 Paragraphe 16 Paragraphes 17 à 19 Paragraphe 20 Paragraphes 21à 23 Paragraphes 24 à 27 Paragraphe 28 Paragraphe 29 Encart : Un problème de deux restes simultanés étudié en classe   Leonhard (ou, en français, Léonard) Euler, né à Bâle le 15 avril 1707, mort à Saint-Pétersbourg le 18 septembre 1783,...
Dans cette conférence destinée à des lycéens du cycle terminal scientifique (S), Laure saint-Raymond montre comment le système dynamique océanographique, qui est d'une grande complexité, peut être modélisé en faisant appel à des modèles simplifiés qui permettent d'obtenir de bonnes approximations.
Conférence donnée par Laure Saint-Raymond, Professeur à l'université Pierre et Marie Curie et au département de mathématiques et applications de l'ENS   Conférence donnée le 9 juin 2011, dans le cadre de la remise des prix des Olympiades de mathématiques 2011. CultureMATH remercie l'Inspection Générale de Mathématiques pour avoir autorisé la captation de cette conférence. Editeur : Eric Vandendriessche (responsable éditorial de CultureMATH). !SWFOBJECT!
Le théorème des restes chinois. Textes, commentaires et activités pour l’arithmétique au lycée Les problèmes de congruences simultanées sont connus dans l'histoire des mathématiques comme « problèmes des restes » ou « des restes chinois ». C'est un sujet qui a donné lieu, depuis des siècles, à de riches développements mathématiques et dont l'origine reste hypothétique puisqu'il est très difficile de démêler les motivations premières qui en ont suscité l’intérêt ...
Denis Daumas -  e-mail Michel Guillemot -  e-mail Olivier Keller -  e-mail Raphaël Mizrahi -  e-mail Maryvonne Spiesser - e-mail Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie du dossier, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie du dossier, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. CultureMATH remercie l'IREM de...
Les conditions économiques et sociales en Angleterre au début du XIX° siècle induisent des tensions dans les milieux universitaires jusqu'alors très fermés. Cette agitation se traduit, pour ce qui nous intéresse, à travers la manière d'insérer la logique dans un enseignement en pleine mutation. Des avancées conceptuelles d'apparences mineures voient alors le jour et c'est sur Boole, mathématicien autodidacte, que tout se cristallise : il réussit à construire un système de type algébrique pour résoudre les problèmes de logique. Son 'algèbre de la logique', qui est vraiment opérationnelle par delà ses réelles insuffisances, sera critiquée, contestée. Mais l'élan a été donné, la logique va devenir une branche des mathématiques.
La percée due à Boole     Auteur : Alain Le Mignot   Article déposé le 20/04/2011. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.  Version [...
La fonction zêta de Riemann, définie par $\displaystyle{\zeta ( s) = \sum_{ n=1}^{ + \infty} \frac{ 1}{ n^s}}$ (pour ${Re}~ s > 1$), intéresse les mathématiciens depuis longtemps, et elle est encore à l'heure actuelle très étudiée, car cette fonction est fortement liée aux propriétés des nombres premiers. Dans ce texte issu d'un Mémoire de M1, nous étudions quelques propriétés arithmétiques et algébriques des valeurs de $\zeta (s)$ aux points entiers $s \in \mathbb{N}$, $s \geqslant 2$, telles que l'irrationalité ou la transcendance. Notamment, nous fournissons une démonstration complète et élémentaire, due à Beukers, du théorème d'Apéry (1978) selon lequel $\zeta(3)$ est irrationnel; cette démonstration est tout à fait accessible à un étudiant de Licence ou de classes préparatoires.
Auteurs : Sandro Franceschi, Fangzhou Jin et Joël Merker Article déposé le 15/03/2011. Validation scientifique: Joël Merker. Editeur: Eric Vandendriessche. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article. Version [pdf] (137 ko,...
Encart de l'article : $\sum_{n \geqslant 1}\, \frac{1}{n^3}$ est irrationnel.
Une propriété de la fonction $\huge \theta$   Auteurs : Sandro Franceschi, Fangzhou Jin  et Joël Merker À lire aussi sur CultureMath : La fonction zêta et cinq fonctions apparentées de David Pouvreau   On rappelle que la fonction $\theta$ est définie pour un réel $t>0$ par : $$\displaystyle{\theta(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}~e^{-\pi tn^2}, }$$ série qui est absolument convergente. On se propose de montrer l'équation fonctionnelle suivante : Proposition. Pour tout réel $t >0$, la fonction $\theta$ vérifie l'équation fonctionnelle : $$\displaystyle{ \theta(t) = {\textstyle{\frac{1}{\sqrt{t}}}}\, \theta \big({\textstyle{\...
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