Le crible d'√Čratosth√®ne

 

Bernard Vitrac (CNRS-EPHE)



La méthode du crible est la suivante : j'énumère tous les nombres impairs, dans l'ordre, à partir de 3, dans une suite aussi longue possible et commençant avec le premier j'examine ceux qu'il peut mesurer. Je vois qu'il peut mesurer les termes qui en laissent deux entre eux, aussi loin qu'on aille. […] Alors, prenant un nouveau départ, je vais au second nombre et j'examine ceux qu'il peut mesurer. Je vois qu'il peut mesurer les termes qui en laissent quatre entre eux [… ] Si tu marques les nombres avec des signes, tu trouveras […] que certains échapppent entièrement à la mesure par quelque nombre que ce soit, alors que d'autres sont mesurés par un seul nombre, et d'autres encore par deux ou plus …

Nicomaque de Gérase,
Introduction arithmétique, I, XIII, 3-7.

 

 

      3     3,5     3,7   5
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
3     3,11 5,7   3,13     5,9   7
27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Ératosthène, grâce à son crible, distingue trois catégories de nombres impairs : les premiers (pour lui 2 n'est donc pas premier!), les nombres de la forme N = p n (qui n'ont reçu que la marque "p") et ceux de la forme N = p.q.r…, où p, q, r sont des nombres premiers distincts, comme 15, 35 (en anglais on dit qu'ils sont "square-free", sans carré), qui ont reçu plusieurs marques. La classification n'est donc pas exhaustive. Un nombre comme 45 n'appartient à aucune de ces trois classes.