P10 * Solution

On suppose ici que la mer est plate !

Deux bateaux avancent à deux vitesses constantes, mais inconnues, dans des directions qui se coupent. On suppose que les bateaux se rapprochent.

Montrer que si les bateaux s’observent deux fois dans des directions identiques (les droites passant par les deux bateaux sont parallèles), et s’ils continuent leur course, alors ils vont se percuter.


On commence avec un seul bateau sur une droite: 

Au temps $t=0$ il est en $M$, at temps $t_1$ en $M'$, et il arrive en $C$ au temps $t=t_c$

On a $\frac{CM}{t-c}=v_1=\frac{CM'}{t_c-t_1}$ où $v_1$ est la vitesse constante du bateau qui se rapproche de $C$.

On en déduit que $\frac{CM}{CM'}=\frac{t_c}{t_c-t_1}$ et donc que $t_c$ ne dépend que du rapport $\frac{CM}{CM'}$.

Or dans la configuration donnée dans l'exercice, et en vertu du théorèle de Thalès, ce rapport est le même dans le cas des deux bateaux. Ils arriveront donc au même instant au point $C$!