P17**** Solution

Soit $a$ un entier.


Trouver toute les fonctions $ f  : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ telles que :

$$f(n-a)+f(n+a)\leq 2 f(n) \;\;\; \forall n \in \mathbb{N}$$


On peut réécrire l'inégalité de départ :

$$f(n-a)-f(n)\leq f(n)-f(n+a)$$

Comme ceci est vrai pour tout $n$ on obtient pour tout $k\in \mathbb{N}$:

$$f(n-ka)-f(n-ka+a)\leq f(n)-f(n+a)\leq f(n+ka)-f(n+ka+a)$$

Soit $m \in \mathbb{N}$, en sommant on obtient :

$$\sum_{k=0}^m f(n-ka)-f(n-ka+a)\leq (m+1) \left( f(n)-f(n+a)\right) \leq \sum_{k=0}^m f(n+ka)-f(n+ka+a)$$

ou encore

$$ f(n-am)-f(n+a) \leq (m+1) \left( f(n)-f(n+a)\right) \leq f(n)-f(n+(m+1)a)\leq f(n)$$

d'où :

$$-f(n+a) \leq (m+1) \left( f(n)-f(n+a)\right) \leq f(n)$$

Il vient que $f(n)-f(n+a)$ doit être nul, c'est-à-dire :

$$f(n)=f(n+a) \; \; \forall n \in \mathbb{Z}$$