P18*** Solution

Trouver tous les triplets $(x;y;z)\in\mathbb{R}^3$ tels que :

$$x+x^{\frac{1}{3}}=2y \; ; \; y+y^{\frac{1}{3}}=2z \; ; \; z+z^{\frac{1}{3}}=2x$$


On prend la fonction $f(t)= \frac{t+\sqrt[3]{t}}{2}$ pour $t\in\mathbb R$.

Si $(x;y;z)$ est solution alors on a $f(x)=y$, $f(y)=z$ et $f(z)=x$. On en déduit que $f(f(f(x))) = x$.

On montre alors que $f(x)=x$ : comme $f$ est strictement croissante, si on avait $f(x)<x$ on aurait  $f(f(f(x)))<f(f(x))<f(x)<x$ ou $x<x$! Et ça marche aussi si on suppose $x>f(x)$.

Donc $x=f(x)$ ou encore $\sqrt[3]{x}=x$.

Les seules valeurs de $x$ possibles sont donc $1$, $-1$ et 0. On en déduit les valeurs de $y$ et $z$ ($x=y=z$)