P20*** Solution

Soit $A$ un sous ensemble de $\mathbb N$ qui vérifie que pour tout $m,n\in A$ on a
$$|m-n|\geq \frac{1}{20} (m+1)(n+1)$$
Combien $A$ peut-il avoir d'éléments au maximum ?


Pour un couple $(m;n)$ d'éléments (non nuls) de $A$ on a :
$$|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1}| \geq \frac{1}{20}$$ ($|m-n|=|(m+1)-(n+1)|$, et on divise tout par $(m+1)(n+1)$...)

On en déduit que $A$ contient au plus un nombre supérieur ou égal  à  $19$, sinon les inverses de $m+1$ tombent tous en dessous de $\frac{1}{20}$ et les distances entre ces inverses sont aussi plus petites que $\frac{1}{20}$.

La même inégalité nous renseigne un peu plus : dans l'intervalle $]0;\frac{1}{5}[$ il y a au plus $4$ éléments du type $\frac{1}{m+1}$ avec $m \in A$. On a donc dans $A$ au plus $5$ nombre strictement plus grands que $4$.

Or 0, 1, 2, 3 et 4 peuvent tout à fait constituer un ensemble du type cherché. 

À ce point on sait donc que $A$ contient au maximum 8 éléments, il est inclus dans $B=\{0; 1; 2; 3; 4 ; a;b;c;d \}$ où $4 < a<b<c<d$ et seul $d$ peut être éventuellement plus grand que 19.

De proche en proche on voit que $a=6$ puis $b=10$ sont les plus petites valeurs possibles, puis que $c=24$ dépasse 19.

Le plus grand ensemble de type $A$ est donc : $A=\{ 0; 1; 2; 3; 4; 6; 10; 24 \}$.