Le buzz de l’été autour de la tablette Plimpton 322

Le buzz de l’été autour de la tablette Plimpton 322


Auteure : Christine Proust, Directrice de recherche au CNRS, laboratoire SPHère


Deux jeunes mathématiciens australiens, Daniel Mansfield et Norman Wildberger, de l’université de New South Wales à Sydney, ont publié cet été dans la revue Historia Mathematica un article intitulé «  Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry ». Plimpton 322 est une tablette d’argile notée en écriture cunéiforme provenant de Mésopotamie et datée de l’époque paléo-babylonienne (début du deuxième millénaire avant notre ère). Contre toute attente, l’article des deux mathématiciens australiens a eu un écho considérable dans les médias. Jamais les mathématiques cunéiformes n’avaient à ce point attiré l’attention et fait la une de l’actualité. On ne peut que se réjouir d’une telle publicité pour des mathématiques vielles de 4000 ans, mais il convient aussi de s’interroger sur les raisons d’un phénomène aussi inattendu. Ce succès s’explique par plusieurs facteurs : la tablette elle-même, qui est une œuvre remarquable, l’article en question, et enfin le marketing qui a accompagné la parution de cet article.

La tablette Plimpton 322 contient une table donnant 15 triplets pythagoriciens indépendants. Les nombres sont écrits en notation sexagésimale positionnelle. Depuis sa publication en 1945 par Otto Neugebauer et Abraham Sachs, cette tablette a fait l’objet de très nombreuses publications, notamment des spéculations proposées par des mathématiciens ou des informaticiens - certaines très pertinentes, d'autres pas. Le contenu de la tablette est maintenant bien connu, et les algorithmes qui ont été utilisés par les scribes anciens pour générer la table ont été élucidés, notamment grâce à de nouveaux textes mathématiques de la même époque qui ont été publiés en 2007. La question de l’usage de cette table, en revanche, reste ouverte. (Pour plus de détail sur le contenu de la tablette et une bibliographie de première approche, voir Proust « Trouver toutes les diagonales. Plimpton 322: à la recherche des rectangles sexagésimaux, une version mésopotamienne de la recherche des triplets pythagoriciens ». Images des Mathématiques 2015, http://images.math.cnrs.fr/Trouver-toutes-les-diagonales.html).

Les auteurs de ce nouvel article donnent une idée assez juste de la littérature antérieure, et ajoutent une nouvelle hypothèse originale au sujet de la fonction de la table contenue dans Plimpton 322. Selon eux, cette table servait d’outil pour résoudre le triangle rectangle. Ils nomment cet outil "table trigonométrique" de façon quelque peu abusive, puisque, comme ils le reconnaissent eux-mêmes, il n'y a aucune notion d'angle impliquée dans ce texte. Les auteurs avancent que cette table fournirait des approximations du côté d'un triangle rectangle, les deux autres étant connus, avec une précision plus grande que celle que donnerait une table trigonométrique du type de celles qui étaient utilisées par Hipparque ou Ptolémée, ou en Inde ancienne. C'est une idée séduisante, et les arguments mathématiques sont intéressants. Cependant, d'un point de vue historique, l'hypothèse n'est guère acceptable car aucun texte connu ne témoigne de l'utilisation d'une table de type Plimpton 322 pour résoudre le triangle rectangle. Les auteurs citent des exemples, mais les méthodes effectivement attestées dans les textes qu'ils citent diffèrent des reconstructions qu'ils proposent. De plus, les tables utilisées par Hipparque, Ptolémée et les astronomes d'Inde ancienne ont été élaborées pour les besoins d'une astronomie basée sur la géométrie du cercle et de la sphère, qui n'a rien à voir avec l'univers mathématique dans lequel évoluaient les auteurs de Plimpton 322. Donc pour le moment, en regard des sources connues, l'hypothèse des deux auteurs australiens reste une spéculation mathématique astucieuse mais non fondée sur des preuves textuelles.

Une des raisons principales du buzz médiatique réside dans la communication qui a été organisée par les auteurs autour de leur article. Cette communication a beaucoup joué sur le sens du mot "trigonométrie". Dans l'acception commune, celle qu'on apprend au collège, la trigonométrie est la partie de la géométrie métrique qui met en relation des angles et des longueurs. Une table trigonométrique est une table de correspondance entre des angles et les côtés du triangle rectangle (ou plus exactement, des rapports de ces côtés). Elle sert à beaucoup de choses en mathématiques, et en particulier à résoudre le triangle rectangle lorsqu'on connaît un angle et un côté. Dans la tablette Plimpton 322, il n'y a aucune notion d'angle, pas plus que dans les autres textes mathématiques cunéiformes. Donc on ne peut pas parler de trigonométrie au sens usuel. Mais on peut bien sûr changer la définition des mots, et décider que la trigonométrie est la science du triangle rectangle (auquel cas, la relation de Pythagore appartient à la trigonométrie). C'est ce que font les auteurs de l'article en question, et ils en ont le droit. Mais ces auteurs savent très bien qu'en utilisant le mot "trigonométrie", ou "table trigonométrique" dans leur communication, leurs interlocuteurs comprendront le mot dans son sens usuel, celui qui implique des angles, et ainsi ils fabriquent du sensationnel là où il n'y en a pas. C'est dommage car cet écran de fumée occulte ce qu'il y a d'intéressant à mon avis dans l'article controversé: l'idée que la table de Plimpton 322 ait pu être utilisée comme un outil pour la résolution approchée des triangles rectangles dont les côtés ne sont pas tous rationnels.