Comment passer de 2017 à 2018 en douceur... arithmétique

Comment passer de 2017 à 2018 en douceur... arithmétique


Auteur :  Jean-Baptiste Hiriart-Urruty (habitant de Pechbusque)


 

Avant de se lancer pour de bon dans 2018, jetons un dernier coup d’œil au nombre 2017 et à ses particularités.

Qu'a de spécifique ce nombre 2017 ? Tout d'abord, c'est un nombre premier, c'est-à-dire qu'on ne peut le « casser » pour le mettre sous la forme d’un produit de deux nombres (autrement que le trivial 1 × 2017) ; en arithmétique on dit « factoriser un nombre ». Des nombres premiers il y en a beaucoup, autant qu'on en veut même ; 2017 est le 306ème de la liste (qui commence par 2), il y avait déjà 2003 et 2011 depuis les années 2000, mais il y en a seulement 14 dans le 21ème siècle. Pour le prochain nombre premier, il faudra attendre 2027. La « répartition » des nombres premiers parmi tous les nombres entiers fait encore l'objet de recherches intenses par les chercheurs mathématiciens.

Mais le nombre 2017 a une autre propriété : il est de la forme « 4 fois quelque chose plus 1 » ; en effet : 2017 = 2016 + 1 = 4 fois 504, plus 1. Et alors là nous touchons à une particularité encore plus grande de 2017 : il est la somme de deux carrés d'entiers ! En effet, dans une intuition fulgurante comme il en avait parfois, notre génial occitan P. de Fermat avait annoncé à la volée1 le résultat suivant : un nombre premier (plus grand que 3) est la somme de deux carrés d'entiers si, et seulement si, il est de la forme 4k + 1. Il a fallu attendre le grand mathématicien-physicien L. Euler (un siècle plus tard) pour en avoir confirmation par une démonstration probante. Ainsi, de nos jours, cette extraordinaire caractérisation est appelée « théorème des deux carrés de Fermat-Euler » ou encore « le cadeau de Noël de Fermat ».

Revenons à nos moutons. D'après Fermat-Euler donc, 2017 est la somme de deux carrés d'entiers, et, d’ailleurs, une telle décomposition se trouve être unique. Après quelques tâtonnements, on arrive à la trouver :

2017 = (44)² + (9)².

Des nombres premiers avec cette particularité, il n'y en a pas tant que ça... Entre 2000 et 2050, il n'y en a que deux : 2017 et 2029. Voici donc une question pour vous distraire : trouver la décomposition en somme de deux carrés de 2029 (réponse à la fin). Ah ! Sacré Fermat.

 

 

2017 pourrait être le côté le plus grand, appelé encore l’hypoténuse, d’un triangle rectangle (c’est-à-dire un triangle avec un angle droit). En effet,

(2017)² = (1855)² + (792)².

Ainsi, (2017, 1855, 792) est un triplet dit pythagoricien, appelé ainsi en raison de la référence au théorème de Pythagore dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés2.

Les mathématiciens savent caractériser les nombres entiers (qu’ils soient premiers ou non) qui sont sommes de deux carrés ou sommes de trois carrés ; par exemple, 7 est le premier nombre entier qui ne s’écrit pas comme somme de trois carrés. Et 2017 se trouve être aussi une somme de trois carrés :

2017 = (12)² + (28)² + (33)².

Si on ajoute un peu plus de flexibilité en autorisant de faire des sommes de quatre carrés, là il n’y a plus de suspense : selon le mathématicien-mécanicien-astronome L. Lagrange (1736-1813), tout nombre entier est somme de quatre carrés (certains étant les mêmes éventuellement). Par exemple,

2017 = (18)² + (21)² + (24)² + (26)²,

et il y a cinquante possibilités pour une telle décomposition.

Avant de quitter le monde des « carrés », une petite friandise avec les sept premiers nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 :

(2)² + (3)² + (5)² + (7)² + (11)² + (13)² + (17)² = 666.

 

Le monde des sommes des cubes est un peu différent, signalons néanmoins que

2017 = (7)3 + (7)3 + (11)3.

La dernière fois que le nombre marquant une année avait pu être décomposé en somme de trois cubes était en 2001 (= (1)3 + (10)3 + (10)3), et pour la prochaine fois il faudra attendre l’année 2027 (= (3)3 + (10)3 + (10)3).

 

A part cela, quoi d’autre ? 2017 est une année qui a commencé par un dimanche… et qui se terminera par un dimanche.

 

Le nombre 2018 de l’année qui vient est-il moins riche en particularités que celui de l’année que nous quittons ? A priori oui puisque c’est un nombre pair… Mais

2018 = 2 × 1009… et 1009 est à son tour un nombre premier de la forme 4k + 1, c’est donc reparti pour un tour ! Quelle est donc, pour terminer, la décomposition de 1009 en somme de deux carrés d’entiers ? (réponse à la fin).

 

 

 

 

 

 


Réponse : 2029 = (2)² + (45)².

Réponse : 1009 = (28)² + (15)².

1 Dans une lettre écrite le soir de Noël 1640.

2 Cette année, le 15 août 2017 (c’est-à-dire le 15/8/17) fut aussi l’occasion d’un autre triplet pythagoricien puisque (15)² + (8)² = (17)². Cela arrive très rarement…


Texte initialement publié dans le bulletin du village de Pechbusque (Haute-Garonne), décembre 2017.