Probabilités

Question du jeudi #60 : Lassés du pile ou face classique, Alice et Bob cherchent à en créer une variante. Alice propose la procédure suivante à Bob : elle jettera la pièce 11 fois et Bob 10 fois et le joueur obtenant le plus de pile gagnera. Pour compenser son lancer supplémentaire, Alice perdra en cas d'égalité.

Bob doit-il accepter cette procédure ?

Question du jeudi #58 : Vous devez tirer au sort équitablement entre deux joueurs mais ne disposez pour ce faire que d'une pièce biaisée (dont vous ignorez en plus le biais exact). Comment faire ?

Question du jeudi #54 : Alice et Bob jouent à un jeu : Alice a mélangé un jeu de 32 cartes et a étalé les cartes en rang sur une table, face cachée. Elle va retourner une à une toutes les cartes.

Entre le début du jeu et le moment où Alice retournera la dernière carte, Bob devra annoncer « Stop ! ». Il aura alors gagné si la carte suivante s'avère être rouge, et perdu sinon.

Quelle est la meilleure stratégie pour Bob ?

Question du jeudi #46 : Roger est un joueur de tennis de très haut niveau, Éric un joueur du dimanche. On vous propose de jouer trois parties contre les deux, alternativement, et de vous donner un prix si vous gagnez deux parties consécutives. Avez-vous intérêt à jouer Roger, Éric puis Roger, ou Éric, Roger puis Éric ?

Question du jeudi #37 : Ana aime le hasard et déteste la monotonie. Tous les matins, elle tire à pile ou face sa boisson pour le petit déjeûner : thé ou café. Elle souhaite ainsi éviter de boire la même chose trois jours de suite. Au bout de n jours, quelle est la probabilité que sa règle de non-monotonie ait été respectée ?

Auteur : Alexandre Marino, Lycée Joffre (Montpellier)

Mots-clefs : Probabilités, Chaîne de Markov, Cinétique des gaz

Cet article a pour but de souligner l'intérêt des résultats sur les chaînes de Markov dans le contexte de la cinétique des gaz. Les notions seront abordées progressivement dans un souci  d'apporter un maximum d'intuition tout en évitant un excès de formalisme.

L'étude que je propose repose sur la question inhabituelle suivante : vous êtes en train de cuisiner et vous mettez au four la tarte que vous venez de préparer. Un moment d'inattention et quelques événements imprévus... vous oubliez votre préparation. Le drame se produit ! Déjà, trop tard ! votre œuvre est carbonisée et votre logement est enfumé. Comme vous le faites habituellement, vous vous précipitez et vous ouvrez toutes les fenêtres. En pensant bien faire, vous vous dites : « pour aérer, il suffit que je laisse mes fenêtres ouvertes le plus longtemps possible. » Est-ce une erreur ? Prenez-vous le risque que la fumée revienne en laissant vos fenêtres ouvertes trop longtemps ?

Dans cet article nous allons essayer de répondre à cette question. Pour y parvenir, nous essayerons d'analyser avec un maximum d'intuition les phénomènes liés au temps d'attente.

La plupart des notions abordées pourront être réutilisées dans l'introduction des probabilités au collège, au lycée et faire l'objet de sujets détaillés dans l'enseignement supérieur. Ce thème pourrait également faire l'objet d'une approche pluridisciplinaire. La dernière partie propose une activité pour le collège, un sujet détaillé niveau lycée et un sujet niveau supérieur reprenant pas à pas la démonstration d'un des principaux théorèmes.

Question du jeudi #31 : $n$ chevaliers s'asseyent autour d'une table ronde. Au bout d'un certain temps, quelqu'un remarque qu'ils se sont en fait assis selon leur âge : l'aîné à côté du deuxième plus vieux, lui-même à côté du troisième, et ainsi de suite jusqu'au cadet, qui est à côté de l'aîné.

Quelle était la probabilité que cela arrive ?

Question du jeudi #24 : Alice lance une pièce équilibrée de façon répétée, jusqu'à obtenir un « pile » suivi d'un « face ». Bob, quant à lui, procède de même jusqu'à obtenir deux « pile » consécutifs. En moyenne, qui attendra le plus longtemps ?

Lors du Tour de France 1989, l'Américain Greg Lemond a battu le Français Laurent Fignon de 8 secondes. Compte tenu des règles d'arrondi en vigueur sur le Tour, cela signifie que la probabilité que Fignon ait en fait couru la course plus rapidement que LeMond est strictement positive.

Dans cet article, Denis Serre explique comment cette probabilité peut être calculée exactement, par des moyens géométriques.

Question du jeudi #11 : Des passagers embarquent à bord d'un Airbus A380. L'avion est complet. Idéalement, les passagers devraient embarquer un à un et s'asseoir à leur place. Cependant, le premier passager, étourdi, s'assoit à une place aléatoire. Ensuite, les passagers s'assoient à leur place si elle est libre, et à une place libre, aléatoirement, sinon. Vous embarquez le dernier. Quelle est la probabilité que votre place soit occupée ?