P2 ** : $\displaystyle 1=\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2 }$                $ x_i \in \mathbb N$

P1 *** Solution

P1 *** Des tétraèdres colorés

Réponse du jeudi (68) : nouvelle solution

Question du jeudi #67 : À quelle condition sur trois réels strictement positifs $x \leq y \leq z$ peut-on avoir un triangle dont les côtés ont des longueurs valant $x^n$, $y^n$ et $z^n$, et ce pour tout entier $n \geq 1$ ?

Question du jeudi #66 : Si $X$ et $Y$ sont deux parties de $\{1, 2, \ldots, 10\}$, on définit leur différence symétrique $X \mathop{\triangle} Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)$ comme l'ensemble des éléments appartenant soit à $X$ soit à $Y$ (mais pas aux deux).

Si $A_1, \ldots, A_{100}$ est une liste de cent parties de $\{1, 2, \ldots, 10\}$, montrer qu'il en existe deux dont la différence symétrique contient au plus deux éléments.

Question du jeudi #65 : On se donne une liste de $n \geq 2$ nombres réels non nuls. À chaque étape, on choisit deux de ces nombres, appelons-les $a$ et $b$, et on les remplace par $a + \dfrac b2$ et $b - \dfrac a2$, respectivement.

Montrer qu'aucune suite de telles transformations ne permettra de retrouver les $n$ nombres originaux.